山西省呂梁市2024屆高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、呂梁市2024年高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自已的姓名準(zhǔn)考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時,將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1已知復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2已知等邊的邊長為1,點分別為的中點,若

2、,則()ABCD3設(shè),則對任意實數(shù),則是的()A必要而不充分條件B充分而不必要條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4如圖所示,已知一質(zhì)點在外力的作用下,從原點出發(fā),每次向左移動的概率為,向右移動的概率為.若該質(zhì)點每次移動一個單位長度,設(shè)經(jīng)過5次移動后,該質(zhì)點位于的位置,則()ABCD5已知a,若,則b的可能值為()A2.5B3.5C4.5D66設(shè),當(dāng)變化時的最小值為()ABCD7在四面體中,與互相垂直,且,則四面體體積的最大值為()A4B6C8D4.58設(shè)函數(shù).若實數(shù)使得對任意恒成立,則()AB0C1D二多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要

3、求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9已知等差數(shù)列的首項為,公差為,前項和為,若,則下列說法正確的是()A當(dāng)最大B使得成立的最小自然數(shù)CD中最小項為10已知橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,兩曲線有公共焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點,以下結(jié)論正確的是()ABCD若,則 11已知正方體的棱長為是空間中的一動點,下列結(jié)論正確的是()A若點在正方形內(nèi)部,異面直線與所成角為,則的范圍為B平面平面C若,則的最小值為D若,則平面截正方體所得截面面積的最大值為三填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12在的展開式中,的系數(shù)為 (用數(shù)字作答)13設(shè)拋物線的焦點為,過點的直線與拋物線

4、交于兩點,與軸的負(fù)半軸交于點,已知,則 .14對任意閉區(qū)間I,用表示函數(shù) 在I上的最大值,若正實數(shù) a 滿足 ,則a的值為 .四解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.15某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對本地的500 家食品生產(chǎn)企業(yè)進行考核,通過隨機抽樣抽取其中的50家,統(tǒng)計其考核成績(單位:分),并制成如下頻率分布直方圖.(1)求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)及中位數(shù)a(精確到0.01);(2)該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會,并從這 50 家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機抽取5 家考核成績不低于88分的企業(yè)發(fā)言

5、,記抽到的企業(yè)中考核成績在96,100的企業(yè)數(shù)為 Y,求 Y的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績X服從正態(tài)分布, 其中近似為50 家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x,近似為樣本方差s,經(jīng)計算得 ,利用該正態(tài)分布,估計該市500 家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于95.32分的有多少家?(結(jié)果保留整數(shù)).附參考數(shù)據(jù)與公式: 則 P(-2X+2)0.9545,P(-3X+3)0.9973.16已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若對任意的,使恒成立,則實數(shù)的取值范圍.17如圖,為圓錐的頂點,為圓錐底面的圓心,為底面直徑,為底面圓的內(nèi)接正三角形,且的邊長為,點在母線上,且,.(1

6、)求證:,并求三棱錐的體積;(2)若點為線段上的動點,當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時,求此時點到平面的距離.18如圖,已知分別為橢圓的左,右焦點,橢圓上的動點,若到左焦點距離的最大值為,最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過動點作橢圓的切線,分別與直線和相交于兩點,記四邊形的對角線相交于點,問:是否存在兩個定點,使得為定值?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說明理由.19對于無窮數(shù)列,若對任意,且,存在,使得成立,則稱為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的通項公式為,試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”,并說明理由;(2)已知數(shù)列為等差數(shù)列,若是“數(shù)列”,且,求所有可能的取值;若對任意,存在,使得成立,求證:數(shù)列為“

7、數(shù)列”.1D【分析】根據(jù)題意,利用復(fù)數(shù)的運算法則,化簡得到,得到,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義,即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足,可得,則,則復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點為位于第四象限.故選:D.2B【分析】取為基底,利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中,取為基底,則,因為點分別為的中點,,所以,所以.故選:B.3C【分析】根據(jù)題意,推得為奇函數(shù),且在上單調(diào)遞增,再由,得到,即,結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)的定義域為,且,所以為奇函數(shù),函數(shù)與均為遞增函數(shù),所以在單調(diào)遞增,因為函數(shù)為奇函數(shù),所以在也為單調(diào)遞增函數(shù),又因為,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,由,可得,所以,所以,故對

8、任意實數(shù),則是的充要條件.故選:C.4C【分析】根據(jù)題意,由條件可得的可能取值為,且,結(jié)合二項分布的概率計算公式代入計算,即可求解.【詳解】由題意可知,當(dāng)時,的可能取值為,且,所以.故選:C5B【分析】構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)確定其單調(diào)性,結(jié)合可得答案.【詳解】由得,設(shè),則,又,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減因為,所以結(jié)合選項可知B正確,ACD錯誤.故選:B.6C【分析】根據(jù)題意可得在,在上,將問題轉(zhuǎn)化為拋物線焦點到上點的最小值,結(jié)合拋物線的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】在,在上,設(shè)到準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點,軸于.,又為焦點到上點的距離,設(shè),因為,所以過點的切線的斜率,當(dāng)與切線垂直時,解得,所以,

9、所以的最小值為.故選:C.7A【分析】由橢圓定義可知,點與點都在以為焦點的橢圓上,由到中點距離取最大值時得到,故此時體積最大.【詳解】由題可知,點在平面內(nèi)以為焦點的橢圓上,點在平面內(nèi)以為焦點的橢圓上,所以焦距為,即,由橢圓定義可知長軸長為,即,所以到中點距離的最大值為短半軸長,所以中,所以,又,所以當(dāng)垂直平面時四面體體積最大,最大值為,故選:A.8B【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù),再利用差角的正弦公式變形等式,借助恒成立建立關(guān)系,并分析計算可得答案.【詳解】函數(shù),依題意,對任意的恒成立,即對恒成立,因此對恒成立,于是,顯然,否則且,矛盾,則,顯然,否則且,矛盾,從而,解得,所以.故選:B.【點

10、睛】關(guān)鍵點睛:把給定的等式利用差角的正弦公式按角展開,借助恒等式建立方程組是解決本問題的關(guān)鍵.9BD【分析】根據(jù)題意,結(jié)合條件即可得到,即可判斷AC,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可判斷B,再由,或時,;時,即可判斷D,【詳解】根據(jù)題意:,即,兩式相加,解得:,當(dāng)時,最大,故A錯誤由,可得到,所以,所以,故C錯誤;由以上可得:,而,當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以使得成立的最小自然數(shù),故B正確.當(dāng),或時,;當(dāng)時,;由,所以中最小項為,故D正確.故選:BD.10BCD【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A;根據(jù)橢圓和雙曲線定義,結(jié)合余弦定理整理可判斷B;根據(jù)B中變形可判斷C;由B中結(jié)論,結(jié)合的范圍可判斷D.【詳解】根據(jù)題意

11、,設(shè),對于A中,因為橢圓與雙曲線有公共焦點,可得,所以,即,所以A錯誤;對于B中,不妨設(shè)點P在第一象限,由橢圓和雙曲線的定義,可得,所以,又由余弦定理得,可得,所以,所以B正確;對于C中,由,可得,所以C正確;對于D中,因為,所以,由可得,所以,所以D正確.故選:BCD.11BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求異面直線夾角的取值范圍,判斷A的真假;平面平面,B選項很好判斷;先確定點位置,再展開成平面,轉(zhuǎn)化成平面上兩點之間的距離問題判斷C的真假;先得到是線段上一點,連接并與交于點,分當(dāng)與重合,在線段(不含點)上,在線段(不含點,)上和與重合四種情況,得到截面積的最大值,判斷D的真假.【詳

12、解】對于,如圖:以為坐標(biāo)原點,分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,則則,因為所以,故,則的取值范圍為,故A不正確;對于B,在正方體中,平面平面,顯然成立.故B正確;對于C:正方體的棱長為2,為空間中的一動點,在上取點,使,在上取點,使,如圖:由得,即,故為線段上一點.將平面沿展開至與平面共面,如下圖:易知:,則.在平面圖中,當(dāng)三點共線時,取得最小值,為,故C正確;對于D:因為,所以,又,可知是線段上一點,如圖:連接并與交于點.當(dāng)與重合時,平面與平面重合,此時截面面積為4.當(dāng)在線段(不含點)上時,平面截正方體所得截面為三角形,且當(dāng)與重合時,截面為,此時截面面積最大,由三邊長均為,故此時截

13、面面積最大值為.當(dāng)在線段(不含點)上時,如圖:延長與交于點,作平行于并與交于點,則截面為等腰梯形,設(shè),則,梯形的高,面積為.由圖可知:梯形的面積一定小于矩形的面積,且矩形面積為,所以.當(dāng)與重合時,截面為矩形,面積為.故平面截正方體所得截面面積的最大值為,故D正確.故選:BCD【點睛】方法點睛:立體幾何中截面的處理思路:(1)直接連接法:有兩點在幾何體的同一個平面上,連接該兩點即為幾何體與截面的交線,找截面就是找交線的過程;(2)作平行線法:過直線與直線外一點作截面,若直線所在的平面與點所在的平面平行,可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線;(3)作延長線找交點法:若直線相交但在立體幾

14、何中未體現(xiàn),可通過作延長線的方法先找到交點,然后借助交點找到截面形成的交線;(4)輔助平面法:若三個點兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中,則在作截面時需要作一個輔助平面.1215【分析】集合二項式展開式的通項公式即可求出結(jié)果.【詳解】由二項式的展開式的通項公式,得,令,則,所以系數(shù)為,故答案為:15.13#【分析】根據(jù)題意,求得且,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,化簡得到,再聯(lián)立方程組,求得,結(jié)合拋物線的定義,即可求解.【詳解】設(shè)到直線的距離為,因為,可得,所以,所以,即且,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,整理得,則,所以,則,聯(lián)立方程組,解得,由拋物線的定義,可得.故答案為:14或 【分析】就參數(shù)進行分類

15、討論函數(shù)在的最大值,結(jié)合求出的值,或判斷值不存在即得.【詳解】當(dāng)時, ,由 可得, 此時;當(dāng)時, 或.若,則由 可得,因,故無解;若,則由 可得,此時,即;當(dāng)時,因區(qū)間的長度至少為,故,而顯然不成立,故舍去;綜上,a的值為或.故答案為:或.15(1)84.80分,中位數(shù)84.67分;(2)分布列見解析,1;(3)11家【分析】(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解;(2)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)及根據(jù)已知條件求出隨機變量的取值,利用古典概型的概率公式求出隨機變量相應(yīng)取值的概率,進而得出隨機變量的分布列,利用期望公式即可求解;(3)根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1)這 50家食

16、品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)為:由頻率分布直方圖得內(nèi), 解得中位數(shù) (分) .(2)這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績不低于88分的企業(yè)有家,其中考核成績在內(nèi)的企業(yè)有家,由題意可知,的可能取值為,,Y的分布列為:Y012P.(3)由題意得, (家) ,估計該市 500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于 95.32分的有11家.16(1)答案見解析(2)【分析】(1)由,定義域為,求導(dǎo),令,討論當(dāng)取不同的值時的正負(fù)情況,即可得到的單調(diào)性;(2)法一:由可化為,令,討論取正、負(fù)、零時恒成立,即可得到實數(shù)的取值范圍;法二:由可得,令,即恒成立,由,則令,則恒成立,討論取正、負(fù)、零時的單調(diào)情況,得到極值,即

17、可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)的定義域為,令,又,當(dāng),即時,此時在上單調(diào)遞增,當(dāng),即時,令,解得其中,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;當(dāng)時,故在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.綜上:在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)法一:不妨設(shè),則,同除以得,所以令, 當(dāng)時,恒成立, ,若恒成立,符合題意,當(dāng)恒成立,令則,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,所以,若,同理恒成立,由知,當(dāng)所以不存在滿足條件的.綜上所述:.法二:.令,則只需在單調(diào)遞增,即恒成立,令,則恒成立;又,當(dāng)時,在單調(diào)遞增成立;當(dāng)時,在單調(diào)遞增,又,故不恒成立.不滿足題意;當(dāng)時,由得在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,因為恒成立

18、,所以,解得,綜上,.17(1)證明見解析,(2)【分析】(1)設(shè),連接,即可證明平面,平面、平面,再由錐體的體積公式計算可得;(2)以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求出直線與平面所成角的正弦值最大值,再由點到面的距離公式計算可得.【詳解】(1)設(shè),連接,為底面圓的內(nèi)接正三角形,為中點,又,;,;平面平面平面平面,平面平面平面平面,又平面,又平面,又平面,所以,又平面,平面平面平面;為中點,即,又平面,平面,平面平面,又平面,.(2)為中點,又,為中點,以為坐標(biāo)原點,正方向為軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè),;設(shè)平面的法向量,則,令,解得:,設(shè)直線與平面所成角為,令,則,

19、當(dāng),即時,此時,點到平面的距離.18(1)(2)存在,【分析】(1)根據(jù)兩點間距離公式結(jié)合橢圓方程可得,結(jié)合題意列式求即可;(2)分析可知切線的方程為,進而可得坐標(biāo),利用交軌法可得點的軌跡方程為,進而可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)為橢圓上任意一點,由得則,且,可得,由題意可得:,解得,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)因為點在橢圓上,則,即,結(jié)合在圓上一點處的切線方程猜測橢圓上的一點處的切線方程為,下面證明這個猜想:聯(lián)立方程,消去y整理得,即,整理得,解得,可知直線與橢圓有且僅有一個交點,即切線的方程為,令得,令知:得,因為,則直線,又因為,則直線,由知:,點的軌跡方程為,即存在定點,使得為定值6,

20、即的坐標(biāo)為或.【點睛】關(guān)鍵點點睛:根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立方程分析可知切線的方程為,進而結(jié)合題意分析求解.19(1)是,理由見解析(2)的可能值為.證明見解析【分析】(1)根據(jù)題意,推得,取,得到,即可求解;(2)若是“數(shù)列”,且為等差數(shù)列,得到,進而得到存在,使得,求得,得到的值,進而求得的可能值;設(shè)數(shù)列公差為,得到,求得,雞兒推得,得到答案.【詳解】(1)解:數(shù)列的通項公式為,對任意的,都有,取,則,所以 是“數(shù)列”.(2)解:數(shù)列為等差數(shù)列,若是“數(shù)列”,且,則,對任意的,由題意存在,使得,即,顯然,所以,即,.所以是8的正約數(shù),即,時,;時;時;時.綜上,的可能值為.若對任意,存在,使得成立,所以存在,設(shè)數(shù)列公差為,則,可得,對任意,則,取,可得,所以數(shù)列是“數(shù)列”.

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