山東省煙臺招遠(yuǎn)市2024屆高考三模 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、2024年全國新高考卷模擬試題數(shù) 學(xué)注意事項(xiàng):1.本試題滿分150分,考試時(shí)間為120分鐘.2.答卷前,務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上.3.使用答題紙時(shí),必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫,要字跡工整,筆跡清晰;超出答題區(qū)書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.1已知集合,則()ABCD2若復(fù)數(shù)z滿足,則的最小值為()A1BCD23若橢圓與橢圓()的離心率相同,則實(shí)數(shù)b的值為()ABCD4一袋子中裝有5個(gè)除顏色外完全相同的小球,其中3個(gè)紅球,2個(gè)黑球,從中不放回的每次取出1個(gè)小球,連續(xù)取兩次,

2、則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為()ABCD5若圓與軸沒有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()ABCD6若函數(shù)在上有且只有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心,則正整數(shù)的值為()A1B2C3D47已知向量,滿足,在方向上的投影向量為,且,則的值為()A4BC16D488若定義在上的函數(shù)滿足:,且對任意,都有,則()AB為偶函數(shù)C是的一個(gè)周期D圖象關(guān)于對稱二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9下列說法正確的有()A數(shù)據(jù)1,2,5,7,10的分位數(shù)為8.5B設(shè)隨機(jī)變量,若,則C已知回歸直線方程為,若樣本中心為

3、,則D的極差小于,的極差10如圖1,半圓O的直徑為4,點(diǎn)B,C三等分半圓,P,Q分別為OB,OC的中點(diǎn),將此半圓以O(shè)A為母線卷成如圖2所示的圓錐,D為BC的中點(diǎn),則在圖2中,下列結(jié)論正確的有()AB平面C平面D三棱錐與公共部分的體積為11在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則()A邊上的高為B為定值C的最小值為2D若,則三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為 .13已知雙曲線:(,)的漸近線方程為,其右焦點(diǎn)為F,若直線與在第一象限的交點(diǎn)為P且軸,則實(shí)數(shù)k的值為 .14在平面直角坐標(biāo)系中,若定義兩點(diǎn)和之間的“t距離”為,其中表示p,q中

4、的較大者,則點(diǎn)與點(diǎn)之間的“t距離”為 ;若平面內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)之間的“t距離”為,則A點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為 .四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15為提高學(xué)生對航天科技的興趣,培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng),某學(xué)校組織學(xué)生參加航天科普知識挑戰(zhàn)賽,比賽共設(shè)置A,B,C三個(gè)問題,規(guī)則如下:每位參加者計(jì)分器的初始分均為50分,答對問題A,B,C分別加10分,20分,30分,答錯(cuò)任一題減10分;每回答一題,計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù),當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于40分或答完三題時(shí)累計(jì)分?jǐn)?shù)不足80分,答題結(jié)束,挑戰(zhàn)失?。划?dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于80分時(shí),答題結(jié)束,挑戰(zhàn)成功;每位參加者按問題A,

5、B,C順序作答,直至挑戰(zhàn)結(jié)束.設(shè)甲同學(xué)能正確回答出問題A,B,C的概率分別為,且回答各題正確與否互不影響.(1)求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率;(2)用X表示甲同學(xué)答題結(jié)束時(shí)答對問題的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.16如圖,在直三棱柱中,M,N分別為,中點(diǎn),且(1)證明:;(2)若D為棱上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)與平面所成角最大時(shí),求二面角的余弦值.17在數(shù)列中,已知,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,為數(shù)列的前n項(xiàng)和,證明:.18已知拋物線C:()過點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),A,B為C上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn).(1)若,試探究直線是否過定點(diǎn),若是,求出該定點(diǎn);若不是,請說明理由;(2)若,求面積的最小值.19已知函數(shù).(1

6、)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),若方程有三個(gè)不等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.1C【分析】解對數(shù)不等式化簡集合,由集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?故選:C.2B【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】若復(fù)數(shù)z滿足,則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)集是線段的垂直平分線,其中,所以的最小值為.故選:B.3A【分析】由離心率相等列出關(guān)于的方程求解即可.【詳解】若橢圓與橢圓()的離心率相同,則,解得滿足題意.故選:A.4D【分析】分第一次取出為紅球和黑球兩種情況求解即可.【詳解】由題意,第一次取出可能為紅球或黑球,故連續(xù)取兩次,則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為.故選:D

7、5C【分析】求出圓心坐標(biāo)利用幾何法得到不等式,解出即可.【詳解】即,解得或,且其圓心坐標(biāo)為,若該圓與軸沒有交點(diǎn),則,解得故選:C.6C【分析】先得出,然后結(jié)合已知列出關(guān)于的不等式組,結(jié)合是正整數(shù)即可得解.【詳解】由題意且是整數(shù),若,則,若函數(shù)在上有且只有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心,所以,解得,即.故選:C.7B【分析】根據(jù)題意結(jié)合投影向量可得,再根據(jù)垂直關(guān)系可得,進(jìn)而可求模長.【詳解】由題意可知:,即,因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?,可得,又因?yàn)椋瑒t,可得,則,所以.故選:B.8D【分析】首先得出的對稱中心以及周期,結(jié)合剩下的已知來構(gòu)造函數(shù),以此排除ABC,并證明D選項(xiàng).【詳解】在中,令,得,則是函數(shù)

8、的一個(gè)對稱中心,在中,令,得,所以,是的一個(gè)周期,接下來我們構(gòu)造反例說明ABC錯(cuò)誤,然后證明D正確:首先對于ABC而言,由以上分析不妨設(shè),而,若要恒成立,只需恒成立,只需,因?yàn)椋?,從而滿足題意的可以是,但是,故A錯(cuò)誤;,故B錯(cuò)誤;是函數(shù)的一個(gè)最小正周期,故C錯(cuò)誤;現(xiàn)在我們來證明D是正確的:對于D,由以上分析有,這表明圖象關(guān)于對稱,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:關(guān)鍵是得出是函數(shù)的一個(gè)對稱中心,且是函數(shù)的一個(gè)周期,由此即可順利得解.9AC【分析】根據(jù)第百分位定義計(jì)算可判斷A;根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差計(jì)算可判斷B;根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心代入計(jì)算可判斷C;根據(jù)極差的概念計(jì)算可判斷D

9、.【詳解】對A,因?yàn)?,所以第分位?shù)為,故A正確;對B,因?yàn)殡S機(jī)變量,所以,解得或,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故B錯(cuò)誤;對C,因?yàn)闃颖局行脑诨貧w直線方程上,所以,解得,故C正確;對D,原數(shù)據(jù)極差為:,新數(shù)據(jù)極差為:,因?yàn)椋缘臉O差大于,的極差,故D錯(cuò)誤.故選:AC10ACD【分析】對于A,先求出圓錐的底面圓半徑,再利用正弦定理求出,進(jìn)而可判斷;對于B,由勾股定理逆定理結(jié)合,可得與不垂直,由此即可判斷;對于C,由中位線定理得,結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷;對于D,連接交于點(diǎn),連接并延長,可知交于點(diǎn),則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐,再確定點(diǎn)的位置即可求解體積并判斷D.【詳解】對于A,在圖中,設(shè)圓錐的底面圓

10、半徑為,則,解得,因?yàn)樵趫D1中,點(diǎn)、三等分半圓,所以在圖中,點(diǎn)、為圓錐的底面圓周的三等分點(diǎn),所以為等邊三角形,所以,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),所以,故A正確;對于B,連接,因?yàn)槿切芜呴L為的等邊三角形,三角形為等腰三角形,點(diǎn)是的中點(diǎn),所以,而,所以,這表明與不垂直,故B錯(cuò)誤;對于C,因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),所以,因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,故C正確;對于D,連接交于點(diǎn),連接并延長,則由對稱性可知必定交于點(diǎn),則三棱錐與三棱錐公共部分即為三棱錐,因?yàn)辄c(diǎn)分別是、的中點(diǎn),所以為的重點(diǎn),所以,由上易知,圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形,所以圓錐的高為,所以,所以三棱錐與三棱錐公共部分的體積為,故D正

11、確.故選:ACD.11ABD【分析】對A,根據(jù)邊上的高為求解即可;對B,由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡即可;對C,由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡,結(jié)合B中,再根據(jù)基本不等式求解即可;對D,根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系,結(jié)合兩角和差的正切公式與正弦定理判斷即可.【詳解】對A,邊上的高為,由題意,故A正確;對B,由正弦定理即,故,又銳角,故,即,故B正確;對C,又,故,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,此時(shí),與銳角矛盾,故C錯(cuò)誤;對D,即,又,即,故,解得,故.則,即,解得.故,或,.不妨設(shè),則,故,故,由正弦定理,故D正確.故選:ABD12【分析】中間一項(xiàng)是第4項(xiàng),結(jié)合二項(xiàng)展開式的系數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/p>

12、展開式共有7項(xiàng),它的中間一項(xiàng)是第4項(xiàng),所以展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:.13【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得,由軸得,利用斜率公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線:(,)的漸近線方程為,依題意有,即,又右焦點(diǎn)為,且軸,所以,所以,故答案為:.14 4【分析】第一空:直接根據(jù)“t距離”的定義計(jì)算即可求解;第二空:根據(jù)“t距離”的定義分兩種情況討論得出A點(diǎn)的軌跡是正方形的四條線段;由此即可得解.【詳解】第一空:點(diǎn)與點(diǎn)之間的“t距離”為;第二空:若平面內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)之間的“t距離”為,則,不妨設(shè),解得或,此時(shí),即,由對稱性可知,當(dāng)或時(shí),如圖所示:,所以A點(diǎn)的軌跡就是正方形的四條線段,則A點(diǎn)的軌跡圍成

13、的封閉圖形的面積為.故答案為:;4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:關(guān)鍵是嚴(yán)格按照“t距離”的定義進(jìn)行計(jì)算,由此即可順利得解.15(1)(2)分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為【分析】(1)用表示甲第i個(gè)問題回答正確,表示甲第i個(gè)問題回答錯(cuò)誤,分析甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪包括,分別求概率,再相加;(2)分析出的可能取值:0,1,2,分別求概率,寫出分布列,求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】(1)用表示甲第i個(gè)問題回答正確,表示甲第i個(gè)問題回答錯(cuò)誤,則;.記事件Q:甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率,則:.即甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率為.(2)由題意知的可能取值:0,1,2,;,,的分布列為:012,即數(shù)學(xué)期望為.16(1)證明過程見解析(2

14、)【分析】(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,證明即可;(2)當(dāng)與平面所成角最大時(shí),求出此時(shí)點(diǎn)的位置,再求出二面角所對應(yīng)的兩個(gè)平面的法向量,結(jié)合向量夾角公式即可運(yùn)算求解.【詳解】(1)在直三棱柱中,平面,而平面,平面,所以,因?yàn)?,平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫妫?,因?yàn)?,所以兩兩互相垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)椋琈,N分別為,中點(diǎn),所以,所以,所以,所以,即;(2)由(1)得,設(shè),所以,因?yàn)槠矫妫匀∑矫娴囊粋€(gè)法向量為,設(shè)與平面所成角為,所以與平面所成角的正弦值為,若要與平面所成角最大,則當(dāng)且僅當(dāng)最大,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),最大,此時(shí),因?yàn)?,平面,平面,?/p>

15、以平面,因?yàn)槠矫?,平面,平面,所以平面和平面是同一個(gè)平面,所以平面,所以可取平面的一個(gè)法向量為,若的坐標(biāo)為,且注意到,所以,設(shè)平面的法向量為,由,可得,令,解得,所以取平面的一個(gè)法向量為,由圖可知二面角是銳角,所以二面角的余弦值為,綜上所述,二面角的余弦值為.17(1)(2)證明見解析【分析】(1)構(gòu)造等比數(shù)列數(shù)列即可求得通項(xiàng)公式;(2)代入(1)中的通項(xiàng)公式可得,再根據(jù),結(jié)合累加求和證明即可.【詳解】(1)由可得,則,即,故是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.故,則,.(2).易得,故.又,故.綜上有,即得證.18(1)直線過定點(diǎn)(2)【分析】(1)首先根據(jù)已知點(diǎn)求出拋物線方程,設(shè),聯(lián)立拋物線方程

16、,有,結(jié)合,由向量垂直的坐標(biāo)表示可列出方程,由此解出,進(jìn)一步檢驗(yàn)判別式即可得解;(2)由得條件等式,進(jìn)一步得出的取值范圍是或,由弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式表示出面積,結(jié)合的范圍即可得解.【詳解】(1)已知拋物線C:()過點(diǎn),所以,所以拋物線的方程為,直線斜率不可能為0,否則直線與拋物線沒有兩個(gè)交點(diǎn),故可設(shè),聯(lián)立拋物線的方程為,可得,由韋達(dá)定理有,因?yàn)椋?,因?yàn)锳,B為C上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn),所以,所以,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意;即,所以直線過定點(diǎn);(2)顯然,由(1)得,因?yàn)椋?,即有條件等式成立,而,所以首先有,其次,或,因?yàn)闉橹本€在軸上的截距,且與相異,由圖可知,從而的取值范圍是或,點(diǎn)到直線的

17、距離為,所以的面積可表示為:,因?yàn)榈娜≈捣秶腔颍曰?,所以?dāng),即時(shí),綜上所述,面積的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第(2)問的關(guān)鍵是得出的取值范圍以及面積的表達(dá)式,由此即可順利得解.19(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)【分析】(1)直接使用導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)性;(2)將方程化為,再討論方程的解的個(gè)數(shù),然后得到方程的根滿足的條件,即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)求導(dǎo)知.當(dāng)時(shí),由可知,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),對有,對有,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí),故原方程可化為.而,所以原方程又等價(jià)

18、于.由于和不能同時(shí)為零,故原方程又等價(jià)于.即.設(shè),則,從而對有,對有.故在上遞增,在上遞減,這就得到,且不等號兩邊相等當(dāng)且僅當(dāng).然后考慮關(guān)于的方程:若,由于當(dāng)時(shí)有,而在上遞增,故方程至多有一個(gè)解;而,所以方程恰有一個(gè)解;若,由于在上遞增,在上遞減,故方程至多有兩個(gè)解;而由有,再結(jié)合,即知方程恰有兩個(gè)解,且這兩個(gè)解分別屬于和;若,則.由于,且不等號兩邊相等當(dāng)且僅當(dāng),故方程恰有一解.若,則,故方程無解.由剛剛討論的的解的數(shù)量情況可知,方程存在三個(gè)不同的實(shí)根,當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不同的根,且,.一方面,若關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不同的根,且,則首先有,且.故, ,所以.而方程的解是,兩解符號相反,故只能,.所以,即.這就得到,所以,解得.故我們得到;另一方面,當(dāng)時(shí),關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不同的根,.且有,.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:對于取值范圍問題,使用分類討論法是最直接的手段.

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