狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,目錄(1/1),目 錄,概述,2.1,狀態(tài)和狀態(tài)空間模型,2.2,根據系統機理建立狀態(tài)空間模型,2.3,根據系統的輸入輸出關系建立狀態(tài)空間模型,2.4,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型,2.5,傳遞函數陣,2.6,線性離散系統的狀態(tài)空間描述,2.7 Matlab,問題,本章小結,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(1,/8),2.4,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,從上一節(jié)的討論可知,同一個系統的狀態(tài)空間模型,即使其維數相同,但其具體結構和系數矩陣也是多種多樣的,如系統矩陣,A,可以為對角線矩陣的或

2、者約旦矩陣的,也可以為其他形式的。,即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性,。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,2/8),為何同一個系統具有不同的狀態(tài)空間模型?,原因,: 狀態(tài)變量的不同選擇,這就產生了一個問題:,各種不同選擇的狀態(tài)變量之間,以及它們所對應的狀態(tài)空間模型之間的關系如何?,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,3/8),此外,在控制系統的分析和設計中,某些特殊的系統數學模型對討論問題相對簡單得多,如前面建立的對角線規(guī)范形的和約旦規(guī)范形。,于是自然會提出如下問題:,如何把一般形式的狀態(tài)空間模型變換成特定形式的狀態(tài)空間模型,以降低系統的分析問題和設計問題的難度。,解決上述兩個問題,就

3、需引入狀態(tài)空間的線性變換。,什么是狀態(tài)空間的線性變換?,如何理解?,本章關鍵喔!,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,4/8),狀態(tài)變量是一組實變量,它們所組成的狀態(tài)空間為一個實線性空間。,由線性代數知識可知,線性空間中,隨著表征空間坐標的,基底的選取的不同,空間中的點關于各種基底的,坐標亦不同,。,這些基底之間的關系為進行了一次坐標變換,而空間中的點的,坐標則相當于作了一次相似變換。,如,在如右圖所示的平面直角坐標系中,A,點在兩個坐標系下的坐標存在如下變化關系(其中,P,為非可逆的變換矩陣),狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,5/8),n,維空間中的旋轉變換、極坐標變換,線性空間

4、中的相似變換,都屬于空間變換。,其中旋轉變換和相似變換還屬于線性變換。,狀態(tài)空間中由于狀態(tài)變量的不同選擇類似于線性空間中的坐標架的不同選擇，,同一個系統不同選擇狀態(tài)變量組之間存在類似于線性空間不同坐標架之間的線性變換,因此我們將在狀態(tài)空間中坐標變換稱為狀態(tài)空間的線性變換。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,6/8),引入坐標變換和狀態(tài)空間線性變換等概念,實際上就回答了上述兩個問題:,1.,不同選取狀態(tài)變量之間存在一個,坐標變換,其相應的狀態(tài)空間模型之間也存在一個相應的,相似變換,。,2.,既然可以對狀態(tài)變量和狀態(tài)空間模型進行線性變換,則在一定條件下應可以將一般形式的狀態(tài)空間模型變換成某種

5、特殊的狀態(tài)空間模型。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,7/8),本節(jié)主要討論狀態(tài)空間的線性變換,以及如何將系統狀態(tài)空間描述變?yōu)槠浼s旦規(guī)范形。,本章關鍵問題:,1.,線性變換的幾何及空間意義,建立空間想象力,2.,如何作系統線性變換,3.,系統的對角規(guī)范形和約旦規(guī)范形描述,4.,代數重數、幾何重數與約旦矩陣,5.,如何求矩陣的廣義特征向量,建立空間概念,可是學好控制理論的關鍵喔,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,8/8),主要內容為,:,狀態(tài)空間的線性變換,系統特征值的不變性與系統的不變量,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形,化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形,狀態(tài)空間的線性變換(1/,2),2.4.1

6、,狀態(tài)空間的線性變換,對于一個,n,階,動態(tài)系統,可通過選擇適當的,n,個狀態(tài)變量以建立狀態(tài)空間模型來描述它。,但是,這,n,個狀態(tài)變量的選擇卻不是唯一的。,這一點可利用線性代數中的基底不唯一來理解。,一個,n,維線性獨立的狀態(tài)變量向量,在,n,維狀態(tài)空間中構成一個坐標系,即相當于空間中的一個基底。,根據線性代數知識,在這個空間中還存在另外的坐標系,且與原坐標系存在一個線性變換關系。,狀態(tài)空間的線性變換(,2/2),下面分別討論:,狀態(tài)空間的線性變換,狀態(tài)空間模型的線性變換,上述狀態(tài)變量向量,x,與,間的變換,稱為狀態(tài)的線性變換。,由線性代數知識可知,它們之間必有如下變換關系,狀態(tài)空間的線性變

7、換(1/1),1.,狀態(tài)空間的線性變換,設描述同一個,線性,狀態(tài)空間的兩個,n,維的狀態(tài)變量向量分別為,其中,P,為,n,n,維的非奇異變換矩陣。,值得指出的是:,變換矩陣,P,只有為非奇異的,才能使,x,和,間的變換關系是等價的、唯一的和可逆的。,兩種表達式式之間存在什么關系?,狀態(tài)空間的線性變換(1,/14),2,.狀態(tài)空間模型的線性變換,設在狀態(tài)變量,x,和,下,系統狀態(tài)空間模型分別為,將變換關系,x,=,P,代入,(,A,B,C,D,),的,狀態(tài)方程中有,狀態(tài)空間的線性變換(,2/14),由于變換矩陣,P,非奇異,因此有,則有,應該注意的是,系統的初始條件也必須作相應的變換,即,將上式

8、與狀態(tài)空間模型,比較,則線性系統,(,A,B,C,D,),在線性變換矩陣,P,下的各矩陣具有如下對應關系,其中,t,0,為系統運動的初始時刻。,狀態(tài)空間的線性變換(,12/14),例,2-5,下面介紹狀態(tài)空間模型變換的算例。,例,2-5,試將以下狀態(tài)空間模型,作變換矩陣為下式所示的線性變換,狀態(tài)空間的線性變換(1,3/14),解,線性變換,P,的逆矩陣為,因此,有,狀態(tài)空間的線性變換(1,4/14),故系統在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,值得指出的是,狀態(tài)空間的線性變換只是對狀態(tài)變量作變換,對系統的輸入和輸出未作變換,因此,系統的輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關系對狀態(tài)變換保持不變,。,系統特征值的

9、不變性與系統的不變量,(,1/2),2.4.2,系統特征值的不變性與系統的不變量,由前面的討論可知,當選擇不同的狀態(tài)變量,則獲得不同的狀態(tài)空間模型描述。,實際上,狀態(tài)空間模型只是系統在不同的狀態(tài)變量選擇下對系統的一種描述,它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同,并不具有唯一性和不變性。,那么,到底系統在狀態(tài)空間中有哪些描述,哪些性質是不變的,是不隨狀態(tài)變量的選取不同而變化的?,線性定常系統的特征結構由特征值和特征向量所表征。,系統的特征結構對系統運動的特性和行為具有重要的影響,決定了系統的基本特性。,系統特征值的不變性與系統的不變量,(,2/2),下面我們將討論系統經狀態(tài)線性變換后,其特征值不變,亦即狀

10、態(tài)線性變換不改變系統的基本特性。,系統矩陣的特征值是一種描述系統本質特征的,并具有唯一性的不變量,即不隨狀態(tài)變量的選取不同而變化的不變量,它在系統分析和綜合上起著重要的作用。,下面將分別討論:,系統的特征值和特征向量,系統,特征值的不變性,特征向量的計算,廣義特征向量和特征向量鏈,難點喔!,重點喔,難點喔!,重點喔,系統的特征值和特征向量(,1/,4),1,.,系統的特征值和特征向量,狀態(tài)空間的線性變換,只是改變了描述系統的角度(或說坐標系),系統的本質特征應保持不變。,對于線性定常系統來說,系統的特征值(極點)決定了系統的基本特性。,特征值應是系統不變的本質特征之一。,系統經狀態(tài)線性變換后,

11、其本質特征之一的特征值應保持不變,亦即狀態(tài)線性變換不改變系統的基本特性。,下面先討論矩陣特征值和特征向量的定義。,系統的特征值和特征向量(,2/,4),特征值和特征向量定義,定義,2-2,設,v,是,n,維非零向量,A,是,n,n,矩陣。若方程組,Av,=,v,成立,則稱,為矩陣,A,的,特征值,非零向量,v,為,所對應的矩陣,A,的,特征向量,。,將上述特征值的定義式寫為,(,I,-,A,),v,=0,其中,I,為,n,n,的單位矩陣。,因此,由代數方程論可知,上式有非零特征向量,v,的解的充要條件為,|,I,-,A,|=0,并稱上式為矩陣,A,的,特征方程,而,|,I,-,A,|,為,A,

12、的,特征多項式,。,系統的特征值和特征向量(,3/4),特征值和特征向量定義,將,|,I,-,A,|,展開，可得,|,I,-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,=0,其中,a,i,(,i,=1,2,n,),稱為特征多項式的系數。,因此,n,n,維的矩陣,A,的特征多項式為,n,階多項式。,若矩陣,A,為實矩陣,則對應的特征方程為一實系數代數方程,共有,n,個根。,這,n,個根或為實數,或為成對出現的共軛復數。,求解矩陣特征值的方法即為求解矩陣,A,的特征方程。,n,階的特征方程的,n,個根,1,2,n,即為矩陣,A,的,n,個特征值。,在得到特征值,i,后,由式

13、,(2-46),或式,(2-47),可求得矩陣對應于,i,的特征向量,v,i,。,系統的特征值和特征向量(,4/4,),如下定義所示,矩陣特征值的概念可推廣至線性定常系統,(,A,B,C,D,),。,定義,對于線性定常系統,(,A,B,C,D,),系統的特征值即為系統矩陣,A,的特征值。,關于系統特征值,幾點注記:,A.,一個,n,維線性定常系統必然有,n,個特征值與之對應。,B.,對于物理上可實現的系統,其系統矩陣必為實矩陣。,因此,線性定常系統的特征多項式必為實系數多項式,即系統的特征值或為實數,或為成對出現的共軛復數。,系統,特征值的不變性(1/2),2.,系統特征值的不變性,系統的特征

14、值表征了系統本質的特征。,而線性變換只是相當于對系統從另外一個角度來描述而已,并未改變系統的本質。,刻劃了系統本質特征的系統特征值應不隨線性變換而改變,即有如下,結論,:,線性定常系統特征值對線性變換具有不變性。,系統,特征值的不變性(2/2),對于這個結論,亦可證明如下:,設系統原狀態(tài)空間模型中的系統矩陣為,A,經線性變換,后,系統矩陣為,可見,系統經線性變換后,其特征值不變。,矩陣,的特征多項式為,即證明了,A,的特征多項式等于的,特征多項式。,特征向量的計算,(1,/9),3.,特征向量的計算,如何求解特征值,i,對應的,特征向量?,求解特征向量,即求如下齊次矩陣代數方程的非零解,(,i

15、,I,-,A,),v,i,=0,由于,i,為,A,的特征值,故,i,I,-,A,不可逆。,因此,由代數方程理論可知,該方程組的解并不唯一。,由特征向量的定義可知,我們需求解的是線性獨立的特征向量。,實際上,具體求特征向量時,可假定其特征向量的某個或幾個元素的值,然后再求得該特征向量其他元素的值。,特征向量的計算,(2,/9),當特征方程存在重根時,線性獨立的特征向量可能不唯一。,因此,就產生如下問題:,問題:,對應于特征值,i,究竟有幾個獨立的特征向量,?,答案:,矩陣的重特征值,i,所對應的線性獨立的特征向量可能不止一個。,它的獨立特征向量的數目等價于系統的維數與線性方程組(,2-47),的

16、線性獨立的方程數之差,即為,n,-rank(,i,I,-,A,),其中,rank,為矩陣的秩。,特征向量的計算,(3,/9),因此,r,重的特征值可能存在1至,r,個線性獨立的特征向量。,由此,導出如下問題:,獨立的特征向量數到底具有什么意義?,它與特征值的重數之間有何關系?,下面引入代數重數與幾何重數兩個概念。,不要混淆喔!,特征向量的計算,(4,/9),兩個基本概念:,代數重數,。,由特征方程求得的特征值,i,的重數稱為特征值,i,的代數重數。,幾何重數,。,特征值,i,線性獨立的特征向量數稱為特征值,i,的幾何重數。,代數重數和幾何重數是兩個不同的概念。,幾何重數具有幾何上空間表征的意義

17、,它代表在空間分解上不變的幾何子空間的數目。,而代數重數僅具有代數意義,它代表特征值在特征方程的重數。,特征向量的計算,(5,/9),例,2-6,例,2-6,求如下矩陣的特征向量,解,1.,由特征方程,|,I,-,A,|=0,求得系統的特征值。,特征向量的計算,(,6/9),例,2-6,解該,特征方程,可求得系統的特征值為,1,=1,2,=,3,=2,即2為系統的二重特征值,其代數重數為2,2.,計算,1,=1,的特征向量。,按定義有,(,1,I-,A,),v,1,=0,即,特征向量的計算,(,7/9),例,2-6,解之得特征向量,v,1,的通解為,v,1,=,v,11,v,11,2,v,11

18、,令,v,11,=1,解之得,v,1,=,v,11,v,12,v,13,= 1 1 2,特征向量的計算,(,8/9),例,2-6,3.,計算重特征值,2,=,3,=2,的特征向量。,按定義有,(,2,I-,A,),v,2,=0,即,特征向量的計算,(,9/9)-,例,2-6,由于,n,-rank(,2,I,-A)=2,因此,特征值應有,2,個獨立特征向量,故該重特征值的幾何重數亦為2。,解之得特征向量,v,2,的通解為,v,2,=,v,21,v,22,v,21,令,v,21,=1,v,22,=0,和,1,解之得,v,2,=1 0 1,和,v,3,=1 1 1,即重特征值,2有兩個線性獨立的特征

19、向量。,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,/12),4.,廣義特征向量和特征向量鏈,某些重特征值的線性獨立特征向量數(幾何重數)小于其代數重數,從而使得矩陣所有特征值所對應的線性獨立特征向量數之和小于矩陣維數。,為此,為能進行空間的結構分解和分析,下面引入一組輔助的空間變換基向量-廣義特征向量和特征向量鏈。,定義,廣義特征向量是重特征值,i,所對應的某個線性獨立的特征向量,v,j,滿足如下方程組的向量,v,j,k,:,廣義特征向量和特征向量鏈,(2,/12),解上述方程組一直到無解為止,就可求得特征值,i,的特征向量,v,j,所對應的所有廣義特征向量,v,j,k,。,重特征值,i,的所有線性獨立

20、特征向量,v,j,及其對應的廣義特征向量,v,j,k,的個數等于其代數重數,否則就還存在其他特征向量或廣義特征向量。,值得指出的是,并不是重特征值,i,的任何一組線性獨立的特征向量,都能求出所有的廣義特征向量。,若,i,的某一組特征向量,v,j,及其相應廣義特征向量,v,j,k,的個數小于該特征值的代數重數,則應重新選取其他一組線性獨立的特征向量并求取相應的廣義特征向量。,廣義特征向量和特征向量鏈,(3,/12),重特征值,i,的特征向量,v,j,的廣義特征向量,v,j,1,v,j,2,組成的向量鏈稱為,i,的特征向量,v,j,對應的特征向量鏈。,廣義特征向量并不是矩陣的特征向量,它只是與對應

21、的特征向量組成該矩陣在,n,維線性空間中的一個不變子空間。,矩陣的所有特征向量和廣義特征向量線性獨立,并且構成,n,維線性空間的一組基底。,這在矩陣分析中是相當重要的。,廣義特征向量和特征向量鏈,(4,/12),下面通過一個例子來簡單介紹線性空間的特征子空間分解。,例,某5維線性空間,存在一個3重特征值和一個2重特征值。,3重特征值有2個獨立特征向量,2重特征值有1個獨立特征向量。,則該線性空間可分解為如下3個獨立的不變特征子空間。,廣義特征向量和特征向量鏈,(5,/12),廣義特征向量和特征向量鏈,(6,/12),若該5維線性空間,3重特征值有1個獨立特征向量,2重特征值有2個獨立特征向量。

22、,則該線性空間可分解為如下3個獨立的不變特征子空間。,廣義特征向量和特征向量鏈,(7,/12),例,2-7,例,2-7,求如下矩陣的特征向量和特征向量鏈,解,1.,由特征方程|,I,-,A,|=0,可求得系統的特征值為,1,=,2,=,3,=-1,即-1為系統的三重特征值,其代數重數為3。,2.,計算對應于三重特征值-,1,的特征向量。,按定義有,(,1,I-,A,),v,1,=0,廣義特征向量和特征向量鏈,(8,/12),例,2-7,即,由于,n,-rank(,1,I-A)=2,因此,該特征值應有,2,個獨立特征向量,故該重特征值的幾何重數亦為2。,由于該重特征值的幾何重數小于代數重數，因此

23、存在廣義特征向量。,解之得如下特征向量的通解式,v,1,=,v,11,v,12,-(,v,11,+,v,12,),/2,廣義特征向量和特征向量鏈,(9,/12),例,2-7,分別令兩組獨立的,v,11,v,12,即可求得,三重特征值,1,的,兩個線性獨立的特征向量。,三重特征值-1只有兩個線性獨立特征向量,其幾何重數為2。,因此,重特征值-1的兩個獨立特征向量中有一個一定存在廣義特征向量。,下面通過求廣義特征向量來輔助決定選取合適的,v,11,和,v,12,。,廣義特征向量和特征向量鏈,(,10/12),例,2-7,3.,計算對應于特征向量的廣義特征向量和特征向量鏈。,按定義式(,2-51),

24、特征向量,v,1,的廣義特征向量,v,1,2,滿足,(,1,I-,A,),v,1,2,=-,v,1,即,因此,根據方程的可解性,存在廣義特征向量的特征向量,v,1,中的,v,11,和,v,12,滿足,v,11,=-3,v,12,3,倍關系,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,1/12),例,2-7,此時的廣義特征向量的解為,v,1,2,=,r,1,r,2,-(,r,1,+,r,2,-,v,12,),/2,其中,r,1,和,r,2,為任意數。,因此存在廣義特征向量的特征向量,v,1,為和其對應的廣義特征向量可以分別取為,v,1,=,v,11,v,12,-(,v,11,+,v,12,),/2,=-3,

25、v,12,v,12,v,12,=1 -1/3 -1/3,v,1,2,=,r,1,r,2,-(,r,1,+,r,2,-,v,12,),/2,=1 2/3 -1,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,2/12),例,2-7,另外一個不存在廣義特征向量的,三重特征值,1,的特征向量為,v,2,=,v,11,v,12,-(,v,11,+,v,12,),/2,=1 0 -1/2,本例共求得3個特征向量和廣義特征向量,。,由于矩陣,A,的維數為3,3,因此對應于上述特征向量和廣義特征向量,已不存在其他廣義特征向量。,故特征值,1,對應于特征向量,v,1,的特征向量鏈為,v,1,和,v,1,2,。,化狀態(tài)方程為對

26、角線規(guī)范形(1,/12),2.4.3,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形,對角線規(guī)范形是指系統矩陣,A,為對角線矩陣的一類狀態(tài)空間模型。,對于該類狀態(tài)空間模型,由于在系統分析和綜合時,清晰直觀,使問題得以簡化,該類系統可簡化成,n,個一階慣性環(huán)節(jié)的并聯,故在狀態(tài)空間分析法中是較重要的一類特殊狀態(tài)空間模型。,任何具有,n,個線性獨立特征向量的狀態(tài)空間模型一定能經狀態(tài)變換變換成對角線規(guī)范形。,該結論可詳細地并構造性地證明如下。,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(2,/12),結論,已知線性定常系統的狀態(tài)方程為,其中系統矩陣,若,A,的,n,個特征值,1,2,n,所對應的特征向量線性獨立,則必存在變換矩陣,P,使其進

27、行狀態(tài)變換,x,=,P,后為對角線規(guī)范形,即系統的狀態(tài)方程為,為對角線矩陣,并且變換矩陣,P,可取為,P,=,p,1,p,2,p,n,其中,p,i,為矩陣,A,對應于特征值,i,的特征向量。,三、化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(3,/12),證明,若,p,i,為對應與特征值,i,的獨立特征向量,則必有,Ap,i,=,i,p,i,因此有,Ap,1,Ap,2,Ap,n,=,1,p,1,2,p,2,n,p,n,對上式兩邊分別有,Ap,1,Ap,2,Ap,n,=,A,p,1,p,2,p,n,=,AP,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(4,/12),故,AP,=,P,diag,1,2,n,即,P,-1,AP,=dia

28、g,1,2,n,即證明了結論。,對原狀態(tài)方程進行線性變換,的后,可得,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,5/12)-,例,2-8,例,2-8,試將下列狀態(tài)空間模型變換為對角線規(guī)范形,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,6/12)-,例,2-8,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,1,=-1,2,=-2,3,=-3,2.,求特征值所對應的特征向量。,由前述的方法可求得特征值,1,2,和,3,所對應的特征向量分別為,p,1,=1 0 1,p,2,=1 2 4,p,3,=1 6 9,3.,取,A,的特征向量組成變換矩陣,P,并求逆陣,P,-1,即有,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,7/12),例,

29、2-8,4,.,計算各矩陣,5.,系統在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,8/12),下面給出快速計算矩陣特征向量及對角線規(guī)范形的一個特例:,在第三節(jié)討論的狀態(tài)空間模型中,其系統矩陣為,其特征多項式為,|,I-,A,|=,n,+,a,1,n,-1,+,a,n,-1,+,a,n,即該類矩陣的最后一行與特征多項式的系數一一對應。,該類特殊系統矩陣,A,稱為,友矩陣,。,單位,矩陣,化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(,9/12),友矩陣的特征向量的特點:,當特征值為,i,時,其對應的特征向量為,該結論可由下式證明。,即,p,i,為友矩陣的特征值,i,對應的特征向量。,化狀態(tài)方程為對

30、角線規(guī)范形(,10/12)-,例,2-9,因此,當友矩陣的特征值互異時,將友矩陣變換成對角線矩陣的變換矩陣恰為下述,范德蒙矩陣,例,2-9,試將下列狀態(tài)空間模型變換為對角線規(guī)范形,三、化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(1,1/12)-,例,2-9,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,1,=0,2,=-1,3,=-2,2.,由于,A,為友矩陣,故將,A,變換成對角線矩陣的變換矩陣,P,及其,逆陣,P,-1,分別為,三、化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形(1,2/12),例,2-9,3,.,計算各矩陣,4,.,系統在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形(1/1),2.4.4,化

31、狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形,若系統存在重特征值且線性獨立特征向量數小于該特征值的重數時,則系統矩陣,A,不能變換成對角線矩陣。,在此種情況下,A,可變換成約旦矩陣,系統表達式可變換成約旦規(guī)范形。,下面將分別討論,約旦塊和約旦矩陣,約旦規(guī)范形及其計算,約旦塊和約旦矩陣,(1/,3),1.,約旦塊和約旦矩陣,矩陣的約旦塊的定義為,由,l,個約旦塊,J,i,組成的塊對角的矩陣稱為約旦矩陣,如,J,=block-diag,J,1,J,2,J,l,約旦塊和約旦矩陣,(2/,3),下述矩陣均為約旦矩陣,上述第一個約旦矩陣有兩個約旦塊,分別為,1,1,維的特征值,2,的約旦塊和,3,3,維的特征值,-1,的約旦塊

32、,;,第二個約旦矩陣有三個約旦塊,分別為,1,1,維的特征值,3,的約旦塊以及,1,1,維和,2,2,維的特征值,-1,的兩個約旦塊。,約旦塊和約旦矩陣,(,3/3),由約旦塊和約旦矩陣的定義可知,對角線矩陣可視為約旦矩陣的特例,其每個約旦塊的維數為1,1。,在本課程中,若未加以特別指出的話,則所有對約旦矩陣有關的結論都同樣適用于對角線矩陣。,約旦規(guī)范形及其計算,(1/16),2.,約旦規(guī)范形及其計算,定義,系統矩陣,A,為約旦矩陣的狀態(tài)空間模型稱為約旦規(guī)范形。,與對角線規(guī)范形一樣,約旦規(guī)范形也是線性定常系統的狀態(tài)空間分析中一種重要的狀態(tài)空間模型。,下面討論一般狀態(tài)空間模型與約旦規(guī)范形之間的線

33、性變換的計算問題。,對于任何有重特征值且其線性獨立特征向量數小于其維數的矩陣,雖然不能通過相似變換化成對角線矩陣,但,可經相似變換化為約旦矩陣。,約旦規(guī)范形及其計算,(2/16),狀態(tài)空間模型變換與對角線規(guī)范形、約旦矩陣規(guī)范形的關系?,一般狀態(tài),空間表達式,對角線規(guī)范形,約旦規(guī)范形,n,個獨立特征向量,代數重數=幾何重數,代數重數幾何重數,n,個獨立特征向量與廣義特征向量,特例,線性變換,Understand,?,約旦規(guī)范形及其計算,(3/16),若將對角線矩陣視為約旦矩陣的特例的話,則任何矩陣皆可經相似變換化為約旦矩陣。,相應地,任何狀態(tài)空間模型都可經狀態(tài)變換變換成約旦規(guī)范形。,任何矩陣都可

34、變換成約旦矩陣,但能變換成有幾個約旦塊的約旦矩陣,則與系統的特征向量有關。對此有如下,結論,:,矩陣所變換成的約旦矩陣的約旦塊數等于該矩陣的線性獨立特征向量數(即幾何重數)。,約旦規(guī)范形及其計算,(4/16),由前面討論可知:,任何狀態(tài)空間模型一定能經狀態(tài)變換變換成約旦規(guī)范形。,該結論可詳細地并構造性地敘述并證明如下。,約旦規(guī)范形及其計算,(4/16),結論,已知線性定常系統的狀態(tài)方程為,x,=,A,x,+,B,u,若,A,的共有,p,(,p,n,),個互異的特征值,l,(,p,l,n,),個線性獨立特征向量,p,i,及相應地廣義特征向量,p,i,j,(,i,=1,2,l,;,j,=1,2,m

35、,i,),則必存在變換矩陣,P,使其進行狀態(tài)變換,x,=,P,后為約旦規(guī)范形,即系統的狀態(tài)方程為,其中系統矩陣為約旦矩陣,并且變換矩陣,P,可取為,P,=,P,1,P,2,P,l,約旦規(guī)范形及其計算,(5/16),變換矩陣,P P,=,P,1,P,2,P,l,中的,P,i,為矩陣,A,對應于線性獨立特征向量,p,i,的特征向量鏈組成的如下分塊矩陣,證明,若,p,i,和,p,i,j,為對應與特征值,i,的獨立特征向量和廣義特征向量,則,必有,約旦規(guī)范形及其計算,(6/16),因此有,其中,J,i,為相應的約旦塊。,Ap,i,=,i,p,i,約旦規(guī)范形及其計算,(7/16),即,P,-1,AP,=

36、block-diag,J,1,J,1,J,l,故,AP,i,=,P,i,J,i,約旦規(guī)范形及其計算,(8/16)例,2-10,即對原狀態(tài)方程進行線性變換,的后,可得,=,P,-1,AP,=block-diag,J,1,J,2,J,l,即證明了結論。,例,2-10,試將下列狀態(tài)空間模型變換為約旦規(guī)范形,約旦規(guī)范形及其計算,(9/16)例,2-10,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,1,=,2,=,3,=2,4,=-1,2.,求特征值所對應的特征向量。,由前述的方法可求得特征值2由如下兩個線性獨立特征向量,P,1,1,=1 1 -1 1/3,P,2,1,=1 0 0 -1,其

37、中,p,1,1,無廣義特征向量,而,p,2,1,的廣義特征向量為,P,2,2,=1 1 0 -1,特征值,-1的特征向量為,P,3,1,=0 0 0 1,約旦規(guī)范形及其計算,(10/16)例,2-10,3.,取,A,的特征向量和廣義特征向量組成變換矩陣,P,并求逆陣,P,-1,即有,約旦規(guī)范形及其計算,(11/16)例,2-10,4,.,計算各矩陣,約旦規(guī)范形及其計算,(12/16)例,2-10,5.,系統在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,約旦規(guī)范形及其計算,(13/16),對前面討論的特殊矩陣-友矩陣,它的廣義特征向量的快速計算方法為:,當特征值為,i,時,其對應的特征向量和廣義特征向量分別為,約旦規(guī)范形及其計算,(14/16)例,2-11,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,1,=-1,2,=,3,=-2,其中,m,i,為該特征值的代數重數。,該結論可由廣義特征向量和友矩陣的定義證明。,例,2-11,試將下列狀態(tài)空間模型變換為約旦規(guī)范形,約旦規(guī)范形及其計算,(15/16)例,2-11,3,.,計算各矩陣,2.,由于,A,為友矩陣,故將,A,變換成對角線矩陣的變換矩陣,P,及其,逆陣,P,-1,分別為,約旦規(guī)范形及其計算,(16/16)-例,2-11,4,.,系統在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,