【人教版】2018年八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué):《整式的乘法與因式分解解讀與拓展》課件:因式分解

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1、教材全面解讀,首頁(yè),末頁(yè),目錄,易錯(cuò)易混警示,重點(diǎn)題型剖析,中考教材對(duì)接,第十四章 整式的乘法與因式分解,因式分解,因式分解,定義,因式分解與整式乘法的關(guān)系,因式分解,把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,像這樣的式子變形叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解,也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式,(a+b)(a-b),知識(shí)解讀,(,1,)因式分解是多項(xiàng)式的恒等變形,因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式;(,2,)因式分解的結(jié)果必須是積的形式;(,3,)每個(gè)因式必須是整式,每個(gè)因式的次數(shù)都低于原來多項(xiàng)式的次數(shù);,(,4,)因式分解必須分解到不能再分解為止,因式分解,整式乘法,B,例1 以下式子從左到右變形是因式分解的是 ,解析: ,

2、等式右邊不是整式乘積的形式,故A選項(xiàng)不是因式分解;,等式右邊是整式乘積的形式,故B選項(xiàng)是因式分解;,等式右邊不是整式乘積的形式,故C選項(xiàng)不是因式分解;,,等式左邊不是多項(xiàng)式,故D選項(xiàng)不是因式分解.應(yīng)選B.,是不是因式分解,就是看等式右邊是不是整式乘積的形式,.,提公因式法,定義,公因式,一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的一個(gè)公共的因式,我們把這個(gè)因式叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式,提公因式法,一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取出來,將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫作提公因式法,知識(shí)解讀,(1),公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式,只在某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)中含有而其

3、他項(xiàng)中沒有的字母,不能成為公因式的一部分,它的構(gòu)成為:系數(shù)為各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù);字母為各項(xiàng)都含有的相同字母;指數(shù)為相同字母的最低次數(shù),.,(2),多項(xiàng)式的公因式可以是一個(gè)單項(xiàng)式,也可以是一個(gè)多項(xiàng)式,D,例,2,多項(xiàng)式,的公因式是( ),解析:整式可以看作是由 ,,三項(xiàng)組成,這三項(xiàng)中都含有因式,a,和,,由于首項(xiàng)符號(hào)為“,-”,,所以公因式是,.,故選,D.,D,例,3,下列因式分解正確的是( ),解析:,A,選項(xiàng)中應(yīng)提取公因式,3,a,;,B,選項(xiàng)提取公因式,a,后,遺漏“,1”,這一項(xiàng);,C,選項(xiàng)提取公因式,-2,a,后,余式中的兩項(xiàng)沒變號(hào);,D,選項(xiàng),,因此,D,選項(xiàng)正確,.,故選,D.

4、,注意,1當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)首項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí),可先提取“-.,2當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí),提取公因式后括號(hào)內(nèi)該項(xiàng)對(duì)位置寫成1,注意避免漏項(xiàng).,圖,14-3-1,例,4,如圖,14-3-1,,邊長(zhǎng)為,a,,,b,的長(zhǎng)方形,它的周長(zhǎng)為,14,,面積為,10,,則,的值為,_,70,_.,解析:由題意,得,a+b,=7,ab,=10,確定公因式一是要從系數(shù)、字母及指數(shù)三方面入手,公因式可以是一個(gè)單項(xiàng)式,也可以是一個(gè)多項(xiàng)式,互為相反數(shù)的因式可變形為公因式,.,利用平方差公式法分解因式,概念,字母表示,平方差公式法,兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,知識(shí)解讀,(,1,)多項(xiàng)式由兩

5、項(xiàng)組成,形式上必須是兩個(gè)數(shù)平方的差;,(,2,)因式分解的結(jié)果是這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積;,(,3,)字母,a,b,可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式,例,5,分解因式:,解:1原式,(2)原式=,(3)原式,a(a+b)(a-b),例,6,(四川樂山中考)分解因式:,=_.,解析:,二項(xiàng)式或者可以看作是二項(xiàng)式的因式分解,一般先考慮利用平方差公式法,如果有公因式的,一定要先提取公因式,再嘗試?yán)闷椒讲罟椒ǚ纸庖蚴?,利用完全平方公式法分解因式,概念,字母表示,完全平方公式法,兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的,2,倍,等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方,知識(shí)解讀,(,1,)多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式,其

6、中兩項(xiàng)是兩數(shù)和的平方,另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)的積的,2,倍;,知識(shí)解讀,(,2,)因式分解的結(jié)果是這兩個(gè)數(shù)和的平方或差的平方,若乘積項(xiàng)的符號(hào)為“,+”,,則是這兩數(shù)的和的平方,若乘積項(xiàng)的符號(hào)為“,-”,,則是這兩個(gè)數(shù)的差的平方,;,(,3,)公式中的字母可以是單項(xiàng)式,也可以是多項(xiàng)式;,(4),我們把,這樣的式子叫作完全平方式,例,7,分解因式:,解:,(1),原式,=,(2),原式,例,8,分解因式:,解:,(1),原式,(2),原式,(3),原式,在利用完全平方公式分解因式時(shí),根據(jù)公式的特征,有時(shí)需要對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變形,才可以利用完全平方公式分解因式,.,型式子的因式分解,因式分解公式,依據(jù),型式子

7、的因式分解,知識(shí)解讀,(,1,)二次項(xiàng)系數(shù)為,1,;,(,2,)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積;,(,3,)一次項(xiàng)系數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的和;(,4,)當(dāng),p=q,時(shí),,例,9,請(qǐng)你仿照下面例子分解因式的方法,把下列的多項(xiàng)式分解因式:,例子:,分解因式,:,解:,對(duì),型的式子進(jìn)行因式分解,關(guān)鍵是常數(shù)項(xiàng)分解成的兩個(gè)數(shù)的和一定要等于一次項(xiàng)的系數(shù).,分解因式不徹底,例,10,分解因式:,解:,(1),原式,=2,x,(,x,-2,y,),.,(2),原式,易錯(cuò)總結(jié),(1),中的易錯(cuò)點(diǎn)為,即提取公因式不徹底導(dǎo)致錯(cuò)誤;,(2),中的易錯(cuò)點(diǎn)為,即對(duì),的因式分解不徹底,.,提公因式后,遺漏某項(xiàng),解:原式,=3,x,(,x,-6

8、,y,+1).,例,11,因式分解:,易錯(cuò)總結(jié),當(dāng)公因式是多項(xiàng)式的某一項(xiàng)時(shí),提取公因式后,括號(hào)內(nèi)本項(xiàng)對(duì)應(yīng)位置遺漏,1,,導(dǎo)致出現(xiàn)類似,的錯(cuò)誤,.,題型一 選取適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴?角度,a,先提取公因式,再運(yùn)用公式法分解因式,例,12,分解因式:,再利用完全平方公式進(jìn)行徹底地分解,觀察各個(gè)因式是否不能再分解,思路導(dǎo)圖,先提取公因式,解:原式,=,方法點(diǎn)撥:,多項(xiàng)式中有公因式,又存在分?jǐn)?shù)系數(shù),提取公因式時(shí)把 與 一并提取,.,角度,b,兩次運(yùn)用公式法分解因式,從整體上可以看作是,“,二項(xiàng)式,”,,先用平方差公式法分解因式,思路導(dǎo)圖,再運(yùn)用完全平方公式法分解因式,注意分解要徹底,例,13,分解因式,

9、:,解:原式,=,方法點(diǎn)撥:,分解因式時(shí),得到的余式假設(shè)能繼續(xù)因式分解,那么應(yīng)繼續(xù)分解,直到不能再分解為止.,角度,c,先對(duì)多項(xiàng)式局部分解或展開,組合后再分解因式,例,14,分解因式:,思路導(dǎo)圖,觀察各個(gè)因式是否分解徹底,(1),先對(duì) 因式分解,再?gòu)恼w上提取公因式;,(,2,)先對(duì),-4,(,a+b,-1,)變形,再運(yùn)用完全平方公式法分解因式 觀察各個(gè)因式是否分解徹底,解:,(1),原式,(2),原式,方法點(diǎn)撥:,分解因式的一般步驟:先觀察是否有公因式,假設(shè)有公因式,應(yīng)先提取公因式,再用公式法分解因式;假設(shè)沒有公因式,就觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,用恰當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴?,最后檢查每一個(gè)多項(xiàng)式的因式,看

10、能否繼續(xù)分解.,題型二 利用因式分解求值,例,15,(,1,)已知,x,= ,y,=,,,則 的值為,_;,(2),已知,x+y,=1,則 的值為,_.,(1),先利用平方差公式法因式分解;,(2),先提取公因式,思路導(dǎo)圖,(1),再合并同類項(xiàng);,(2),再運(yùn)用完全平方公式法分解因式,將條件代入求值,解析:,(1),方法點(diǎn)撥:,先利用公式法分解因式,將所求整式整理成含條件的形式,再代入計(jì)算即可.,題型三 運(yùn)用因式分解說理或證明,B,A,例,16,(,1,)已知,a,b,c,是三角形三邊的長(zhǎng),則代數(shù)式 的值是( ),A.,正數(shù),B.,負(fù)數(shù),C.0 D.,無(wú)法確定,(,2,)已知,a,b,c,是三

11、角形三邊的長(zhǎng),那么代數(shù)式,的值是( ),A.,正數(shù),B.,負(fù)數(shù),C.0 D.,無(wú)法確定,解析:(,1,),又,a,b,c,是三角形三邊的長(zhǎng),,a+b-c,0,a-c-b,0,的值為負(fù)數(shù),.,故選,B.,(,2,),=(a+b+c)(a+b-c),,,又,a,b,c,是三角形三邊的長(zhǎng),,a+b-c,0,a+b+c,0,的值為正數(shù),.,故選,A.,方法點(diǎn)撥:,確定整式的正負(fù),可以把整式分解因式,通過確定各個(gè)因式的性質(zhì)符號(hào),進(jìn)而確定整式的值的正負(fù),.,題型四 因式分解在三角形中的綜合運(yùn)用,例,17,已知,a,b,c,是三角形三邊的長(zhǎng),且滿足,求這個(gè)三角形三邊的長(zhǎng),.,解:,a,=3,b,=4,c,=

12、5.,故這個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為,3,4,5.,方法點(diǎn)撥:,此題屬于因式分解與三角形知識(shí)的綜合運(yùn)用.當(dāng)題目中含有平方項(xiàng)時(shí),可先將所給的等式分解因式,再利用完全平方的非負(fù)性即可求得三角形三邊的長(zhǎng).,解讀中考:,因式分解在中考中比較常見,主要以填空題和選擇題為主,考查內(nèi)容一般是同時(shí)考查提公因式法和公式法,.,利用因式分解變形,求代數(shù)式的值也是中考的熱點(diǎn)題型之一,.,A,例,18 (,四川自貢中考,),把多項(xiàng)式 分解因式,結(jié)果正確的是,( ),A.,a,(,a,-4),B.(,a,+2)(,a,-2),C.,a,(,a,+2)(,a,-2),D.,考點(diǎn)一 直接利用提公因式法或公式法分解因式,方法點(diǎn)撥

13、:,在多項(xiàng)式,pa+pb+pc,中,各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式,p,,我們把因式,p,叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式,.,例,19 (,廣西百色中考,),分解因式:,=,( ),A.(4-,x,)(4+,x,),B.(,x,-4)(,x,+4),C.(8+,x,)(8-,x,),D.,A,解析:,.,故選,A.,方法點(diǎn)撥,當(dāng)多項(xiàng)式可以表示成兩數(shù)的平方差時(shí),用平方差公式分解因式.當(dāng)多項(xiàng)式可表示成兩數(shù)平方和與兩數(shù)積的2倍的和、差時(shí),用完全平方公式分解因式,當(dāng)乘積項(xiàng)為“+時(shí)選擇和的完全平方公式,當(dāng)乘積項(xiàng)為“-時(shí)選擇差的完全平方公式.,A,例,20 (,吉林長(zhǎng)春中考,),把多項(xiàng)式 分解因式,結(jié)果正確的是( )

14、,例21 (山東聊城中考)把 分解因式,結(jié)果正確的選項(xiàng)是 ,C,解析:,故選,C.,考點(diǎn)二 提公因式法與公式法相結(jié)合分解因式,例,22 (,廣東梅州中考,),分解因式 結(jié)果正確的是( ),A,解析:,故選,A.,例,23 (,湖北孝感中考,),分解因式:,_,解析:原式,=,例,24 (,廣西賀州中考,),將 分解因式的結(jié)果是,_.,解析:原式,=,考點(diǎn)三 因式分解的應(yīng)用,例,25 (,湖北宜昌中考,),小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者,在他的密碼手冊(cè)中,有這樣一條信息:,a-b,,,x-y,,,x+y,,,a+b,,,分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字:昌、愛、我、宜、游、美,現(xiàn)將 因式分解,結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能

15、是,( ),A.,我愛美,B.,宜昌游,C.,愛我宜昌,D.,美我宜昌,C,解析:,x-y,x+y,a+b,a-b,四個(gè)代數(shù)式分別對(duì)應(yīng)愛、我、宜、昌,,結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛我宜昌”,.,故選,C.,核心素養(yǎng),因式分解是后續(xù)學(xué)習(xí)分式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算、解一元二次方程的基礎(chǔ),同時(shí)也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí),.,例26 將一條長(zhǎng)40 cm的金色彩帶剪成兩段,恰好可用來鑲嵌兩張大小不同的正方形裝飾畫的邊不計(jì)接頭處,兩張裝飾畫的面積相差40 cm2,問:這條金色彩帶應(yīng)剪成多長(zhǎng)的兩段?,解:設(shè)較大正方形的邊長(zhǎng)為,x,cm,,較小正方形的邊長(zhǎng)為,y,cm.,根據(jù)題意,得,(,x+y,)(,x-y,)=40,x+y,=10.,把,x+y,=10,代入,(,x+y,)(,x-y,)=40,,,得,x-y,=4. ,x,+,y,=10,x-y,=4,解得,x,=7,y,=3.,故,4,x,=28,4,y,=12,即這條金色彩帶應(yīng)剪成,28 cm,和,12 cm,的兩段,.,

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