數(shù)學(xué)物理方程 第一章(東南大學(xué)王元明)

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1、數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 課 程 的 內(nèi) 容 三 種 方 程 、 四 種 求 解 方 法 、 二 個(gè) 特 殊 函 數(shù) 、 能 量 積 分 法 、 變 分 法 、 非 線 性 偏 微 分 方 程分 離 變 量 法 、行 波 法 、積 分 變 換 法 、格 林 函 數(shù) 法波 動(dòng) 方 程 、熱 傳 導(dǎo) 方 程 、拉 普 拉 斯 方程 貝 賽 爾 函 數(shù) 、勒 讓 德 函 數(shù) 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 定 義描 述 某 種 物 理 現(xiàn) 象 的 數(shù) 學(xué) 微 分 方 程 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊

2、函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)一 、 基 本 方 程 的 建 立第 一 章 一 些 典 型 方 程 和定 解 條 件 的 推 導(dǎo)二 、 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)三 、 定 解 問(wèn) 題 的 概 念 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)一 、 基 本 方 程 的 建 立條 件 ： 均 勻 柔 軟 的 細(xì) 弦 ， 在 平 衡 位 置 附 近 產(chǎn) 生 振 幅 極 小 的 橫 振 動(dòng) 。 不 受 外 力 影 響 。例 1、 弦 的 振 動(dòng) 研 究 對(duì) 象 ： 線 上 某 點(diǎn) 在 t 時(shí) 刻 沿 縱 向 的

3、 位 移 。( , )u x t 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)簡(jiǎn) 化 假 設(shè) ：(2)振 幅 極 小 ， 張 力 與 水 平 方 向 的 夾 角 很 小 。(1)弦 是 柔 軟 的 ， 弦 上 的 任 意 一 點(diǎn) 的 張 力 沿 弦 的 切 線 方 向 。cos 1 cos 1 gds M M ds x T y x dx x T 牛 頓 運(yùn) 動(dòng) 定 律 ：sin sin T T gds ma 橫 向 ： cos cos T T 縱 向 ： ( , )sin tan ( d , )sin tan u x txu x x tx

4、 其 中 ： 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)T T ( d , ) ( , )u x x t u x tT gds max x 2 2( d , ) ( , ) ( , )d du x x t u x t u x tT g x xx x t 其 中 ： d ds x 2 2( , )m dsu x ta t 2 2( d , ) ( , ) ( , ) ( , )d du x x t u x t u x t u x tx xx x x x x 2 2 2 2( , ) ( , )d du x t u x tT g x xx

5、t 其 中 ： 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)2 22 2( , ) ( , )d du x t u x tT g x xx t 2 22 2( , ) ( , )T u x t u x tgx t 2 222 2u ua gt x 一 維 波 動(dòng) 方 程2 Ta 令 ：-非 齊 次 方 程自 由 項(xiàng)2 222 2u uat x -齊 次 方 程忽 略 重 力 作 用 ： 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)從 麥 克 斯 韋 方 程 出 發(fā) ：c v0 DH

6、J tBE tDB 在 自 由 空 間 ： HB ED 00 HE tHE tEH c v0, 0 J 例 2、 時(shí) 變 電 磁 場(chǎng) 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)00 HE tHE tEH 對(duì) 第 一 方 程 兩 邊 取 旋 度 ， )( EtH 根 據(jù) 矢 量 運(yùn) 算 ： 2( )H H H 2 ( )HH t t 222 tHH 由 此 得 ： 得 ： 2 2 22 2 2 2x y z 拉 普 拉 斯 算 子 ： 同 理 可 得 ： 2 22 1E Et 電 場(chǎng) 的 三 維 波 動(dòng) 方 程2 2 2 22 2 2 2

7、1 ( )H H H Ht x y z 磁 場(chǎng) 的 三 維 波 動(dòng) 方 程 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)例 3、 靜 電 場(chǎng) 電 勢(shì) u 確 定 所 要 研 究 的 物 理 量 ：根 據(jù) 物 理 規(guī) 律 建 立 微 分 方 程 ：Eu / E)( uE /2 u 02 u對(duì) 方 程 進(jìn) 行 化 簡(jiǎn) ： u u2 /拉 普 拉 斯 方 程 (無(wú) 源 場(chǎng) ) 泊 松 方 程 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)例 4、 熱 傳 導(dǎo)所 要 研 究 的 物 理 量 ：

8、 溫 度 ),( tzyxu根 據(jù) 熱 學(xué) 中 的 傅 里 葉 實(shí) 驗(yàn) 定 律在 dt時(shí) 間 內(nèi) 從 dS流 入 V的 熱 量 為 ：從 時(shí) 刻 t 1到 t2通 過(guò) S流 入 V的 熱 量 為 tSukQ tt S dd211 高 斯 公 式 （ 矢 量 散 度 的 體 積 分 等 于 該 矢 量 的 沿 著 該 體 積 的 面 積 分 ） tVukQ tt V dd2 1 21 tSnukQ ddd tSnuk dd tSuk dd熱 傳 導(dǎo) 現(xiàn) 象 ： 當(dāng) 導(dǎo) 熱 介 質(zhì) 中 各 點(diǎn) 的 溫 度 分 布 不 均 勻 時(shí) ， 有熱 量 從 高 溫 處 流 向 低 溫 處 。 熱 場(chǎng) MSS

9、 V n 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)tVukQ tt V dd21 21 ),( 1tzyxu ),( 2tzyxu VtzyxutzyxucQ V d),(),( 122 21 QQ 流 入 的 熱 量 導(dǎo) 致 V內(nèi) 的 溫 度 發(fā) 生 變 化 2121 dddd2 tt Vtt V tVtuctVuk tucuk 2 2u k ut c 0 2 u fuatu 22 流 入 的 熱 量 ： 溫 度 發(fā) 生 變 化 需 要 的 熱 量 為 ：Vttuc V tt dd21 21 ddtt V tVtuc 2 2a u

10、熱 傳 導(dǎo) 方 程熱 場(chǎng) MSS V n 穩(wěn) 恒 溫 度 場(chǎng) ： 有 熱 源 ： 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)有 界 桿 上 的 熱 傳 導(dǎo) （ 桿 的 兩 端 絕 熱 ） 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)同 一 類(lèi) 物 理 現(xiàn) 象 中 ， 各 個(gè) 具 體 問(wèn) 題 又 各 有 其 特 殊 性 。邊 界 條 件 和 初 始 條 件 反 映 了 具 體 問(wèn) 題 的 特 殊 環(huán) 境 和 歷史 ， 即 個(gè) 性 。初 始 條 件 ： 能 夠 用 來(lái) 說(shuō) 明 某 一

11、具 體 物 理 現(xiàn) 象 初 始 狀 態(tài)的 條 件 。邊 界 條 件 ： 能 夠 用 來(lái) 說(shuō) 明 某 一 具 體 物 理 現(xiàn) 象 邊 界 上的 約 束 情 況 的 條 件 。二 、 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)其 他 條 件 ： 能 夠 用 來(lái) 說(shuō) 明 某 一 具 體 物 理 現(xiàn) 象 情 況 的 條 件 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)初 始 時(shí) 刻 的 溫 度 分 布 ：B、 熱 傳 導(dǎo) 方 程 的 初 始 條 件 0( , ) | ( )tu M t M C、 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 的 初 始 條 件

12、 描 述 穩(wěn) 恒 狀 態(tài) ， 與 初 始 狀 態(tài) 無(wú) 關(guān) ， 不 含 初 始 條 件 A、 波 動(dòng) 方 程 的 初 始 條 件00| ( )( )ttu xu xt 1、 初 始 條 件 描 述 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài)系 統(tǒng) 各 點(diǎn) 的 初 位 移系 統(tǒng) 各 點(diǎn) 的 初 速 度 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)(2)自 由 端 ： x=a 端 既 不 固 定 ， 又 不 受 位 移 方 向 力 的 作 用 。2、 邊 界 條 件 描 述 系 統(tǒng) 在 邊 界 上 的 狀 況A、 波 動(dòng) 方 程 的 邊 界 條 件(1)固 定

13、 端 ： 對(duì) 于 兩 端 固 定 的 弦 的 橫 振 動(dòng) ， 其 為 ：0| 0,xu ( , ) 0u a t 或 ：0 x auT x 0 x aux ( , ) 0 xu a t (3) 彈 性 支 承 端 ： 在 x=a端 受 到 彈 性 系 數(shù) 為 k 的 彈 簧 支 承 。x ax auT kux 或 0 x au ux 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)B、 熱 傳 導(dǎo) 方 程 的 邊 界 條 件(1) 給 定 溫 度 在 邊 界 上 的 值|su f S 給 定 區(qū) 域 v 的 邊 界(2) 絕 熱 狀 態(tài) 0

14、sun (3)熱 交 換 狀 態(tài)牛 頓 冷 卻 定 律 ： 單 位 時(shí) 間 內(nèi) 從 物 體 通 過(guò) 邊 界 上 單 位 面 積 流到 周 圍 介 質(zhì) 的 熱 量 跟 物 體 表 面 和 外 面 的 溫 差 成 正 比 。1 1( )d d d dudQ k u u S t k S tn 熱 交 換 系 數(shù) ； 周 圍 介 質(zhì) 的 溫 度1k 1u 1 SSu u un 1kk 第 一 類(lèi) 邊 界 條 件第 二 類(lèi) 邊 界 條 件第 三 類(lèi) 邊 界 條 件 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)1、 定 解 問(wèn) 題三 、 定 解 問(wèn)

15、題 的 概 念(1) 初 始 問(wèn) 題 ： 只 有 初 始 條 件 ， 沒(méi) 有 邊 界 條 件 的 定 解 問(wèn) 題 ；(2) 邊 值 問(wèn) 題 ： 沒(méi) 有 初 始 條 件 ， 只 有 邊 界 條 件 的 定 解 問(wèn) 題 ；(3) 混 合 問(wèn) 題 ： 既 有 初 始 條 件 ， 也 有 邊 界 條 件 的 定 解 問(wèn) 題 。 把 某 種 物 理 現(xiàn) 象 滿(mǎn) 足 的 偏 微 分 方 程 和 其 相 應(yīng) 的 定 解條 件 結(jié) 合 在 一 起 ， 就 構(gòu) 成 了 一 個(gè) 定 解 問(wèn) 題 。定 解 問(wèn) 題 的 檢 驗(yàn) 解 的 存 在 性 ： 定 解 問(wèn) 題 是 否 有 解 ；解 的 唯 一 性 ： 是 否

16、只 有 一 解 ； 解 的 穩(wěn) 定 性 ： 定 解 條 件 有 微 小 變 動(dòng) 時(shí) ， 解 是 否 有 相 應(yīng) 的 微 小 變 動(dòng) 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)3、 線 性 偏 微 分 方 程 的 分 類(lèi) 按 未 知 函 數(shù) 及 其 導(dǎo) 數(shù) 的 系 數(shù) 是 否 變 化 分 為 常 系數(shù) 和 變 系 數(shù) 微 分 方 程 按 自 由 項(xiàng) 是 否 為 零 分 為 齊 次 方 程 和 非 齊 次 方 程2、 微 分 方 程 一 般 分 類(lèi) (1) 按 自 變 量 的 個(gè) 數(shù) ， 分 為 二 元 和 多 元 方 程 ；(2) 按

17、 未 知 函 數(shù) 及 其 導(dǎo) 數(shù) 是 否 線 性 ， 分 為 線 性 微 分 方 程 和 非 線 性 微 分 方 程 ；(3) 按 方 程 中 未 知 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 的 最 高 階 數(shù) ， 分 為 一 階 、 二 階 和 高 階 微 分 方 程 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)線 性 方 程 的 解 具 有 疊 加 特 性 ii fLu ffi uui fLu0iLu uui 0Lu4、 疊 加 原 理 幾 種 不 同 的 原 因 的 綜 合 所 產(chǎn) 生 的 效 果 等 于 這 些 不 同 原因 單 獨(dú) 產(chǎn) 生 的 效

18、果 的 累 加 。 (物 理 上 ) xxuatu 22222 2 222 2u ua ux t 2 22u ua xux t 22 21 1 0u u 判 斷 下 列 方 程 的 類(lèi) 型思考 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù) 第 1章 典 型 方 程 和 定 解 條 件 的 推 導(dǎo)5、 微 分 方 程 的 解 古 典 解 ： 如 果 將 某 個(gè) 函 數(shù) u 代 入 偏 微 分 方 程 中 ， 能 使 方 程 成為 恒 等 式 ， 則 這 個(gè) 函 數(shù) 就 是 該 偏 微 分 方 程 的 解 。形 式 解 ： 未 經(jīng) 過(guò) 驗(yàn) 證 的 解 為 形 式 解 。 6、 求 解 方 法分 離 變 量 法 、 行 波 法 、 積 分 變 換 法 、 格 林 函 數(shù) 法