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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第十章 機(jī)械振動(dòng),定義,振動(dòng)：,任何一個(gè)物理量在某一數(shù)值附近作周期性的變化，稱(chēng)為,振動(dòng),；,機(jī)械振動(dòng)：,物體在一定位置附近作來(lái)回 往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為,機(jī)械振動(dòng),。,簡(jiǎn)諧振動(dòng),；,簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成；,阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振。,主要內(nèi)容,10.1,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),一、,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),（,Simple Harmonic Motion),物體在一定位置附近的位移變化滿足簡(jiǎn)諧函數(shù)形式，稱(chēng)為,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),。,彈簧振子,單擺,復(fù)擺,二、,基本特征,以彈簧振子為例,振子受力是,由牛頓第二定律得,物體受力和加速度與位移,x,成正比,且方向相
2、反,（動(dòng)力學(xué)特征）,式中:,上式可以改寫(xiě)為微分方程形式,其解為,式中,A,、,是待定常數(shù)，此式稱(chēng)為簡(jiǎn)諧,運(yùn),動(dòng),的,運(yùn)動(dòng),方程,。,(,稱(chēng)為,角頻率,）,位移,x,按余弦函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化,（,運(yùn)動(dòng)學(xué)特征）,三、,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度與加速度,速度,：,加速度,：,位移,x,、,速度,、,加速度,a,三者與時(shí)間,t,的關(guān)系如圖所示。,四、,描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量,2.,周期,（,Priod,）,1.振幅,（,Amplitude）,離開(kāi)平衡點(diǎn)的最大量值的絕對(duì)值。,給出振動(dòng)量的變化幅度。,注意,：,A、,A、,2,A,分別,是位移、速度、加速度振幅。,完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間,T，,單位是秒（,s）。,
3、表示,：,由運(yùn)動(dòng)方程,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是決定于系統(tǒng)自身的常量，又稱(chēng)為,固有周期(,natural neriod),。,3,.,頻率,（,Frequency,）,物體單位時(shí)間內(nèi)做完全振動(dòng)的次數(shù)稱(chēng)為振動(dòng)頻率，單位是,赫茲,（,Hz）。,表示,:,由定義可知,式中,是角,頻率,單位是,rads,-1,頻率,只與振動(dòng)系統(tǒng)自身性有關(guān),也稱(chēng)為,固有頻率,(,natural frequency),。,4,.,相位與初相位,(,phase and initial phase,）,一是,振動(dòng)的周期性由相位來(lái)反映；,二是,相位確定了振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,t+,稱(chēng)為,相位,稱(chēng)為初相位，,單位是,rad,。,1,o,相位
4、的意義是：,2,o,初相,j,，由開(kāi)始時(shí)刻振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀,態(tài)決定,由運(yùn)動(dòng)方程可知：,t,=0,時(shí)刻,5.,相位差(,phase fifference,),兩個(gè)簡(jiǎn),諧振動(dòng)的相位之差稱(chēng)為,相位差,用,j,表示,表示,:,1,o,j,反映兩振動(dòng)的步調(diào)情況：,j,=0（,或2,整數(shù)倍,),，同步振動(dòng),j,=,（,或,奇數(shù)倍），振動(dòng)步調(diào)相反,j,0,x,2,振動(dòng)超前;,j,0,x,1,振動(dòng)超前,2,o,兩振動(dòng)到達(dá)同一狀態(tài)的時(shí)間差是,五、,旋轉(zhuǎn)矢量(,rotational vector,),在,x,軸上的投影為:,矢徑,A,與,x,軸夾角為:,x=A,cos,(,w,t,+,j,),(,w,t,+,j,
5、),x,參考圓,A,A,t+,o,x,t,t=,0,x,x,p,O,旋轉(zhuǎn)矢量,10.2,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量,以彈簧振子為例:,1,o,動(dòng)能與勢(shì)能均為時(shí)間的函數(shù)，位相差為,/2，,二者可以相互轉(zhuǎn)化，總能量是與時(shí)間,t,無(wú)關(guān)的恒量。,能量隨時(shí)間變化,能量隨空間變化,x,2,o,考察一個(gè)周期內(nèi)的動(dòng)能與勢(shì)能平均值,在一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能相,等，各是總能量的一半。,10.3,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成,一、,同頻率同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成,合振動(dòng)位移,x,就是,x,1,與,x,2,的代數(shù)和,特點(diǎn),:,1,=,2,=,x,1,/,x,2,表示,:,對(duì)如下兩個(gè)振動(dòng),合成結(jié)果為頻率,為,w,的簡(jiǎn)諧振動(dòng),j,1,j,2,j
6、,x,2,x,2,x,1,x,M,2,M,1,M,A,A,1,A,2,P,w,w,w,x,O,由旋轉(zhuǎn)矢量法得出,A,、,是：,則：,則：,x,1,x,2,x,t,合振幅最大,合振幅最小,x,1,x,2,x,t,當(dāng),A,1,=A,2,時(shí)：,合振幅最小值是0。,合振幅最大值是,2,A,1,；,則,A,在上述兩者之間。,二、相互垂直同頻率,簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,特點(diǎn),:,1,=,2,=,對(duì)如下兩個(gè)振動(dòng),合成得到質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程是,質(zhì)點(diǎn)沿1、3(2、4）象限直線作,簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,=0,y,x,=,y,x,=3,/2,=5,/4,=,/2,=,/4,P,Q,質(zhì)點(diǎn)軌跡正橢圓,質(zhì)點(diǎn)軌跡是任意形,狀橢圓。,10.5,阻
7、尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振,一、阻尼振動(dòng)（,damped vibration,）,振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱(chēng)為,阻尼振動(dòng),。,1.阻尼模型,摩擦阻尼：,摩擦阻力使振動(dòng)系統(tǒng)能量逐漸轉(zhuǎn)化為熱能,輻射阻尼：,振動(dòng)系統(tǒng)引起臨近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，使系統(tǒng)能量逐漸向四周輻射,阻尼模型,稱(chēng)為,阻尼系數(shù),條件：,適用于,物體低速運(yùn)動(dòng),情況,2.阻尼振動(dòng)方程,以彈簧,振子,為例,阻尼振動(dòng),微分方程,或?qū)憺?定義固有角頻率,0,和阻尼因子,，,有,通解：,（1,）欠阻尼振動(dòng),令,A,與,由初始條件確定,方程的解可寫(xiě)成,3.三種阻尼形式,t,x,o,T,這時(shí)是準(zhǔn)周期性振動(dòng):,由通解,兩項(xiàng)都衰減，不是周期振動(dòng)，,不能往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,如單
8、擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長(zhǎng)時(shí)間。,（2,）過(guò)阻尼振動(dòng),（3,）臨界阻尼振動(dòng),方程,解,衰減函數(shù),臨界阻尼達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短，但仍不能超過(guò)平衡位置。,三種阻尼振動(dòng)比較,過(guò)阻尼,臨界阻尼,欠阻尼,欠阻尼,過(guò)阻尼,臨界阻尼,彈性力,阻尼力,驅(qū),動(dòng)力,二、受迫振動(dòng)（,forced vibration,）,物體在周期性外力持續(xù)作用下發(fā)生振動(dòng)，稱(chēng)為,受迫振動(dòng),，這個(gè)外力稱(chēng)為,驅(qū)動(dòng)力,以,彈簧,振子為例，振子受力有,則運(yùn)動(dòng)方程是,式中,受迫振動(dòng)方程,的解為,此式表明：,第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)衰減為,0,。,第二項(xiàng)為,驅(qū),動(dòng)力產(chǎn)生的,簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),。,當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，方程的解是,穩(wěn)定
9、的受迫振動(dòng)是一個(gè)與驅(qū)動(dòng)力同頻率的余弦振動(dòng)，其振幅和初相是,小阻尼,大阻尼,阻尼,0,二、共振,（,resonance,）,當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率接近或等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，受迫振動(dòng)振幅急劇達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱(chēng)為,共振,，其頻率稱(chēng)為,共振頻率,。,由表達(dá)式,利用關(guān)系,小阻尼,大阻尼,阻尼,0,共振頻率與系統(tǒng)自身性質(zhì)和阻尼常數(shù)有關(guān)。,相應(yīng)的,最大振幅,和,共振頻率,是,小阻尼,大阻尼,阻尼,0,共振危害；,共振利用。,振子共振,魚(yú)洗,共振現(xiàn)象,3,證明：在小角度下單擺作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。,mg,F,T,0,證明:,1、細(xì)線質(zhì)量不計(jì),3、阻力不計(jì),約定,質(zhì)點(diǎn)重力矩：,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩：,由動(dòng)量矩定理,mg,F,T,0,方程的解
10、是：,其中，單擺的周期是,1.,、的確定：,2.,(,結(jié)合周期,T,結(jié)合旋轉(zhuǎn)矢量法,),：,3.,振動(dòng)方程：,4.,振動(dòng)合成：,5.,振動(dòng)能量：,1,一水平彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅,A=4,10,-2,m，,周期,T=2s，t=0,時(shí)，,試分別寫(xiě)出這兩種情況下的振動(dòng)方程。,解：,1,由初始條件,1 ，且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；,2 ，且向正方向運(yùn)動(dòng)；,2,同理：,說(shuō)明,：,利用旋轉(zhuǎn)矢量法可以更方便求解初始相位。,v,0,0,x,0,A/2,-,A/2,如圖：,已知一簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線,求振動(dòng)方程.,2,解:,由圖可知,x,v,0,0,0,A/2,t=5,x=0,:,6,3,5,一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程,（
11、,SI,），試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點(diǎn)由初始狀態(tài)（,t,=0,的狀態(tài)）運(yùn)動(dòng)到,x,=-0.12,，,0,的狀態(tài)所需最短時(shí)間,t,。,3,解,:,由振動(dòng)方程可知,t,=,0,t,A,r,w,3,2,p,3,p,0,0,.,1,2,0,.,2,4,-,0,.,1,2,-,0,.,2,4,x,一質(zhì)點(diǎn)沿,x,軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其圓頻率 ，試寫(xiě)出以下初始狀態(tài)下的振動(dòng)方程：其初始位移,，初始速度,4,解：,設(shè)振動(dòng)方程為：,位移是振幅一半時(shí),動(dòng)能和勢(shì)能各是總能量的多少?在什么位置動(dòng)能和勢(shì)能各是總能量的一半?,5,解：,（1）,x=A/2,代入 中,（,2,）,6,彈簧振子沿,x,軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)的最大位移,x,
12、m,=0.3,m,，,最大恢復(fù),F,m,=1.2N,，,最大速度,m,=1.2 ms,-1,。,t=0,時(shí)刻的初位移是,且方向同,x,軸正方向一致。,求:1振動(dòng)能量;2振動(dòng)方程.,解:1,2,由初始條件,一彈簧振子沿,x,軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，已知其振動(dòng)的最大位移,x,m,=0.3,m，,最大恢復(fù)力,F,m,=1.2N，,最大速度,m,=1.2,ms,-1,.,當(dāng),t=0,時(shí)的初位移 ,且方向同,x,軸正方向一致.求:1振動(dòng)能量;2振動(dòng)方程.,x,v,0,0,0,7,求：全振動(dòng)表達(dá)式。,一物體同時(shí)參與同一直線上的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方程分別為：（,SI）,解：,直接考察兩個(gè)振動(dòng)位相差：,一質(zhì)點(diǎn)在,x,軸做
13、諧振動(dòng)，周期為,T,，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從,A/2,處運(yùn)動(dòng)到,A,處時(shí)經(jīng)歷的最短時(shí)間為,A ,（,A,）,T/12,（,B,）,T/6,（,C,）,T/8,（,D,）,T/24,8,解：,x,0,一質(zhì)點(diǎn)沿,x,軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程,為,(SI),，從,t,=0,時(shí)刻起，到質(zhì)點(diǎn)位置在,x,=-2cm,處，且向,x,軸正方向運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間間隔為,C s,。,（,A,）,1/8,（,B,）,1/4,（,C,）,1/2,（,D,）,1/6,9,解：,x,0,一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為 ，,cm,，則關(guān)于合振動(dòng)有結(jié)論,B ,。,（,A,）振幅等于,1cm,，初相等于 ；,（,B,）振幅等于,1cm,，初相等于 ；,（,C,）振幅等于,7cm,，初相等于 ；,（,D,）振幅等于,1cm,，初相等于 。,10,0,x,一物體質(zhì)量為,0.25kg,，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù),k,25,，如果起始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能,0.06J,和動(dòng)能,0.02J,，求（,1,）振幅；（,2,）動(dòng)能恰等于勢(shì)能時(shí)的位移；（,3,）經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度。,作業(yè),1,1,
大學(xué)物理課件0機(jī)械振動(dòng)
