2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

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2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和_第1頁
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1、專題6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和【考情分析】1.理解等差數(shù)列的概念;2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式;3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系【重點(diǎn)知識梳理】知識點(diǎn)一 等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:an1and(nN*,d為常數(shù)),或anan1d(n2,d為常數(shù))知識點(diǎn)二 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1,公差是d,則其通項(xiàng)公式為ana1(n1

2、)d通項(xiàng)公式的推廣:anam(nm)d(m,nN*)(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d(其中nN*,a1為首項(xiàng),d為公差,an為第n項(xiàng))知識點(diǎn)三 等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若a,A,b成等差數(shù)列,則A叫做a,b的等差中項(xiàng),且A(2)若an為等差數(shù)列,且mnpq,則amanapaq(m,n,p,qN*)(3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差數(shù)列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n為偶數(shù),則S偶S奇;若n為奇數(shù),則S奇S偶a中(中間項(xiàng))知識點(diǎn)四 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)

3、系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A,B為常數(shù))知識點(diǎn)五 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中,a10,d0,則Sn存在最大值;若a10,d0,則Sn存在最小值【必會(huì)結(jié)論】等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:anam(nm)d(n,mN*)(2)若an為等差數(shù)列,且klmn(k,l,m,nN*),則akalaman.若mn2p(m,n,pN*),則aman2ap.(3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為2d.(4)若an,bn是等差數(shù)列,則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列,公差為d, 則ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差為md

4、的等差數(shù)列(6)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 則Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差數(shù)列,其公差為n2d.【典型題分析】高頻考點(diǎn)一 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算【例1】(2019全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S40,a55,則()Aan2n5Ban3n10CSn2n28n DSnn22n【答案】A【解析】法一:設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,因?yàn)樗越獾盟詀na1(n1)d32(n1)2n5,Snna1dn24n.故選A.法二:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因?yàn)樗越獾眠x項(xiàng)A,a12153;選項(xiàng)B,a131107,排除B;選項(xiàng)C,S1286,排除C;選項(xiàng)D,S12,排除D.故選A.

5、【舉一反三】 (2018全國)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若3S3S2S4,a12,則a5等于()A12 B10C10 D12【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由3S3S2S4,得32a1d4a1d,將a12代入上式,解得d3,故a5a1(51)d24(3)10,故選B?!痉椒记伞康炔顢?shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)求公差d或項(xiàng)數(shù)n.在求解時(shí),一般要運(yùn)用方程思想(2)求通項(xiàng)a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素(3)求特定項(xiàng)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解(4)求前n項(xiàng)和利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解【特別提醒】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用

6、的是方程思想,要注意使用公式時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性,更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí),要注意運(yùn)用整體代換思想,使運(yùn)算更加便捷【變式探究】 (2020遼寧大連模擬) 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a24,S422,an28,則n()A3 B7C9 D10【答案】D【解析】因?yàn)镾4a1a2a3a44a22d22,d3,a1a2d431,ana1(n1)d13(n1)3n2,由3n228,得n10.高頻考點(diǎn)二 等差數(shù)列的判定與證明【例2】【2019全國II卷】已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,.(I)證明:an+bn是等比數(shù)列,anbn是等差數(shù)列;(II)求an和bn的通項(xiàng)公

7、式.【答案】(I)見解析;(2),.【解析】(1)由題設(shè)得,即又因?yàn)閍1+b1=l,所以是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得,即又因?yàn)閍1b1=l,所以是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知,所以,。【方法技巧】等差數(shù)列的判定與證明方法(1)定義法:an1and(d是常數(shù),nN*)或anan1d(d是常數(shù),nN*,n2)an為等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)法:2an1anan2(nN*)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法:ananb(a,b是常數(shù),nN*)an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法:Snan2bn(a,b為常數(shù))an為等差數(shù)列【特別提醒】若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需找出三項(xiàng)an,a

8、n1,an2,使得這三項(xiàng)不滿足2an1anan2即可;但如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,則必須用定義法或等差中項(xiàng)法【變式探究】(2020河北唐山模擬)已知數(shù)列an中,a1,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an(n2)(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【解析】(1)證明:當(dāng)n2時(shí),SnSn1.整理,得Sn1Sn2SnSn1.兩邊同時(shí)除以SnSn1,得2.又4,所以是以4為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為4(n1)22n2,所以Sn.當(dāng)n2時(shí),anSnSn1.當(dāng)n1時(shí),a1,不適合上式所以an高頻考點(diǎn)三 等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用【例3】(2020新課標(biāo))北京天壇的

9、圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )A. 3699塊B. 3474塊C. 3402塊D. 3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為,第一層共有n環(huán),則是以9為首項(xiàng),9為公差的等差數(shù)列,設(shè)為的前n項(xiàng)和,則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為,因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊,所以,即即,解得,所以.【舉一反三】【2019全國III卷】記Sn為等差數(shù)列a

10、n的前n項(xiàng)和,則_.【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因,所以,即,所以。【方法技巧】一般地,運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以優(yōu)化解題過程,但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件,如mnpq,則amanapaq(m,n,p,qN*);數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差數(shù)列;也成等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具?!咀兪教骄俊浚?020安徽蚌埠第二中學(xué)調(diào)研)一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為3227,則該數(shù)列的公差d 【解析】設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶,公差為d.由已知條件,得解得又S偶S奇6d,所以d5.【答案】5高頻考點(diǎn)四 等差數(shù)

11、列前n項(xiàng)和的最值問題【例4】(2020北京卷)在等差數(shù)列中,記,則數(shù)列( )A. 有最大項(xiàng),有最小項(xiàng)B. 有最大項(xiàng),無最小項(xiàng)C. 無最大項(xiàng),有最小項(xiàng)D. 無最大項(xiàng),無最小項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可知,等差數(shù)列的公差,則其通項(xiàng)公式為:,注意到,且由可知,由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng),由于,故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng):,.故數(shù)列中存在最大項(xiàng),且最大項(xiàng)為.【變式探究】(2019北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列,a110,且a210,a38,a46成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值【解析】(1)an是等差數(shù)列,a110,且a210,a38,a46成等比數(shù)列(a38)2(a

12、210)(a46),(22d)2d(43d),解得d2,ana1(n1)d102n22n12.(2)法一:(函數(shù)法)由a110,d2,得Sn10n2n211n,n5或n6時(shí),Sn取最小值30.法二:(鄰項(xiàng)變號法)由(1)知,an2n12.所以,當(dāng)n7時(shí),an0;當(dāng)n6時(shí),an0.所以Sn的最小值為S630.【方法技巧】求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法(1)通項(xiàng)法:若a10,d0,則Sn必有最大值,其n的值可用不等式組來確定;若a10,d0,則Sn必有最小值,其n的值可用不等式組來確定;(2)二次函數(shù)法:等差數(shù)列an中,由于Snna1dn2n,可用求函數(shù)最值的方法來求前n項(xiàng)和的最值,這里應(yīng)由nN*及二

13、次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值;(3)不等式組法:借助Sn最大時(shí),有(n2,nN*),解此不等式組確定n的范圍,進(jìn)而確定n的值和對應(yīng)Sn的值(即Sn的最值)?!咀兪教骄俊浚?018全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15 (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值【答案】(1)an=2n9,(2)Sn=n28n,最小值為16【解析】(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通項(xiàng)公式為an=2n9(2)由(1)得Sn=n28n=(n4)216所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為16【總結(jié)提升】1.要注意等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用,如等2求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)通項(xiàng)變號法當(dāng)a10,d0時(shí),滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm;當(dāng)a10,d0時(shí),滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm?!咀兪教骄俊浚?020山東德州模擬)兩等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且,則 【解析】因?yàn)閿?shù)列an和bn均為等差數(shù)列,所以.【答案】

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