2020-2021學年高三數(shù)學一輪復(fù)習知識點專題6-2 等差數(shù)列及其前n項和

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1、專題6.2 等差數(shù)列及其前n項和 【考情分析】 1.理解等差數(shù)列的概念； 2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式； 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題； 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系． 【重點知識梳理】 知識點一 等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示． 數(shù)學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))． 知識點二 等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式

2、 (1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d． 通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (2)等差數(shù)列的前n項和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*，a1為首項，d為公差，an為第n項)． 知識點三 等差數(shù)列及前n項和的性質(zhì) (1)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項，且A＝． (2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列

3、Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝； 若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項)． 知識點四 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 知識點五 等差數(shù)列的前n項和的最值 在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值． 【必會結(jié)論】等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n

4、(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d, 則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差數(shù)列，其公差為n2d. 【典型題分析】 高頻考點一 等差數(shù)列基本量的運算 【例1】(2019全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列

5、{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則(　　) A．a(chǎn)n＝2n－5　 B．a(chǎn)n＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 【答案】A　 【解析】法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 因為所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A. 法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因為所以解得 選項A，a1＝21－5＝－3； 選項B，a1＝31－10＝－7，排除B； 選項C，S1＝2－8＝－6，排除C； 選項D，S1＝－2＝－，排除D.故選A. 【舉一反三】 (2018全國Ⅰ)記S

6、n為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5等于(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 【答案】B 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4，得3＝2a1＋d＋4a1＋d，將a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4(－3)＝－10，故選B。 【方法技巧】等差數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略 (1)求公差d或項數(shù)n.在求解時，一般要運用方程思想． (2)求通項．a(chǎn)1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素． (3)求特定項．利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解． (4)求前n項和．利用

7、等差數(shù)列的前n項和公式直接求解或利用等差中項間接求解． 【特別提醒】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時的準確性與合理性，更要注意運算的準確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時，要注意運用整體代換思想，使運算更加便捷． 【變式探究】 (2020遼寧大連模擬) 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，則n＝(　　) A．3 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【解析】因為S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28

8、，得n＝10. 高頻考點二 等差數(shù)列的判定與證明 【例2】【2019全國II卷】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，. （I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列； （II）求{an}和{bn}的通項公式. 【答案】（I）見解析；（2），. 【解析】（1）由題設(shè)得，即． 又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 由題設(shè)得，即． 又因為a1–b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． （2）由（1）知，，． 所以， 。 【方法技巧】等差數(shù)列的判定與證明方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù)，n∈N*

9、)或an－an－1＝d(d是常數(shù)，n∈N*，n≥2)?{an}為等差數(shù)列． (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列． (3)通項公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列． (4)前n項和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列． 【特別提醒】若要判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項an，an＋1，an＋2，使得這三項不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可；但如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法． 【變式探究】（2020河北唐山模擬）已知數(shù)列{an}中，a1＝，其前n項和為Sn

10、，且滿足an＝(n≥2)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 【解析】(1)證明：當n≥2時，Sn－Sn－1＝. 整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1. 兩邊同時除以SnSn－1，得－＝2. 又＝＝4，所以是以4為首項，以2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)可得數(shù)列的通項公式為＝4＋(n－1)2＝2n＋2，所以Sn＝. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝. 當n＝1時，a1＝，不適合上式． 所以an＝ 高頻考點三 等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用 【例3】（2020新課標Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓

11、形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699塊 B. 3474塊 C. 3402塊 D. 3339塊 【答案】C 【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)， 則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，， 設(shè)為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分 別為，因為下層比中層多729塊， 所以， 即 即，解得， 所以. 【舉一反三】【2019全國III卷】記Sn為等差數(shù)列

12、{an}的前n項和，，則___________. 【答案】4 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因，所以，即， 所以。 【方法技巧】一般地，運用等差數(shù)列性質(zhì)可以優(yōu)化解題過程，但要注意性質(zhì)運用的條件，如m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列．等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具。 【變式探究】（2020安徽蚌埠第二中學調(diào)研）一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝ ． 【解析】設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，

13、偶數(shù)項的和為S偶，公差為d. 由已知條件，得 解得 又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 【答案】5 高頻考點四 等差數(shù)列前n項和的最值問題 【例4】（2020北京卷）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（ ）． A. 有最大項，有最小項 B. 有最大項，無最小項 C. 無最大項，有最小項 D. 無最大項，無最小項 【答案】B 【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差， 則其通項公式為：， 注意到， 且由可知， 由可知數(shù)列不存在最小項， 由于， 故數(shù)列中的正項只有有限項：，. 故數(shù)列中存在最大項，且最大項為. 【變式探究】(2019北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，a

14、1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值． 【解析】(1)∵{an}是等差數(shù)列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列． ∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)， ∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2n－2＝2n－12. (2)法一：(函數(shù)法)由a1＝－10，d＝2， 得Sn＝－10n＋2＝n2－11n＝－， ∴n＝5或n＝6時，Sn取最小值－30. 法二：(鄰項變號法)由(1)知，an＝2n－12.

15、 所以，當n≥7時，an＞0；當n≤6時，an≤0. 所以Sn的最小值為S6＝－30. 【方法技巧】求數(shù)列前n項和的最值的方法 (1)通項法：①若a1＞0，d＜0，則Sn必有最大值，其n的值可用不等式組來確定；②若a1＜0，d＞0，則Sn必有最小值，其n的值可用不等式組來確定； (2)二次函數(shù)法：等差數(shù)列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，可用求函數(shù)最值的方法來求前n項和的最值，這里應(yīng)由n∈N*及二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值； (3)不等式組法：借助Sn最大時，有(n≥2，n∈N*)，解此不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和對應(yīng)Sn的值(即Sn的最值)。 【變式探究】

16、（2018全國卷）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=-7，S3=-15． （1）求{an}的通項公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16． 【解析】 （1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16． 【總結(jié)提升】 1.要注意等差數(shù)列前n項和公式的靈活應(yīng)用， 如等． 2．求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)通項變號法 ①當a1＞0，d＜0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當a1＜0，d＞0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm。 【變式探究】（2020山東德州模擬）兩等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，且＝，則＝ ． 【解析】因為數(shù)列{an}和{bn}均為等差數(shù)列，所以＝＝＝＝＝. 【答案】