【高考試題】2019年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題(全國(guó)I卷)及詳解1

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1、【高考試題】2019年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題（全國(guó)I卷） 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知集合，則（） A． B． C． D． 2．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（） A． B． C． D． 3．已知，則（） A． B． C． D． 4．古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂?shù)蕉悄毜拈L(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比為（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是。若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的

2、長(zhǎng)度為26cm，則其身高可能是（） A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 5．函數(shù)在上的圖像大致為（） A． B． C． D． 6．我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，右圖就是一重卦。在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（） A． B． C． D． 7．已知非零向量，滿足，且，則和的夾角為（） A． B． C． D． 8．右圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（） A． B． C．

3、D． 9．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和。已知，則（） A． B． C． D． 10．已知橢圓的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)， 若，則的方程為（） A． B． C． D． 11．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論： ①是偶函數(shù) ②在區(qū)間單調(diào)遞增 ③在有4個(gè)零點(diǎn) ④的最大值為2 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 12．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，，則球的體積為（） A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．

4、曲線在點(diǎn)處的切線方程為---------------------------------------。 14．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和。若，，則---------------。 15．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）。根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”。設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是。 16．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)。若，，則的離心率為-----------------------。 三、解答題：共70

5、分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)。 （1）求； （2）若，求。 18．如圖，直四棱柱底面是菱形，，，，分別是的中點(diǎn)。 （1）證明：平面； （2）求二面角的正弦值。 19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)為。 （1）若，求直線的方程； （2）若，求。

6、 20．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)。證明： （1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)； （2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。 21．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪治療結(jié)果得出后，再進(jìn)行下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得分，乙藥得分；若施以乙藥的白

7、鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為、，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為。 （1）求的分布列； （2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則， 其中。假設(shè)、。 （?。┳C明：為等比數(shù)列； （ⅱ）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。 （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為。 （1）求和的直角坐標(biāo)方程； （2）求上的點(diǎn)到距離的最小值。