講授通解通法提高教學(xué)效率

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1、講授通解通法，提高教學(xué)效率 摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要盡可能地向?qū)W生講授“通解通法〞.讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)一道題目，而是一類(lèi)題目.對(duì)教學(xué)中，課堂上講的每一道題目，都要給予認(rèn)真全面地思考，才能真正做到“授業(yè)解惑〞，真正實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)，建設(shè)一個(gè)和諧、完美的課堂. 【關(guān)鍵詞】通解通法;函數(shù);不等式;單調(diào)性等 眾所周知，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該掌握并向?qū)W生講授一定的解題技巧.但如何實(shí)現(xiàn)真正的高效教學(xué)，卻值得我們一線(xiàn)教師更多思考.筆者認(rèn)為需要向?qū)W生傳授必要且適宜的“通解通法〞.現(xiàn)在的課外市場(chǎng)充滿(mǎn)著各類(lèi)質(zhì)量參差不齊的教學(xué)參考書(shū)，提供的某些問(wèn)題的解決方法，貌似是“通解通法〞，實(shí)那么不然.作為一線(xiàn)教師，

2、我們需要認(rèn)真思考，仔細(xì)鉆研，引導(dǎo)學(xué)生，并給出學(xué)生易于接受的，且能夠舉一反三的“通解通法〞.以下筆者通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)和大家一起探討. 例1定義在R上的函數(shù)y=f〔x〕，滿(mǎn)足當(dāng)x>0時(shí)，f〔x〕>1，且對(duì)任意的x，y∈R，都有f〔x+y〕=f〔x〕f〔y〕，求證：對(duì)任意的x∈R，都有f〔x〕>0. 分析此題是人教版必修一函數(shù)章節(jié)中常見(jiàn)的一類(lèi)題型，以下提供兩種方法供讀者體會(huì). 解法一對(duì)任意的x∈R，都有 f〔x〕=fx2+x2=fx2fx2=f2x2≥0. 假設(shè)存在x0∈R，使f〔x0〕=0， 那么對(duì)任意的x∈R，都有 f〔x〕=f〔x-x0+x0〕=f〔x-x0〕f〔x0〕=0. 這

3、與條件“當(dāng)x>0時(shí)，f〔x〕>1〞矛盾，所以假設(shè)不成立， 所以對(duì)任意的x∈R，都有f〔x〕=f2x2>0. 解法二在f〔x+y〕=f〔x〕f〔y〕中，令y=0，有 f〔x〕=f〔x〕f〔0〕. ∵x>0時(shí)，f〔x〕>1，∴f〔0〕=1. 設(shè)x0，f〔-x〕>1，那么 f〔0〕=f〔x+〔-x〕〕=f〔x〕f〔-x〕， ∴f〔x〕=f〔0〕f〔-x〕=1f〔-x〕>0. 綜上所述，對(duì)任意的x∈R，都有f〔x〕>0. 比擬，解法二更為通用，利用x>0時(shí)，f〔x〕>1，再求證x=0，x>0時(shí)，f〔x〕>0也滿(mǎn)足，也符合我們?cè)陬?lèi)似題目中常和學(xué)生提到的“求什么，設(shè)什么〞的解題思路.

4、例2在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求∠B的取值范圍. 分析此題是高三復(fù)習(xí)課比擬常見(jiàn)的一道題目，它考查了等差數(shù)列、三角函數(shù)、解不等式等核心知識(shí)點(diǎn)，是一道區(qū)分度很高的題目.一般的解法是： 因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以b=a+c2， 所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac =34a2+c22ac-14， 根據(jù)根本不等式，a2+c2≥2ac，所以cosB≥34-14=12，又∠B∈〔0，π〕，且函數(shù)y=cosx在x∈〔0，π〕上是減函數(shù)，所以∠B∈0，π3. 評(píng)注上述解法很巧妙地利用了根本不等式.很多人認(rèn)為

5、這就是解決本類(lèi)題目的“通解通法〞，殊不知此法并不嚴(yán)謹(jǐn).原因在于此法只考慮了cosB的下限，上限沒(méi)有確定.也就是說(shuō)，根據(jù)題目的條件，cosB的上限是否一定是1呢？當(dāng)然，我們可以從cosB=34a2+c22ac-14出發(fā)，cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，如果根據(jù)條件，得出ac的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性，cosB的范圍就確定了，問(wèn)題就迎刃而解了. 解析b=a+c2，不妨設(shè)a≤b≤c. 因?yàn)閍，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，所以a+b>c， 故a+a+c2>c，整理得13cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14. 令t=ac，則t∈13，1， 所

6、以，y=cosB=38t+1t-14， 當(dāng)t∈13，1時(shí)，y′=381-1t2=38t2-1t2≤0， 所以y=38t+1t-14在t∈13，1上是減函數(shù)， 所以cosB∈12，1，所以∠B∈0，π3. 評(píng)注通過(guò)推導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)，cosB的上限確實(shí)是1.有些人會(huì)認(rèn)為，這樣的考慮根本沒(méi)有必要.實(shí)際上，我們看了以下的變式，就知道，如此考慮是非常有必要的. 變式1在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求∠B的取值范圍. 分析本變式與上題不同的地方是多了“銳角〞兩個(gè)字.要保證△ABC是銳角三角形，只需要△ABC的三個(gè)角都是銳角，也就是三個(gè)角

7、中最大的角是銳角即可.雖然還是考慮利用余弦定理求出cosB的范圍，但是不能單純地依賴(lài)根本不等式了. 解析因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以b=a+c2，不妨設(shè)a≤b≤c.因?yàn)閍，b，c是銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng)，所以，a+b>c，1>cosC>0.而cosC=a2+b2-c22ab， 所以a+a+c2>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c235， 又a≤c，所以1≥ac>35， cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac =34a2+c22ac-14=38ac+ca-14， 令t=ac，那么t∈35，1， 所以y=cosB=38t+1t-14， 當(dāng)t∈35，

8、1時(shí)，y′=381-1t2=38t2-1t2≤0， 所以y=38t+1t-14在t∈35，1上是減函數(shù)， 所以cosB∈12，35，所以，∠B∈arccos35，π3. 評(píng)注此題如果不考慮cosB的上限，直接用根本不等式，那么此題就會(huì)出錯(cuò).也就是說(shuō)，原來(lái)利用根本不等式的方法對(duì)變式1已經(jīng)不適合了.利用函數(shù)單調(diào)性的解法才是真正的“通解通法〞. 變式2在鈍角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求∠B的取值范圍. 答案∠B∈0，arccos35.過(guò)程留給讀者. 變式3在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，

9、b，c成等比數(shù)列，求∠B的取值范圍. 解析因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac，不妨設(shè)a≤b≤c.因?yàn)閍，b，c是銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng)， 所以a+b>c，1>cosC>0.而cosC=a2+b2-c22ab， 所以a+ac>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c25-12， 又a≤c，所以1≥ac>5-12， cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12， 令t=ac，那么t∈5-12，1， 所以y=cosB=12t+1t-12， 當(dāng)t∈35，1時(shí)，y′=121-1t2=12t2-1t2≤0， 所以y=38

10、t+1t-14在t∈5-12，1上是減函數(shù)，所以cosB∈12，5-12，所以∠B∈arccos5-12，π3. 例3設(shè)f〔x〕=1+ax1-ax〔a>0且a≠1〕，當(dāng)0分析此題是2021年高考理科四川卷22題第〔3〕問(wèn).它考查了函數(shù)、不等式等根底知識(shí)，是一道區(qū)分度很高的題目.參考書(shū)或者網(wǎng)絡(luò)上給出的解法是： 設(shè)a=11+p，那么p≥1，1當(dāng)n=1時(shí)，|f〔1〕-1|=2p≤2當(dāng)n≥2時(shí)， 設(shè)k≥2k∈N*時(shí)，那么f〔k〕=〔1+p〕k+1〔1+p〕k-1=1+2〔1+p〕k-1=1+2C1kp+C2kp2+…+Ckkpk， 所以1從而n-1所以n綜上所述，總有∑nk=1f〔k〕-n評(píng)注

11、這種構(gòu)造a=11+p，然后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，從而放縮的證明方法很巧妙.這種技巧性非常強(qiáng)的證法很難想到，當(dāng)然不是通解通法.其實(shí)，我們可以如此思考這道問(wèn)題，從而給出適合此題的、更為通用的解法： f〔k〕=1+ak1-ak=1+2ak1-ak，k∈N* 0|f〔1〕-1|=2a1-a=21a-1≤2112-1=2當(dāng)n=2時(shí)，|f〔1〕+f〔2〕-2|=2a1-a+2a21-a2=21a-1+21a2-1≤2112-1+21122-1=83于是，我們會(huì)猜想∑nk=1f〔k〕-n事實(shí)上，∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak，而g〔a〕=2ak1-ak在a∈0，12上是增函數(shù)，故g〔a〕

12、∈0，22k-1，從而∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1，關(guān)于∑nk=122k-1解析∑nk=122k-1=2∑nk=112k-1 =2∑nk=12k+1-1〔2k-1〕〔2k+1-1〕=41-122-1+122-1-123-1+…+12n-1-12n+1-1 =4〔1-12n+1-1〕g〔a〕=2ak1-ak在a∈0，12上是增函數(shù)， 故g〔a〕∈0，22k-1， 從而∑nk=1f〔k〕-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1評(píng)注如此的分析和解答，才是此題的常規(guī)解答方法，才是適合此題的

13、“通解通法〞. 方法方法，利用的函數(shù)單調(diào)性，從而精準(zhǔn)地確定cosB的取值范圍，進(jìn)而確定∠B的取值范圍，這才是本類(lèi)題目的“通解通法〞.對(duì)例3來(lái)說(shuō)，參考書(shū)或者網(wǎng)絡(luò)上給出的解法具有太強(qiáng)的技巧性，而本文提供的思路和方法是學(xué)生易于接受的，也是考生能夠“想得到，做得出〞的.誠(chéng)然，我們也需明白，沒(méi)有適合所有題型的通解通法，因?yàn)轭}目條件千變?nèi)f化，但我們對(duì)教學(xué)中、課堂上講的每一道題目，只有給予認(rèn)真全面地思考，才能真正做到“授業(yè)解惑〞，才能實(shí)現(xiàn)真正的高效教學(xué).建設(shè)一個(gè)和諧，完美，高效的課堂，不正是每一名優(yōu)秀教師所期待的嘛！ 【參考文獻(xiàn)】 【1】丁聰穎.一道函數(shù)高考題的別解、巧解與通解[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2021〔2〕：45-47. 【2】李建潮.函數(shù)問(wèn)題的通法通解[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)：高中版，2021〔7〕：26. 【3】孫娜.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“通解通法〞能力的培養(yǎng)[J].高中數(shù)理化，2021〔2〕：5.