華僑大學-概率論課件ch1第5節(jié) 條件概率

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1、一、條件概率二、乘法定理三、全概率公式與貝葉斯公式四、小結第五節(jié)條件概率 條件概率 計 算 P(A)時 沒 有 考 慮 其 它 相 關 事 件 的 信 息 。n在 實 際 問 題 中 ， 如 果 已 知 事 件 B 發(fā) 生 了 ， 我 們 自然 希 望 能 通 過 這 個 信 息 調 整 對 時 間 A發(fā) 生 可 能 性的 認 識 。 在 實 際 問 題 中 ， 往 往 會 遇 到 求 在 事 件 B已 經(jīng) 出 現(xiàn) 的 情 況 下 事 件 A發(fā) 生 的概 率 ， 記 作 P(A|B). 由 于 附 加 了 條 件 ， P(A)與 P(A|B)意 義 不 同 ，一 般 情 況 下 P(A|B)

2、P(A) 例 擲 一 顆 均 勻 骰 子 , A=擲 出 2點 ,B=擲 出 偶 數(shù) 點 ,P(A|B)=？61)( AP解 ： 擲 一 顆 均 勻 的 骰 子 有 6種 可 能 性 ， 且 他 們 的出 現(xiàn) 都 是 等 可 能 的 .若 已 知 事 件 B發(fā) 生 ， 此 時 實 驗 所 有 可能 結 果 只 有 3種 ， 而 事 件 A 包 含 的 基本 事 件 數(shù) 只 占 其 中 一 種 ， 故 31)( BAP 上 例 中 ， P(A|B) P(A) 他 們 不 相 等 的 原 因 在 于 ， “ 事 件 B已 發(fā)生 ” 這 個 新 條 件 改 變 了 樣 本 空 間 。 SA 用 邊

3、長 為 1的 正 方 形 的 面積 表 示 樣 本 空 間 S封 閉 曲 線中 一 切 點的 集 合 表示 事 件 A 用 圖 形 的 面 積表 示 相 應 的 事件 的 概 率的 面 積的 面 積的 面 積則 ， ASAAP )( 當 已 知 B發(fā) 生 的 情 況 下 ， 樣 本 空 間 由 原來的 S縮 減 為 B： SA AB B 的 面 積的 面 積BABBAP )|( 如 果 B發(fā) 生 ， 那么 使 得 A發(fā) 生 當且 僅 當 樣 本 點 屬于 AB 條件概率的定義設 A、 B是 兩 個 事 件 ， 且 P(B)0 ,則 稱 )( )()|( BPABPBAP 為 在 事 件 B發(fā)

4、生 的 條 件 下 ,事 件 A的 條 件 概 率 . 例 一 批 產(chǎn) 品 有 5件 ， 其 中 有 3件 正 品 ， 2件 次 品 ，從 中 取 兩 次 ， 做 不 放 回 抽 樣 ，A=“第 一 次 取 到 的 是 正 品 ”B=“第 二 次 取 到 的 是 正 品 ”求 P(B|A)? P(B|A)=解 法 一 ： 在 原 來 的 樣 本 空 間 S中 ， 用 條 件 概 率 的 定 義 計 算)( )( APABP 兩 次 都 取 得 正 品 的 概率 10345 23)( ABP53)( AP 21 解 法 2： 在 縮 減 后 的 樣 本 空 間 A上 計 算 由 于 事 件 A已

5、 經(jīng) 發(fā) 生 ， 即 第 一 次 取 到 的 是 正 品 ， 所 以 第 二 次 取產(chǎn) 品 時 ， 只 剩 下 4件 ， 并 且 正 品 只 有 2件 ， 所 以P(B|A)= 21 );()()()( )4( 212121 BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )5( BAPBAP ;0)(,1)(: )2( BPBSP規(guī)范性則有件是兩兩不相容的事設可列可加性, , ,: )3( 21 BB .)(11 i ii i ABPABP 3. 性質;0)(: )1( ABP非負性 前 面 對 概 率 所 證 明 的 一 些 重 要 性 質 都 適 用 于 條 件 概 率 . 例 1 在 標

6、有 1,2,3,4,5這 5個 數(shù) 字 的 卡 片 里 ,無 放 回 地 抽 取 兩 次 ,一 次 一 張 ,求 (1)第 一 次 取 到 奇 數(shù) 卡 片 的 概 率 ; (2)已 知 第 一 次 取 到 偶 數(shù) ,求 第 二 次 取 到 奇 數(shù) 卡 片 的 概 率 ; (3)第 二 次 才 取 到 奇 數(shù) 卡 片 的 概 率 . 解 設 A, B分 別 表 示 第 一 次 和 第 二 次 取 到 奇 數(shù) 卡 片 這 兩 個 事 件 , 則 P(A)= 35 3(2) ( ) 4P B A 3(2) ( ) 10P AB 例2 某 種 動 物 由 出 生 算 起 活 20歲 以 上 的 概 率

7、 為0.8, 活 到 25歲 以 上 的 概 率 為 0.4, 如 果 現(xiàn) 在 有 一 個20歲 的 這 種 動 物 , 問 它 能 活 到 25歲 以 上 的 概 率 是多 少 ? 設 A 表 示 “ 能 活 20 歲 以 上 ” 的 事 件 ，B 表 示 “ 能 活 25 歲 以 上 ” 的 事 件 ,則 有 ,8.0)( AP因 為 .)( )()( APABPABP ,4.0)( BP ),()( BPABP .218.0 4.0 )( )()( APABPABP 所 以解 由 條 件 概 率 的 定 義 ： )( )()|( BP ABPBAP 若 已 知 P(B), P(A|B)時

8、 , 可 反 求 P(AB).乘法公式 乘法公式設 A,B為 兩 個 事 件若 P(B)0,則 P(AB)=P(B)P(A|B) (1) 若 P(A)0,則 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) 例 m個 產(chǎn) 品 中 有 n個 一 等 品 ， m-n個 二 等 品 ， 按 不 放 回 抽 樣 ， 依 次 抽 取 兩 個產(chǎn) 品 ， 計 算 兩 次 都 取 到 二 等 品 的 概 率 。解 法 1： 設 Ai=第 i次 取 到 一 等 品 則 )|()()( 12121 AAPAPAAP )(AP解 法 2： 設 A=兩 次 都 取 到 一 等 品 )1( )1( mm nn 11 mnmn

9、乘法公式推廣 鏈式法則 設 為 n個 事 件 ,若 P(A1A2An-1)0，則 有 nAAA , 21 )()()( 12121 AAPAPAAAP n )( 213 AAAP )( 121 nn AAAAP 計 算 多 個 事件 同 時 發(fā) 生的 概 率 )( 3214 AAAAP 例 一 場 精 彩 的 足 球 賽 將 要 舉 行 ，5個 球 迷 好 不 容 易 才 搞 到 一 張 入 場 券 .大 家 都 想 去 ,只 好 用 抽 簽 的 方 法 來 解 決 . “大 家 不 必 爭 先 恐 后 ，一 個 一 個 按 次 序 來 ，誰 抽 到 入 場 券 的機 會 都 一 樣 大 .”

10、 “先 抽 的 人 當 然要 比 后 抽 的 人抽 到 的 機 會 大 . ” )|()|()( 213121 AAAPAAPAP解 ： Ai=第 i個 人 抽 到 入 場 券 則 =第 i個 人 未 抽 到 入 場 券 , i 1,5.iAP(A1)=1/5， P( ) 4/5 1A 514154)( 321 AAAP)( 3AP （ 4/5）依 次 類 推 , 每 個 人 抽 到 “ 入 場 券 ” 的 概 率 都 是 1/5.)( 2AP )( 21AAP )|()( 121 AAPAP 第 一 個 人 沒 有 摸 到 票 時 ， 第二 個 人 摸 到 票 的 概 率 為 1/4前 兩

11、個 人 沒 有 摸 到票 時 ， 第 三 個 人 摸到 票 的 概 率 為 1/2（ 3/4） （ 1/3） =1/5 例 5 一 個 罐 子 中 包 含 b個 白 球 和 r個 紅 球 . 隨 機 地 抽 取 一 個 球 ， 觀 看 顏 色 后放 回 罐 中 ， 并 且 再 加 進 c 個 與 所 抽 出 的 球 具 有 相 同 顏 色 的 球 . 這 種 手 續(xù) 進 行 四次 ， 試 求 第 一 、 二 次 取 到 白 球 且 第 三 、 四 次 取 到 紅 球 的 概 率 . 波 里 亞 罐 子 模 型 b個 白 球 , r個 紅 球 于 是 W1W2R3R4表 示 事 件 “ 連 續(xù)

12、取 四 個 球 ， 第 一 、 第 二 個 是 白 球 ， 第 三 、 四 個 是紅 球 . ” b個 白 球 , r個 紅 球 隨 機 取 一 個 球 ， 觀 看 顏 色 后 放 回 罐 中 ， 并 且 再 加進 c個 與 所 抽 出 的 球 具 有 相 同 顏 色 的 球 . 解 設 Wi=第 i次 取 出 是 白 球 , i=1,2,3,4 Rj=第 j次 取 出 是 紅 球 ， j=1,2,3,4 用 乘 法 公 式 容 易 求 出 當 c 0 時 ， 由 于 每 次 取 出 球 后 會 增 加 下 一 次 也 取 到 同 色 球 的 概 率 . 這 是 一個 傳 染 病 模 型 .

13、每 次 發(fā) 現(xiàn) 一 個 傳 染 病 患 者 ， 都 會 增 加 再 傳 染 的 概 率 .crb crcrb rcrb cbrbb 32 =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4) 例6 設 某 光 學 儀 器 廠 制 造 的 透 鏡 , 第 一 次 落 下 時 打 破 的 概 率 為 1/2,若 第 一 次 落下 未 打 破 , 第 二 次 落 下 打 破 的 概 率 為 7/10 , 若 前 兩 次 落 下 未 打 破 , 第 三 次 落 下 打破 的 概 率 為 9/10.試 求 透 鏡 落 下 三 次 而 未 打 破 的 概 率 .解

14、以 B 表 示 事 件 “ 透 鏡 落 下 三 次 而 未 打 破 ” .,321 AAAB 因 為 ,)3,2,1( 次 落 下 打 破透 鏡 第表 示 事 件以 iiAi 321 AAAPBP 213121 | AAAPAAPAP 10911071211 . 2003所 以 ., .)ii( ;,2,1,)i( , ,21 21 21的一個劃分為樣本空間則稱若的一組事件為的樣本空間為試驗設定義SBBB SBBB njijiBBE BBBES n nji n 1. 樣本空間的劃分1B2B3B 1nB nB三、全概率公式與貝葉斯公式 2. 全概率公式 全概率公式)()( )()()()()(

15、),2,1 (0)(, , 221121 nn in BPBAP BPBAPBPBAPAP n iBPSBBB EASE 則且的一個劃分為的事件為的樣本空間為設試驗定理 jiBB由 )( ji ABAB )()()()( 21 nABPABPABPAP 圖 示 A 1B2B 3B 1nB nB證明)( 21 nBBBAASA .21 nABABAB ).()()()()()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAP 化整為零各個擊破 說明 全概率公式的主要用處在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.A 1B2B 3B

16、 1nB nB 例7 有 一 批 同 一 型 號 的 產(chǎn) 品 ， 已 知 其 中 由 一 廠 生 產(chǎn) 的 占 30% ， 二 廠 生 產(chǎn)的 占 50% ， 三 廠 生 產(chǎn) 的 占 20%， 又 知 這 三 個 廠 的 產(chǎn) 品 次 品 率 分 別 為 2% ， 1%， 1%， 問 從 這 批 產(chǎn) 品 中 任 取 一 件 是 次 品 的 概 率 是 多 少 ?設 事 件 A 為 “ 任 取 一 件 為 次 品 ” , .3,2,1,”“ iiBi 廠 的 產(chǎn) 品任 取 一 件 為為事 件 ,321 SBBB 解.3,2,1, jiBB ji 由 全 概 率 公 式 得 ,2.0)(,5.0)(,3

17、.0)( 321 BPBPBP S30% 20% 50%2%1%1% ).()()()()()()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP .013.02.001.05.001.03.002.0 ,01.0)(,01.0)(,02.0)( 321 BAPBAPBAP )()()()()()()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP 故 稱 此 為貝葉斯公式. .,2,1,)()( )()()( ),2,1( ,0)(,0)(, ,.12 1niBPBAP BPBAPABP ni BPAPSBB BEASE nj jj iii in 則且的一個劃分為的事件為的樣本空間為

18、設試驗定理 3. 貝葉斯公式 證明)( )()( AP ABPABP ii ,)()( )()(1 nj jj ii BPBAP BPBAP .,2,1 ni ; ,)1( . ,05.0 80.0 15.003.0 01.0 02.0321 :.概 率 求 它 是 次 品 的元 件在 倉 庫 中 隨 機 地 取 一 只無 區(qū) 別 的 標 志 且倉 庫 中 是 均 勻 混 合 的設 這 三 家 工 廠 的 產(chǎn) 品 在 提 供 元 件 的 份 額次 品 率元 件 制 造 廠 的 數(shù) 據(jù)根 據(jù) 以 往 的 記 錄 有 以 下件 制 造 廠 提 供 的 的 元 件 是 由 三 家 元某 電 子 設

19、備 制 造 廠 所 用例8 ., ,)2( 試 求 這 些 概 率是 多 少家 工 廠 生 產(chǎn) 的 概 率 分 別 需 求 出 此 次 品 由 三為 分 析 此 次 品 出 自 何 廠次 品 若 已 知 取 到 的 是元 件在 倉 庫 中 隨 機 地 取 一 只解,“ 取 到 的 是 一 只 次 品 ”表 示設 A .家 工 廠 提 供 的 ”“ 所 取 到 的 產(chǎn) 品 是 由 第表 示 i )3,2,1( iBi, 321 的 一 個 劃 分是 樣 本 空 間則 SBBB ,05.0)(,80.0)(,15.0)( 321 BPBPBP且 .03.0)(,01.0)(,02.0)( 321

20、BAPBAPBAP(1) 由 全 概 率 公 式 得 )()()()()()()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125.0(2) 由 貝 葉 斯 公 式 得 )( )()()( 111 AP BPBAPABP 0125.0 15.002.0 .24.0 ,64.0)( )()()( 222 AP BPBAPABP .12.0)( )()()( 333 AP BPBAPABP .2 家 工 廠 的 可 能 性 最 大故 這 只 次 品 來 自 第 ? , .%95, .%55, ,%98, ,概 率 是 多 少 機 器 調 整 得 良 好 的品 時早 上 第 一 件 產(chǎn)

21、 品 是 合 格 試 求 已 知 某 日機 器 調 整 良 好 的 概 率 為時 每 天 早 上 機 器 開 動其 合 格 率 為種 故 障 時 而 當 機 器 發(fā) 生 某產(chǎn) 品 的 合 格 率 為良 好 時 當 機 器 調 整 得明對 以 往 數(shù) 據(jù) 分 析 結 果 表解,“ 產(chǎn) 品 合 格 ”為 事 件設 A .“ 機 器 調 整 良 好 ”為 事 件B則 有 ,55.0)(,98.0)( BAPBAP例9 ,05.0)(,95.0)( BPBP 由 貝 葉 斯 公 式 得 所 求 概 率 為 )()()()( )()()( BPBAPBPBAP BPBAPABP 05.055.095.0

22、98.0 95.098.0 .97.0.97.0 ,整 良 好 的 概 率 為 此 時 機 器 調是 合 格 品 時即 當 生 產(chǎn) 出 第 一 件 產(chǎn) 品 上 題 中 概 率 0.95 是 由 以 往 的 數(shù) 據(jù) 分 析 得 到 的 , 叫做 先 驗 概 率 . 而 在 得 到 信 息 之 后 再 重 新 加 以 修 正 的 概 率 叫 做 后 驗 概 率 .先驗概率與后驗概率 ).(,005.0)( ,005.0, .95.0)(,95.0)( , : ,ACPCP CAPCAP C A試 求即 的 概 率 為設 被 試 驗 的 人 患 有 癌 癥進 行 普 查 現(xiàn) 在 對 自 然 人 群有

23、 則有 癌 癥 ”表 示 事 件 “ 被 診 斷 者 患以為 陽 性 ” 表 示 事 件 “ 試 驗 反 應若 以驗 具 有 如 下 的 效 果 某 種 診 斷 癌 癥 的 試根 據(jù) 以 往 的 臨 床 記 錄 解,95.0)( CAP因 為 ,995.0)(,005.0)( CPCP例10 ,05.0)(1)( CAPCAP 由 貝 葉 斯 公 式 得 所 求 概 率 為 )()()()( )()()( CPCAPCPCAP CPCAPACP .087.0即 平 均 1000個 具 有 陽 性 反 應 的 人 中 大 約 只 有 87人患 有 癌 癥 . 1.條件概率)( )()( APAB

24、PABP 全概率公式貝葉斯公式四 、 小 結 )()()()()()()( 2211 nn BPBAPBPBAPBPBAPAP niBPBAP BPBAPABP nj jj iii ,2,1,)()( )()()( 1 )()()( APABPABP 乘法定理 .)()(, ,)( ,)( ,. ,)(, ,)( 大比一 般 來 說 中 基 本 事 件 數(shù)中 基 本 事 件 數(shù)中 基 本 事 件 數(shù)中 基 本 事 件 數(shù) 則用 古 典 概 率 公 式發(fā) 生 的 概 率 中表 示 在 縮 小 的 樣 本 空 間而概 率 發(fā) 生 的中表 示 在 樣 本 空 間ABPABP SABABP SABABPB SABP ABSABP A A .)()( .2 的 區(qū) 別與 積 事 件 概 率條 件 概 率 ABPBAP 貝 葉 斯 資 料Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England