常微分方程 奇解與包絡(luò)

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1、 2.4 singularly solution 2021/6/16 1 2.4 奇 解/Singularly solution/ 2.4 singularly solution 2021/6/16 2 2.4 奇 解包 絡(luò) 和 奇 解 克 萊 羅 方 程 （ Clairant Equation）本 節(jié) 要 求 ： 1 了 解 奇 解 的 意 義 ； 2 掌 握 求 奇 解 的 方 法 。主 要 內(nèi) 容 2.4 singularly solution 2021/6/16 3 2(0) 0dy ydxy cxcxycxy dxydy ,)(2 2 xy 1 20 cxcx cxy ,)( ,0

2、2 0c 2.4 singularly solution 2021/6/16 4 21d y yd x 例 2 ： 求 方 程的 所 有 解 。sin( )y x c 解 ： 該 方 程 有 通 解此 外 還 有 兩 個 特 解 y=1和 y=-1 2.4 singularly solution 2021/6/16 5x y 2.4 singularly solution 2021/6/16 6 定 義 2.3 如 果 方 程 存 在 某 一 解 ， 在 它 所 對 應(yīng)的 積 分 曲 線 上 每 點 處 ， 解 的 唯 一 性 都 被 破 壞 ，則 稱 此 解 為 微 分 方 程 的 奇 解

3、。 奇 解 對 應(yīng) 的 積分 曲 線 稱 為 奇 積 分 曲 線 2.4 singularly solution 2021/6/16 7 一 包 絡(luò) 和 奇 解 的 定 義曲 線 族 的 包 絡(luò) ： 是 指 這 樣 的 曲 線 ， 它 本 身 并 不 包含 在 曲 線 族 中 ， 但 過 這 條 曲 線 上 的 每 一 點 ， 有 曲線 族 中 的 一 條 曲 線 與 其 在 此 點 相 切 。奇 解 ： 在 有 些 微 分 方 程 中 ， 存 在 一 條 特 殊 的 積 分曲 線 ， 它 并 不 屬 于 這 個 方 程 的 積 分 曲 線 族 ， 但 在這 條 特 殊 的 積 分 曲 線 上

4、 的 每 一 點 處 ， 都 有 積 分 曲線 族 中 的 一 條 曲 線 與 其 在 此 點 相 切 。 這 條 特 殊 的積 分 曲 線 所 對 應(yīng) 的 解 稱 為 方 程 的 奇 解 。 注 ： 奇 解 上 每 一 點 都 有 方 程 的 另 一 解 存 在 。 2.4 singularly solution 2021/6/16 8 2.4 singularly solution 2021/6/16 9 例 單 參 數(shù) 曲 線 族 222 Rycx )(R是 常 數(shù) ， c是 參 數(shù) 。 xyo顯 然 ， Ry 是 曲 線 族 的 包 絡(luò) 。 222 Rycx )(一 般 的 曲 線 族

5、 并 不 一 定 有 包 絡(luò) ， 如 同 心 圓 族 ， 平行 線 族 等 都 是 沒 有 包 絡(luò) 的 。 2.4 singularly solution 2021/6/16 10 注 :并 不 是 每 個 曲 線 族 都 有 包 絡(luò) .例 如 : 單 參 數(shù) 曲 線 族 : 222 cyx (其 中 c為 參 數(shù) )表 示 一 族 同 心 圓 . 如 圖從 圖 形 可 見 , 此 曲 線 族 沒 有 包 絡(luò) . 2.4 singularly solution 2021/6/16 11 二 、 不 存 在 奇 解 的 判 別 法假 設(shè) 方 程 (1.9)的 右 端 函 數(shù) 在 區(qū) 域上 有 定

6、 義 ， 如 果 在 D上 連 續(xù) 且在 D上 有 界 (或 連 續(xù) )， 那 么 由 本 章 定 理 2.2， 方 程 的任 一 解 是 唯 一 的 ， 從 而 在 D內(nèi) 一 定 不 存 在 奇 解 。有 定 義 的 區(qū) 域 D內(nèi) 成 立 ， 那 么 奇 解 只 能 存 在 于 不 滿足 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 條 件 的 區(qū) 域 上 .進(jìn) 一 步 如 果再 能 表 明 在 這 樣 的 區(qū) 域 上 不 存 在 方 程 的 解 ， 那 么我 們 也 可 以 斷 定 該 方 程 無 奇 解 。 如 果 存 在 唯 一 性 定 理 條 件 不 是 在 整 個 2.4 singularl

7、y solution 2021/6/16 12 2 22( )( ) 2d ya x yd xd yb y xd x 例 ： 判 斷 下 列 方 程是 否 存 在 奇 解 2.4 singularly solution 2021/6/16 13 定 理 2.6 方 程 (1.9)的 積 分 曲 線 族 (C)的 包 絡(luò)線 L是 (1.9)的 奇 積 分 曲 線 。( , ), (1.9)dy f x ydx 證 明 ： 應(yīng) 用 定 理 2.1積 分 曲 線 與 線 素 場 的關(guān) 系 的 充 要 條 件 2.4 singularly solution 2021/6/16 14 三 求 奇 解 （

8、 包 絡(luò) 線 ） 的 方 法l C-判 別 曲 線 法l P-判 別 曲 線 法設(shè) 一 階 方 程 0),( yyxF 的 通 積 分 為 。0),( Cyx1 C-判 別 曲 線 法結(jié) 論 ： 通 積 分 作 為 曲 線 族 的 包 絡(luò) 線 （ 奇 解 ） 包 含 在 下列 方 程 組 00),( ),( Cyx CyxC消 去 C 而 得 到 的 曲 線 中 。 2.4 singularly solution 2021/6/16 15 00),( ),( Cyx CyxC設(shè) 由 能 確 定 出 曲 線 為)(),(: CyyCxxL 則 0),(),( CCyCx對 參 數(shù) C 求 導(dǎo) 數(shù)

9、 0 ),(),( )(),(),()(),(),( CCyCx CyCCyCxCxCCyCx C yx 從 而 得 到 恒 等 式 0 )(),(),()(),(),( CyCCyCxCxCCyCx yx 2.4 singularly solution 2021/6/16 16 0 )(),(),()(),(),( CyCCyCxCxCCyCx yx 當(dāng) ),(),( CyxCyx yx 至 少 有 一 個 不 為 零 時有 ,),(),( ),(),()( )( CCyCx CCyCxCx Cy yx 或,),(),( ),(),()( )( CCyCx CCyCxCy Cx xy這 表

10、明 曲 線 L 在 其 上 每 一 點 (x(C), y(C) ) 處 均 與 曲 線 族中 對 應(yīng) 于 C的 曲 線 相 切 。0),( Cyx注 意 ： C-判 別 曲 線 中 除 了 包 絡(luò) 外 ， 還 有 其 他 曲 線 ， 尚 需檢 驗 。 2.4 singularly solution 2021/6/16 17 例 1 求 直 線 族 0 pyx sincos的 包 絡(luò) ， 這 里 是 參 數(shù) ， p 是 常 數(shù) 。解 ： 對 參 數(shù) 求 導(dǎo) 數(shù) 0 cossin yx聯(lián) 立 0 pyx sincos 0 cossin yx 022222 cossincossin xyyx 222

11、22 2 pxyyx cossinsincos相 加 ， 得 222 pyx ， 經(jīng) 檢 驗 ， 其 是 所 求 包 絡(luò) 線 。 xyop 2.4 singularly solution 2021/6/16 18 例 2 求 直 線 族 032 32 )()( cxcy的 包 絡(luò) ， 這 里 c 是 參 數(shù) 。解 ： 對 參 數(shù) c 求 導(dǎo) 數(shù) 02 )( cxcy聯(lián) 立 032 32 )()( cxcy 0 2 )( cxcy得 0323 )()( cxcx從 得 到0cx xy 從 得 到 92 xy032 )( cx 因 此 ， C-判 別 曲 線 中包 括 了 兩 條 曲 線 ， 易檢

12、 驗 ， 是 所 求 包 絡(luò) 線 。 92 xy 2.4 singularly solution 2021/6/16 19x yo xy 92 xy 2.4 singularly solution 2021/6/16 20 2 p-判 別 曲 線結(jié) 論 ： 方 程 的 奇 解 包 含 在 下 列 方 程 組 00),( ),( pyxF pyxFp 0),( yyxF消 去 p 而 得 到 的 曲 線 中 。注 意 ： p-判 別 曲 線 中 除 了 包 絡(luò) 外 ， 還 有 其 他 曲 線 ， 尚 需檢 驗 。 2.4 singularly solution 2021/6/16 21 例 3

13、求 方 程 0122 ydxdy 的 奇 解 。解 ： 從消 去 p， 得 到 p-判 別 曲 線經(jīng) 檢 驗 ， 它 們 是 方 程 的 奇 解 。 02 0122p yp 1y因 為 易 求 得 原 方 程 的 通 解 為 )sin( cxy 而 是 方 程 的 解 ， 且 正 好 是 通 解 的 包 絡(luò) 。 1y 2.4 singularly solution 2021/6/16 22 例 4 求 方 程 22 dxdydxdyxy 的 奇 解 。解 ： 從消 去 p， 得 到 p-判 別 曲 線經(jīng) 檢 驗 ， 不 是 方 程 的 解 ， 故 此 方 程 沒 有 奇 解 。 022 2 2

14、px pxpy 2xy 注 意 ： 以 上 兩 種 方 法 ， 只 提 供 求 奇 解 的 途 徑 ， 所 得 p-判別 曲 線 和 C-判 別 曲 線 是 不 是 奇 解 ， 必 需 進(jìn) 行 檢 驗 。 2.4 singularly solution 2021/6/16 23 3 克 萊 羅 方 程形 式 )(pfxpy 其 中 )(, pfdxdyp 是 p 的 連 續(xù) 函 數(shù) 。解 法 ppfpxpp )(0 ppfx )( 0p cp )(cfcxy )()( )( pppfy pfx 通 解 奇 解 2.4 singularly solution 2021/6/16 24 結(jié) 果 :

15、 Clairaut方 程 dxdyfdxdyxy的 通 解 )(cfcxy 是 一 直 線 族 , 此 直 線 族 的 包 絡(luò) )( 0)( pfxpy pfx 或 )( 0)( cfxcy cfx是 Clairaut方 程 的 奇 積 分 曲 線 , 所 對 應(yīng) 的 解 是 奇 解 . 2.4 singularly solution 2021/6/16 25 例 5 求 解 方 程 pxpy 1解 ： 這 是 克 萊 羅 方 程 ， 因 而 其 通 解 為消 去 c， 得 到 奇 解 xy 4 2 cxcy 1 cxcy cx 1012從 2.4 singularly solution 20

16、21/6/16 26x yO xy 4 2 .42 xy 如 圖 :此 方 程 的 通 解 是 直 線 族 : ,1ccxy 而 奇 解 是 通 解 的 包 絡(luò) : 2.4 singularly solution 2021/6/16 27 例 6 求 一 曲 線 ， 使 在 其 上 每 一 點 的 切 線 截 割 坐 標(biāo)軸 而 成 的 直 角 三 角 形 的 面 積 都 等 于 2。解 設(shè) 要 求 的 曲 線 為 )(xyy 過 曲 線 任 上 一 點 的 切 線 方 程 為),( yx yxXxyY )(其 與 坐 標(biāo) 軸 的 交 點 為 ),( yyxxyy 切 線 截 割 坐 標(biāo) 軸 而

17、 成 的 直 角 三 角 形 的 面 積 為 2 21 )( yyxxyy 2.4 singularly solution 2021/6/16 28 2 21 )( yyxxyy yyxy 42)( yyxy 2 yyxy 2這 是 克 萊 羅 方 程 ， 因 而 其 通 解 為 11 2 cxcy xcc 22 消 去 c， 得 到 奇 解 1xy從 022 2 2cx xccy這 是 等 腰 雙 曲 線 ， 顯 然 它 就 是 滿 足 要 求 的 曲 線 。 2.4 singularly solution 2021/6/16 29 直 線 族 及 其 包 絡(luò) 線 2.4 singularl

18、y solution 2021/6/16 30 2 2 2 2( ) 2 9 09 , ,2 21 9 0,2 21 9 0 3, 32 2 9, 2 2x y yy xx xpy p y pdpp xp dxp y xpdp p cxp cx ydx x c 例 7 求 方 程 的 解 .解 令 求 導(dǎo) 后 整 理 得由 得由 得 即 2.4 singularly solution 2021/6/16 31 利 用 Maple可 以 得 到 這 個 方 程 的 解 曲 線 如 下 :注 意 :y=3x和 y=-3x是 非 常 特 殊 的 解 ,其 它 解 與 這 兩 條 直 線 相 切 .r

19、estart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x2/2+9/2/j,x=-3.3,y=-10.10):yj:=%:end do:plot(3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yy:=%: plot(-3*x, x=-3.3,y=-10.10, color=black):yyy:=%:display(y1,y2,y3,y4,y5,y-1,y-2,y-3,y-4,y-5,y

20、y,yyy); 2.4 singularly solution 2021/6/16 32 本 節(jié) 要 點 ： 1.奇 解 的 定 義 。 2.不 存 在 奇 解 的 判 別 方 法 。 （ 1） 全 平 面 上 解 唯 一 （ 2） 不 滿 足 解 唯 一 的 區(qū) 域 上 沒 有 方 程 的 解 3.求 奇 解 的 包 絡(luò) 線 求 法 。 滿 足 C判 別 式 。 在 非 蛻 化 條 件 下 ， 從 C 判 別 式 解 出 的 曲 線 2.4 singularly solution 2021/6/16 33 課 堂 練 習(xí) ：1 求 一 曲 線 ， 使 在 其 上 每 一 點 的 切 線 截 割 坐 標(biāo) 軸的 兩 截 距 之 和 等 于 常 數(shù) a 。2 求 解 方 程 ， 并 劃 出 積 分 曲 線 圖 。 21 1 )()( dxdydxdyxy 0 2 2 ydxdyxdxdy)()(作 業(yè) ： P109 1(2)， 2. 2.4 singularly solution 若 有 不 當(dāng) 之 處 ， 請 指 正 ， 謝 謝 ！