公務(wù)員考試數(shù)理知識(shí)整理

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1、總結(jié)的幾個(gè)年齡問(wèn)題總結(jié)的幾個(gè)年齡問(wèn)題例1 爸爸今年35歲，女兒年齡是5歲，多少年后，爸爸的年恰好是女兒的3倍？分析與解爸爸和女兒的年齡總是相差35-5=30歲，當(dāng)爸爸的年齡是女兒的3倍時(shí)，即爸爸的年齡與女兒的年齡相差2倍，相差歲數(shù)正好是30歲，所以可以這樣解答：（35-5）（3-1）=15歲，15-5=10年答：10年后爸爸的年齡是女兒的3倍。試一試 媽媽今年43歲，女兒今年11歲，問(wèn)幾年后媽媽的年齡是女兒的3倍？幾年前媽媽的年齡是女兒的5倍？例2 今年?duì)敔數(shù)哪挲g是孫子的8倍，5年前爺爺和孫子的年齡和是62歲。問(wèn)爺爺，孫子今年各是多少歲？分析與解從5年前到今年，爺爺，孫子各長(zhǎng)了10歲，那么到今

2、年兩人年齡之和是62+52=72歲，根據(jù)“今年?duì)敔數(shù)哪挲g是孫子的8倍”，可以推出兩人年齡之和是孫子的年齡的（8+1）倍孫子的年齡：72（8+1）=8歲爺爺?shù)哪挲g：88=64歲答：爺爺今年64歲，孫子今年9歲。試一試今年父親的年齡是女兒的4倍，3年前，父親和女兒年齡的和是49歲。問(wèn)父親，女兒今年各是多少歲？例3 爸爸15年前的年齡相當(dāng)于兒子12年后的年齡，當(dāng)爸爸的年齡是兒子的4倍時(shí)，問(wèn)爸爸多少歲？分析與解根據(jù)“爸爸15年前的年齡相當(dāng)于兒子12年后的年齡”，可以推出爸爸和兒子的年齡差為15+12歲，正好相當(dāng)于兒子的年齡的（4-1）倍，這樣可以先求出兒子的年齡，再求爸爸的年齡。（15+12）（4-1

3、）4=36歲答：爸爸的年齡是兒子的4倍時(shí)，爸爸36歲。試一試小明問(wèn)老師今年幾歲，老師說(shuō)：“你20年后的年齡，還比我現(xiàn)在小5歲，老師考考你，你幾歲時(shí)，老師的年齡是你的6倍？”你能幫小明算嗎？例4 一家三口人，三個(gè)人年齡之和是72歲，媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的4倍。問(wèn)三人各多少歲？分析與解媽媽的年齡是孩子的4倍，因?yàn)閶寢尯桶职滞瑲q，所以，爸爸的年齡是孩子的4倍，三人年齡之和是72歲，相當(dāng)于孩子年齡的1+4+4=9倍?？梢韵惹蟪龊⒆拥哪挲g，再求爸爸，媽媽的年齡。1+4+4=9，729=8歲，84=32歲答：孩子的年齡是8歲，媽媽爸爸的年齡是32歲。試一試爺爺，爸爸，小蘭三人的年齡一共128歲

4、，爺爺?shù)哪挲g是爸爸的2倍，爸爸的年齡是小蘭的5倍，爺爺今年多大年紀(jì)？例5 兄弟兩人的年齡相差5歲，哥哥3年后的年齡為弟弟4年前的3倍。問(wèn)兄弟兩人今年各多少歲？分析與解可以看出，哥哥3年后的年齡比弟弟4年前的年齡大5+3+4=12歲，由差倍問(wèn)題解得，弟弟4年前的年齡為（5+3+4）（3-1）=6歲。由此得到弟弟今年是6+4=10歲，哥哥今年10+5=15歲。答：兄弟兩人今年分別是15歲、10歲。試一試哥哥5年前的年齡等于妹妹7年后的年齡，哥哥4年后與妹妹3年前年齡的和是35歲。求哥哥、妹妹今年的年齡。例6 今年兄弟兩人年齡的和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是

5、弟弟歲數(shù)的2倍，請(qǐng)問(wèn)哥哥今年多少歲？分析與解在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟的歲數(shù)看成一份a，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份a。又因?yàn)槟且荒旮绺绲臍q數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相等，所以今年弟弟的歲數(shù)為2份2a，今年哥哥的歲數(shù)為2a+1a=3a。由和倍問(wèn)題解得，哥哥今年的歲數(shù)為55（3a+2a）3a=33歲。答：哥哥今年33歲。試一試甲的年齡比乙的年齡的3倍少4歲，甲7年前的年齡和乙9年后的年齡相等。問(wèn)甲、乙現(xiàn)在各是多少歲？例7 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍，2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問(wèn)父親出生在哪一年？分析與解如果用a表示兄

6、弟兩人1994年的年齡和，則父親1944年的年齡要用4a來(lái)表示。父親在2000年的年齡應(yīng)是4a再加6歲，而兄弟兩人在2000年的年齡之和是a再加26=12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2a+3歲。即a +12歲=2a+3歲推知1段線表示9歲。所以，父親1994年的年齡是94=36（歲），而1994-36=1958（年）。答：父親出生于1958年。試一試已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問(wèn)祖孫三人今年各多少歲？例8 今年父親的年齡為兒子年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子年齡的2倍。問(wèn)父子倆今年各多少歲

7、？如果用a表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4a來(lái)表示。20年后，父親的年齡就是4a再加上20歲，而兒子的年齡應(yīng)是a再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是a+20=2a+10，求得a是10歲，即兒子今年10歲，父親今年40歲。答：父親今年40歲，兒子今年10歲。數(shù)字推理規(guī)律總結(jié)專業(yè)知識(shí) 數(shù)字推理的主要是通過(guò)加、減、乘、除、平方、開(kāi)方等方法來(lái)尋找數(shù)列中各個(gè)數(shù)字之間的規(guī)律，從而得出最后的答案。 在實(shí)際解題過(guò)程中，根據(jù)相鄰數(shù)之間的關(guān)系分為兩大類(lèi)： 一、相鄰數(shù)之間通過(guò)加、減、乘、除、平方、開(kāi)方等方式發(fā)生聯(lián)系，產(chǎn)生規(guī)律，主要有以下幾種規(guī)律： 1、 相鄰兩個(gè)數(shù)加、減、乘、除等于第三數(shù) 2、 相鄰兩

8、個(gè)數(shù)加、減、乘、除后再加或者減一個(gè)常數(shù)等于第三數(shù) 3、 等差數(shù)列：數(shù)列中各個(gè)數(shù)字成等差數(shù)列 4、 二級(jí)等差：數(shù)列中相鄰兩個(gè)數(shù)相減后的差值成等差數(shù)列 5、 等比數(shù)列 ：數(shù)列中相鄰兩個(gè)數(shù)的比值相等 6、 二級(jí)等比：數(shù)列中相鄰兩個(gè)數(shù)相減后的差值成等比數(shù)列 7、 前一個(gè)數(shù)的平方等于第二個(gè)數(shù) 8、 前一個(gè)數(shù)的平方再加或者減一個(gè)常數(shù)等于第二個(gè)數(shù)； 9、 前一個(gè)數(shù)乘一個(gè)倍數(shù)加減一個(gè)常數(shù)等于第二個(gè)數(shù)； 10、 隔項(xiàng)數(shù)列：數(shù)列相隔兩項(xiàng)呈現(xiàn)一定規(guī)律， 11、 全奇 、全偶數(shù)列 12、 排序數(shù)列 二、數(shù)列中每一個(gè)數(shù)字本身構(gòu)成特點(diǎn)形成各個(gè)數(shù)字之間的規(guī)律。 1、 數(shù)列中每一個(gè)數(shù)字都是n 的平方構(gòu)成或者是n 的平方加減一

9、個(gè)常數(shù)構(gòu)成，或者是n的平方加減n構(gòu)成 2、 每一個(gè)數(shù)字都是n的立方構(gòu)成或者是n的立方加減一個(gè)常數(shù)構(gòu)成，或者是n的立方加減n 3、 數(shù)列中每一個(gè)數(shù)字都是n的倍數(shù)加減一個(gè)常數(shù) 以上是數(shù)字推理的一些基本規(guī)律，必須掌握。但掌握這些規(guī)律后，怎樣運(yùn)用這些規(guī)律以最快的方式來(lái)解決問(wèn)題呢？ 這就需要在對(duì)各種題型認(rèn)真練習(xí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)逐步形成自己的一套解題思路和技巧。 第一步，觀察數(shù)列特點(diǎn)，看是否存隔項(xiàng)數(shù)列，如果是，那么相隔各項(xiàng)按照數(shù)列的各種規(guī)律來(lái)解答 第二步，如果不是隔項(xiàng)數(shù)列，那么從數(shù)字的相鄰關(guān)系入手，看數(shù)列中相鄰數(shù)字在加減乘除后符合上述的哪種規(guī)律，然后得出答案。 第三步，如果上述辦法行不通，那么尋找數(shù)列中每一個(gè)

10、數(shù)字在構(gòu)成上的特點(diǎn)，尋找規(guī)律。 當(dāng)然，也可以先尋找數(shù)字構(gòu)成的規(guī)律，在從數(shù)字相鄰關(guān)系上規(guī)律。這里所介紹的是數(shù)字推理的一般規(guī)律，在對(duì)各種基本題型和規(guī)律掌握后，很多題是可以直接通過(guò)觀察和心算得出答案數(shù)字推理題的一些經(jīng)驗(yàn)1)等差，等比這種最簡(jiǎn)單的不用多說(shuō)，深一點(diǎn)就是在等差，等比上再加、減一個(gè)數(shù)列，如24,70,208,622，規(guī)律為a*3-2=b2)深一點(diǎn)模式，各數(shù)之間的差有規(guī)律，如 1、2、5、10、17。它們之間的差為1、3、5、7，成等差數(shù)列。這些規(guī)律還有差之間成等比之類(lèi)。B，各數(shù)之間的和有規(guī)律，如1、2、3、5、8、13，前兩個(gè)數(shù)相加等于后一個(gè)數(shù)。3)看各數(shù)的大小組合規(guī)律，做出合理的分組。如

11、7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436這三組各自是大致處于同一大小級(jí)，那規(guī)律就要從組方面考慮，即不把它們看作6個(gè)數(shù)，而應(yīng)該看作3個(gè)組。而組和組之間的差距不是很大，用乘法就能從一個(gè)組過(guò)渡到另一個(gè)組。所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=5436，這就是規(guī)律。4)如根據(jù)大小不能分組的，A，看首尾關(guān)系，如7，10，9，12，11，14，這組數(shù) 7+1410+119+12。首尾關(guān)系經(jīng)常被忽略，但又是很簡(jiǎn)單的規(guī)律。B，數(shù)的大小排列看似無(wú)序的，可以看它們之間的差與和有沒(méi)有順序關(guān)系。5)各數(shù)間相差較大，但又不

12、相差大得離譜，就要考慮乘方，這就要看各位對(duì)數(shù)字敏感程度了。如6、24、60、 120、210，感覺(jué)它們之間的差越來(lái)越大，但這組數(shù)又看著比較舒服(個(gè)人感覺(jué)，嘿嘿)，它們的規(guī)律就是23-2=6、33-3=24、43-4=60、53-5=120、63-6=210。這組數(shù)比較巧的是都是6的倍數(shù)，容易導(dǎo)入歧途。6)看大小不能看出來(lái)的，就要看數(shù)的特征了。如21、31、47、56、69、72，它們的十位數(shù)就是遞增關(guān)系，如 25、58、811、1114 ，這些數(shù)相鄰兩個(gè)數(shù)首尾相接，且2、5、8、11、14的差為3，如論壇上答：256，269，286，302，（），2+5+6=132+6+9172+8+6163

13、+0+25，256+13269269+17286286+16302 下一個(gè)數(shù)為302+5307。7)再?gòu)?fù)雜一點(diǎn)，如 0、1、3、8、21、55，這組數(shù)的規(guī)律是b*3-a=c，即相鄰3個(gè)數(shù)之間才能看出規(guī)律，這算最簡(jiǎn)單的一種，更復(fù)雜數(shù)列也用把前面介紹方法深化后來(lái)找出規(guī)律。8)分?jǐn)?shù)之間的規(guī)律，就是數(shù)字規(guī)律的進(jìn)一步演化，分子一樣，就從分母上找規(guī)律；或者第一個(gè)數(shù)的分母和第二個(gè)數(shù)的分子有銜接關(guān)系。而且第一個(gè)數(shù)如果不是分?jǐn)?shù)，往往要看成分?jǐn)?shù)，如2就要看成2/1。數(shù)字推理題經(jīng)常不能在正常時(shí)間內(nèi)完成，考試時(shí)也要抱著先易后難的態(tài)度(廢話，嘿嘿)。應(yīng)用題個(gè)人覺(jué)得難度和小學(xué)奧數(shù)程度差不多(本人青年志愿者時(shí)曾在某小學(xué)輔導(dǎo)

14、奧數(shù))，各位感覺(jué)自己有困難的網(wǎng)友可以看看這方面的書(shū)，還是有很多有趣、快捷的解題方法做參考。國(guó)家公務(wù)員考試中數(shù)學(xué)計(jì)算題分值是最高的，一分一題，而且題量較大，所以很值得重視(國(guó)家公務(wù)員125題，滿分100分，各題有分值差別，但如浙江省公務(wù)員一共120題，滿分120分，沒(méi)有分值的差別)補(bǔ)充：1）中間數(shù)等于兩邊數(shù)的乘積，這種規(guī)律往往出現(xiàn)在帶分?jǐn)?shù)的數(shù)列中，且容易忽略如1/2、1/6、1/3、2、6、3、1/22）數(shù)的平方或立方加減一個(gè)常數(shù)，常數(shù)往往是1，這種題要求對(duì)數(shù)的平方數(shù)和立方數(shù)比較熟悉如看到2、5、10、17，就應(yīng)該想到是1、2、3、4的平方加1如看到0、7、26、63，就要想到是1、2、3、4的

15、立方減1對(duì)平方數(shù)，個(gè)人覺(jué)得熟悉120就夠了，對(duì)于立方數(shù)，熟悉110就夠了，而且涉及到平方、立方的數(shù)列往往數(shù)的跨度比較大，而且間距遞增，且遞增速度較快3）A2BC因?yàn)樽罱龅秸搲吓笥寻l(fā)這種類(lèi)型的題比較多，所以單獨(dú)列出來(lái)如數(shù)列5，10，15，85，140，7085如數(shù)列5, 6, 19,17 , 344 , 55如數(shù)列5,15,10,215，115這種數(shù)列后面經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一個(gè)負(fù)數(shù)，所以看到前面都是正數(shù)，后面突然出現(xiàn)一個(gè)負(fù)數(shù)，就考慮這個(gè)規(guī)律看看4）奇偶數(shù)分開(kāi)解題，有時(shí)候一個(gè)數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是一個(gè)規(guī)律，偶數(shù)項(xiàng)是另一個(gè)規(guī)律，互相成干擾項(xiàng)如數(shù)列1,8,9,64,25，216奇數(shù)位1、9、25 分別是1、3、5的

16、平方偶數(shù)位8、64、216是2、4、6的立方先補(bǔ)充到這兒。5) 后數(shù)是前面各數(shù)之各，這種數(shù)列的特征是從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，呈2倍關(guān)系如數(shù)列：1、2、3、6、12、24由于后面的數(shù)呈2倍關(guān)系，所以容易造成誤解！數(shù)字推理的題目就是給你一個(gè)數(shù)列,但其中缺少一項(xiàng),要求你仔細(xì)觀察這個(gè)數(shù)列各數(shù)字之間的關(guān)系,找出其中的規(guī)律,然后在四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)最合理的一個(gè)作為答案.數(shù)字推理題型及講解按照數(shù)字排列的規(guī)律, 數(shù)字推理題一般可分為以下幾種類(lèi)型:一、奇、偶：題目中各個(gè)數(shù)都是奇數(shù)或偶數(shù)，或間隔全是奇數(shù)或偶數(shù)：1、全是奇數(shù)：例題：1537 （ ）A .2 B.8 C.9 D.12 解析：答案是C ，整個(gè)數(shù)列中全都是奇數(shù)，

17、而答案中只有答案C是奇數(shù)2、全是偶數(shù)：例題：2 6 4 8 （ ）A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 解析：答案是D ，整個(gè)數(shù)列中全都是偶數(shù)，只有答案D是偶數(shù)。3、奇、偶相間 例題：2 13 4 17 6 （ ）A.8 B. 10 C. 19 D. 12 解析：整個(gè)數(shù)列奇偶相間，偶數(shù)后面應(yīng)該是奇數(shù) ，答案是C 練習(xí)：2，1，4，3，（ ），599年考題二、排序：題目中的間隔的數(shù)字之間有排序規(guī)律1、例題：34，21，35，20，36（）A.19 B.18 C.17 D.16 解析：數(shù)列中34，35，36為順序，21，20為逆序，因此，答案為A。三、加法：題目中的數(shù)字通過(guò)相加尋找規(guī)律1、前兩

18、個(gè)數(shù)相加等于第三個(gè)數(shù)例題：4，5，（），14，23，37A.6 B.7 C.8 D.9 注意：空缺項(xiàng)在中間，從兩邊找規(guī)律，這個(gè)方法可以用到任何題型；解析：4+5=9 5+9=14 9+14=23 14+23=37，因此，答案為D；練習(xí)：6，9，（），24，39 / 1，0，1，1，2，3，5，（ ）2、前兩數(shù)相加再加或者減一個(gè)常數(shù)等于第三數(shù)例題：22，35，56，90，（） 99年考題A162 B.156 C.148 D.145解析: 22+35-1=56 35+56-1=90 56+90-1=145，答案為D四、減法：題目中的數(shù)字通過(guò)相減，尋找減得的差值之間的規(guī)律1、前兩個(gè)數(shù)的差等于第三個(gè)數(shù)

19、：例題：6，3，3，（），3，-3A.0 B.1 C.2 D.3 答案是A解析：6-3=3 3-3=0 3-0=3 0-3=-3提醒您別忘了：“空缺項(xiàng)在中間，從兩邊找規(guī)律”2、等差數(shù)列：例題：5，10，15，( ) A. 16 B.20 C.25 D.30 答案是B.解析：通過(guò)相減發(fā)現(xiàn)：相鄰的數(shù)之間的差都是5，典型等差數(shù)列；3、二級(jí)等差：相減的差值之間是等差數(shù)列例題：115，110，106，103，（）A.102 B.101 C.100 D.99 答案是B解析：鄰數(shù)之間的差值為5、4、3、（2），等差數(shù)列，差值為1103-2=101 練習(xí)：8，8，6，2，（） / 1，3，7，13，21，31

20、，（ ）4、二級(jí)等比：相減的差是等比數(shù)列例題：0,3,9,21,45, ( )相鄰的數(shù)的差為3,6,12,24,48,答案為93例題：-2,-1,1,5,( ),29 -99年考題解析：-1-（-2）=1 ，1-（-1）=2，5-1=4，13-5=8，29-13=16后一個(gè)數(shù)減前一個(gè)數(shù)的差值為:1,2,4, 8,16,所以答案是135、相減的差為完全平方或開(kāi)方或其他規(guī)律例題：1，5，14，30，55，（ ）相鄰的數(shù)的差為4，9，16，25，則答案為55+36=916、相隔數(shù)相減呈上述規(guī)律：例題：53，48，50，45，47A.38 B.42 C.46 D.51解析：53-50=3 50-47=

21、3 48-45=3 45-3=42 答案為B注意：“相隔”可以在任何題型中出現(xiàn)五、乘法：1、前兩個(gè)數(shù)的乘積等于第三個(gè)數(shù)例題：1,2,2,4,8,32,( ) 前兩個(gè)數(shù)的乘積等于第三個(gè)數(shù)，答案是2562、前一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)數(shù)加一個(gè)常數(shù)等于第二個(gè)數(shù)，n1m+a=n2例題:6,14,30,62,( )A.85 B.92 C.126 D.250解析:62+2=14 142+2=30 302+2=62 622+2=126，答案為C練習(xí)：28，54，106，210，（）3、兩數(shù)相乘的積呈現(xiàn)規(guī)律:等差,等比,平方,.例題：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 （ ） （99年海關(guān)考題）A. 1/6 B.

22、2/9 C.4/3 D.4/9解析:3/22/3=1 2/33/4=1/2 3/41/3=1/4 1/33/8=1/83/8?=1/16 答案是 A六、除法:1、兩數(shù)相除等于第三數(shù)2、兩數(shù)相除的商呈現(xiàn)規(guī)律：順序，等差，等比，平方，.七、平方：1、完全平方數(shù)列：正序：4，9，16，25 逆序：100，81，64，49，36間序：1，1，2，4，3，9，4，（16） 2、前一個(gè)數(shù)的平方是第二個(gè)數(shù)。1） 直接得出：2，4，16，（）解析：前一個(gè)數(shù)的平方等于第三個(gè)數(shù)，答案為256。2）前一個(gè)數(shù)的平方加減一個(gè)數(shù)等于第二個(gè)數(shù)：1，2，5，26，（677）前一個(gè)數(shù)的平方減1等于第三個(gè)數(shù)，答案為6773、隱含

23、完全平方數(shù)列：1）通過(guò)加減化歸成完全平方數(shù)列：0，3，8，15，24，（） 前一個(gè)數(shù)加1分別得到1，4，9，16，25，分別為1，2，3，4，5的平方，答案為6的平方36。2）通過(guò)乘除化歸成完全平方數(shù)列：3，12，27，48，（）3, 12，27，48同除以3，得1，4，9，16，顯然，答案為753）間隔加減，得到一個(gè)平方數(shù)列：例：65，35，17，（），1 A.15 B.13 C.9 D.3解析:不難感覺(jué)到隱含一個(gè)平方數(shù)列。進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方減1，17等于4的平方加1，所以下一個(gè)數(shù)應(yīng)該是2的平方減1等于3，答案是D.練習(xí)1：65，35，17，（3 ）

24、，1 A.15 B.13 C.9 D.3練習(xí)2：0， 2， 8，18，（24 ） A.24 B.32 C.36 D.52（ 99考題）八、開(kāi)方：技巧:把不包括根號(hào)的數(shù)(有理數(shù)),根號(hào)外的數(shù),都變成根號(hào)內(nèi)的數(shù),尋找根號(hào)內(nèi)的數(shù)之間的規(guī)律:是存在序列規(guī)律,還是存在前后生成的規(guī)律。九、立方:1、立方數(shù)列：例題：1，8，27，64，（）解析：數(shù)列中前四項(xiàng)為1，2，3，4的立方，顯然答案為5的立方，為125。2、立方加減乘除得到的數(shù)列：例題：0，7，26，63 ，（ ）解析：前四項(xiàng)分別為1，2，3，4的立方減1，答案為5的立方減1，為124。十、特殊規(guī)律的數(shù)列：1、前一個(gè)數(shù)的組成部分生成第二個(gè)數(shù)的組成部分

25、:例題：1，1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，（）答案是：13/21，分母等于前一個(gè)數(shù)的分子與分母的和，分子等于前一個(gè)數(shù)的分母。2、數(shù)字升高（或其它排序），冪數(shù)降低（或其它規(guī)律）。例題：1，8，9，4，（），1/6A3 B.2 C.1 D.1/3解析:1，8，9，4，（ ），1/6依次為1的4次方，2的三次方，3的2次方（平方），4的一次方，（ ），6的負(fù)一次方。存在1，2，3，4，（），6和4，3，2，1，（ ），-1兩個(gè)序列。答案應(yīng)該是5的0次方，1往返平均速度公式及其應(yīng)用廖帝學(xué)某人以速度a從A地到達(dá)B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度。證明：設(shè)A、B兩地相距S，則往

26、返總路程2S，往返總共花費(fèi)時(shí)間故下面舉例說(shuō)明這一公式的應(yīng)用。例1. 一架飛機(jī)所帶燃料最多可用6小時(shí)，飛機(jī)順風(fēng)，每小時(shí)可飛1500千米，飛回時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)可飛1200千米，這架飛機(jī)最多飛出_千米，就需往回飛？解：飛機(jī)往返的平均速度為千米/時(shí)往返總路程為千米故這架飛機(jī)最多飛出千米，就需往回飛。例2. 張師傅駕駛一輛載重汽車(chē)從縣城到省城送貨，到達(dá)省城后馬上卸貨并隨即沿原路返回。他駕駛這輛汽車(chē)去時(shí)每小時(shí)行56千米，返回時(shí)每小時(shí)行64千米，往返一趟共用去12小時(shí)（在省城卸貨所用時(shí)間略去不計(jì)）。張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行多少千米？解：張師傅往返一趟共行千米答：張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行71

27、6.8千米。植樹(shù)問(wèn)題只要我們稍加留意，都會(huì)看到在馬路兩旁一般都種有樹(shù)木。細(xì)心觀察，這些樹(shù)木的間距一般都是等距離種植的。路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫做“植樹(shù)問(wèn)題”。而植樹(shù)問(wèn)題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開(kāi)放型的）。封閉型的和不封閉型的植樹(shù)問(wèn)題，區(qū)別在于間隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關(guān)系：1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹(shù)，如下圖所示，其路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：但如果只在一端植樹(shù)，如右圖所示，這時(shí)路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：如果兩端都不植樹(shù)，那么棵數(shù)比一端植樹(shù)還要再少一棵，其路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：例1

28、：有一條公路長(zhǎng)1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?分析與解答：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長(zhǎng)1000米，分成5米一段，那么里包含有10005=200段。由于公路的兩端都要求種樹(shù)，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2：某一淡水湖的周長(zhǎng)1350米，在湖邊每隔9米種柳樹(shù)一株，在兩株柳樹(shù)中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹(shù)多少株?可栽?shī)A枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?分析與解答：在圓周上植樹(shù)時(shí)，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹(shù)=13509=150株；由于兩株柳樹(shù)之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)

29、（段數(shù)）為150，所以栽?shī)A枝桃的株數(shù)=2150=300株；每隔9米種柳樹(shù)一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹(shù)的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每?jī)芍曛g的距離=9(2+1)=3(米)。例3：一條街上，一旁每隔8米有一個(gè)廣告牌，從頭到尾有16個(gè)廣告牌，現(xiàn)在要進(jìn)行調(diào)整，變成每12米有一個(gè)廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個(gè)牌不需要移動(dòng)？分析與解答：16個(gè)廣告牌，每相鄰的兩個(gè)廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15 個(gè)間隔，這條街的總長(zhǎng)度為815120（米）；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個(gè)廣告牌，那么不移動(dòng)的牌離端點(diǎn)的距離一定既是8的倍數(shù)，同時(shí)也是12

30、的倍數(shù)；83=122=24，也就是說(shuō)，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動(dòng)；120245，即段數(shù)為5個(gè)，但要扣除兩端的2個(gè)，所以，中間不需要移動(dòng)的有5-1=4個(gè)。事實(shí)上，所謂植樹(shù)問(wèn)題只是我們對(duì)這一種類(lèi)型問(wèn)題的總稱，并不單指植樹(shù)問(wèn)題。例如，與之類(lèi)似的還有爬樓（梯）問(wèn)題、隊(duì)列問(wèn)題、敲鐘問(wèn)題、鋸木頭問(wèn)題的等。所以，植樹(shù)問(wèn)題又稱上樓梯問(wèn)題。例4：某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開(kāi)。如果他從1層走到4層需要48秒，請(qǐng)問(wèn)以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？分析與解答：要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，并且知道從4樓走到8樓共需要走幾層樓梯。從1層走到4層，事實(shí)所爬

31、的層數(shù)只是4-1=3層，所以上一層樓梯需要的時(shí)間是48（4-1）=16（秒）；又，從4樓走到8樓共需走8-4=4層樓梯，所以還需要的時(shí)間是164=64秒。例5：光華路小學(xué)三年級(jí)學(xué)生有125人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺(tái)長(zhǎng)42米，他們以每分鐘45米的速度通過(guò)主席臺(tái)需要多少分鐘?分析與解答：125人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，每5人一行，共排了1255=25行，那么這里25行就相當(dāng)于直線上的25棵樹(shù)，所以，這列隊(duì)的長(zhǎng)度為兩端植樹(shù)的路的長(zhǎng)度，全長(zhǎng)是2(25-1)=48米；這列隊(duì)伍通過(guò)主席臺(tái)，所走的總路程應(yīng)該是隊(duì)伍長(zhǎng)度與主席臺(tái)長(zhǎng)度之和，即：48+42=90米，所以，他們通過(guò)主席臺(tái)

32、的時(shí)間是9045=2分鐘。例6：下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形，它的長(zhǎng)度是多少？十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長(zhǎng)？分析與解答：根據(jù)上圖所示，要求出它的總長(zhǎng)度是多少，關(guān)鍵是求出重疊部分需要扣除的長(zhǎng)度。每一個(gè)鐵環(huán)的厚度為6毫米，注意到重疊部分，后面連上的鐵環(huán)將有2個(gè)厚度是重疊的，也就是說(shuō)實(shí)際每加一個(gè)鐵環(huán)所延伸的長(zhǎng)度為4厘米-26毫米=40毫米-12毫米=28毫米； 根據(jù)我們前面所講的植樹(shù)問(wèn)題，五個(gè)鐵環(huán)連在一起，“環(huán)扣”數(shù)為5-14(個(gè))，所以，五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起時(shí)，總長(zhǎng)度為40+428152(毫米)。同理，十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長(zhǎng)度為40+ (10-1) 28=292(毫米)。例7：一個(gè)木

33、工把一根長(zhǎng)24米的木條鋸成了3米長(zhǎng)的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?分析與解答：要求需要的時(shí)間，我們就要弄清楚共需鋸幾次。24米長(zhǎng)的木條里面包含有243=8個(gè)3米，8段有8-1=7個(gè)間隔，即木工只需鋸7次，那么，每次5分鐘,一共需要用時(shí)57=35分鐘。例8：一個(gè)街心花園如下圖所示，它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成。已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開(kāi)始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花。問(wèn)大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？分析與解答：由題意可知，大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的2倍，因?yàn)槊總€(gè)小三角形的邊上均勻栽9株， 而大三角形的每條邊由兩個(gè)小三角形的邊重疊一個(gè)頂點(diǎn)而成，所以，大三角形

34、的每條邊上栽的棵數(shù)為：92-1=17棵；又大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以，大三角形三條邊上共栽花：（17-1）3=48棵；再看圖中間的陰影小三角形，每邊所栽花的棵數(shù)就是一個(gè)兩端不種樹(shù)的植樹(shù)問(wèn)題，所以小三角形每條邊上栽花的棵數(shù)為9-2=7棵，中間共栽花：73=21棵，所以，整個(gè)花壇共栽花：48+21=69棵。例9：時(shí)鐘4點(diǎn)敲4下，用12秒敲完。那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？分析與解答：4點(diǎn)鐘敲4下，共12秒，而4下中間有3個(gè)間隔，說(shuō)明每一個(gè)間隔的秒數(shù)為12（41）=4秒；12點(diǎn)敲12下，中間有11個(gè)間隔，所以一共需要4（121）=44秒敲完。例10：鐵路旁每隔50米有一根

35、電線桿，某旅客為了計(jì)算火車(chē)速度，測(cè)量出從經(jīng)過(guò)第1根電線桿起到經(jīng)過(guò)第37根電線桿止共用了2分?；疖?chē)的速度是多少？分析與解答：從第1根電線桿起到第37根電線桿，共有37-1=36個(gè)間隔；每隔50米有一根電線桿，也就是說(shuō)間隔為50米；那么，行使的總路程為：50（371）=1800米；2分鐘=260秒=120秒，共行1800米，所以，火車(chē)速度為：180012015米秒。雞兔同籠問(wèn)題“雞兔同籠”是一類(lèi)有名的中國(guó)古算題.最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類(lèi)問(wèn)題，或者用解它的典型解法-“假設(shè)法”來(lái)求解.因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路.例1 有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，

36、雞和兔各有多少只？解：我們?cè)O(shè)想，每只雞都是“金雞獨(dú)立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是2442=122（只）.在122這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只. 答：有兔子34只，雞54只. 上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)2-總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的.做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡(jiǎn)單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這類(lèi)問(wèn)題時(shí)

37、，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計(jì)算方法就行不通.因此，我們對(duì)這類(lèi)問(wèn)題給出一種一般解法. 還說(shuō)例1.如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有488只腳，比244只腳多了884-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（884-244）（4-2）= 54（只）.說(shuō)明我們?cè)O(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式：雞數(shù)=（兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳288=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，682=34（只）.說(shuō)明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔

38、子，也可以列出公式：兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個(gè)數(shù).假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設(shè)法”.現(xiàn)在，拿一個(gè)具體問(wèn)題來(lái)試試上面的公式.例2 紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買(mǎi)了16支，花了2.80元.問(wèn)紅、藍(lán)鉛筆各買(mǎi)幾支？ 解：以“分”作為錢(qián)的單位.我們?cè)O(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買(mǎi)鉛筆問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問(wèn)題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有：藍(lán)筆數(shù)=（1916-280）（19-11）=24

39、8=3（支）.紅筆數(shù)=16-3=13（支）.答：買(mǎi)了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆. 對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8（11+19）=240.比280少40.40（19-11）=5.就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍(lán)鉛筆）數(shù)是3.308比1916或1116要容易計(jì)算些.利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來(lái)完成計(jì)算.實(shí)際上，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù).例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù) 1910+116=256. 比280少24. 2

40、4（19-11）=3， 就知道設(shè)想6只“雞”，要少3只. 要使設(shè)想的數(shù)，能給計(jì)算帶來(lái)方便，常常取決于你的心算本領(lǐng).下面再舉四個(gè)稍有難度的例子. 例3一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成，現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？解：我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時(shí)打甲每小時(shí)打306=5（份），乙每小時(shí)打3010=3（份）.現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成“兔”頭數(shù)，乙打字的時(shí)間看成“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7.“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問(wèn)題了.根據(jù)前面的公式“兔”數(shù)=

41、（30-37）（5-3） =4.5，“雞”數(shù)=7-4.5 =2.5，也就是甲打字用了4.5小時(shí)，乙打字用了2.5小時(shí).答：甲打字用了4小時(shí)30分. 例4 今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年？解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟的年齡看作“兔”頭數(shù).25是“總頭數(shù)”.86是“總腳數(shù)”.根據(jù)公式，兄的年齡是：（254-86）（4-3）=14（歲）. 19

42、98年，兄年齡是 14-4=10（歲）. 父年齡是（25-14）4-4=40（歲）. 因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，兄的年齡是（40-10）（3-1）=15（歲）. 這是2003年. 答：公元2003年時(shí)，父年齡是兄年齡的3倍. 例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀.現(xiàn)在這三種小蟲(chóng)共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀.每種小蟲(chóng)各幾只？ 解：因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿，所以從腿的數(shù)目來(lái)考慮，可以把小蟲(chóng)分成“8條腿”與“6條腿”兩種.利用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數(shù)=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道6條腿的小蟲(chóng)共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蟬共有1

43、3只，它們共有20對(duì)翅膀.再利用一次公式蟬數(shù)=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓數(shù)是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬. 例6某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對(duì)181道題，已知每人至少做對(duì)1道題，做對(duì)1道的有7人，5道全對(duì)的有6人，做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人？解：對(duì)2道、3道、4道題的人共有 52-7-6=39（人）. 他們共做對(duì) 181-17-56=144（道）. 由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人（2+3）2=2.5）.這樣兔腳數(shù)=4，雞腳數(shù)=2.5，總腳數(shù)=144，總頭數(shù)=39. 對(duì)4

44、道題的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）. 答：做對(duì)4道題的有31人. 習(xí)題一1.龜鶴共有100個(gè)頭，350只腳.龜、鶴各多少只？2.學(xué)校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120個(gè)學(xué)生同時(shí)進(jìn)行活動(dòng).象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副？3.一些2分和5分的硬幣，共值2.99元，其中2分硬幣個(gè)數(shù)是5分硬幣個(gè)數(shù)的4倍，問(wèn)5分硬幣有多少個(gè)？4.某人領(lǐng)得工資240元，有2元、5元、10元三種人民幣，共50張，其中2元與5元的張數(shù)一樣多.那么2元、5元、10元各有多少?gòu)垼?.一件工程，甲單獨(dú)做12天完成，乙單獨(dú)做18天完成，現(xiàn)在甲做了若干天后，再由乙接著單獨(dú)做完余下的部分，這

45、樣前后共用了16天.甲先做了多少天？6.摩托車(chē)賽全程長(zhǎng)281千米，全程被劃分成若干個(gè)階段，每一階段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）組成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）組成的.已知摩托車(chē)跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段？7.用1元錢(qián)買(mǎi)4分、8分、1角的郵票共15張，問(wèn)最多可以買(mǎi)1角的郵票多少?gòu)垼慷?、“兩?shù)之差”的問(wèn)題雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例7 買(mǎi)一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多4

46、0張，那么兩種郵票各買(mǎi)了多少?gòu)垼?解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多. （680-840）（8+4）=30（張），這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張. 因此8分郵票有40+30=70（張）. 答：買(mǎi)了8分的郵票70張，4分的郵票30張. 也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法. 解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是420+860=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是： （680-420-860）（4+8

47、）=10（張）. 因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70（張）.例8 一項(xiàng)工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：類(lèi)似于例3，我們?cè)O(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有 （150-83）（10+8）= 7（天）. 雨天是7+3=10天，總共7+10=17（天）. 答：這項(xiàng)工程17天完成. 請(qǐng)注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問(wèn)題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個(gè).這說(shuō)明了例7、例8與上一節(jié)基本問(wèn)題之間的關(guān)系.總腳數(shù)是

48、“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？ 例9 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問(wèn)雞與兔各幾只？ 解一：假如再補(bǔ)上28只雞腳，也就是再有雞282=14（只），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳42=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是：（100+282）（2+1）=38（只）.雞是：100-38=62（只）.答：雞62只，兔38只.當(dāng)然也可以去掉兔284=7（只）.兔的只數(shù)是（100-284）（2+1）+7=38（只）. 也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50（只）.此時(shí)腳數(shù)之差是： 450-250=100， 比

49、28多了72.就說(shuō)明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了）.為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（千萬(wàn)注意，不是2）.因此要減少的兔數(shù)是： （100-28）（4+2）=12（只）. 兔只數(shù)是： 50-12=38（只）. 另外，還存在下面這樣的問(wèn)題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”. 例10 古詩(shī)中，五言絕句是四句詩(shī)，每句都是五個(gè)字；七言絕句是四句詩(shī)，每句都是七個(gè)字.有一詩(shī)選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字.問(wèn)兩種詩(shī)各多少首.解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩(shī)首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差 1354+20=280（字）. 每首

50、字?jǐn)?shù)相差：74-54=8（字）. 因此，七言絕句有：28（28-20）=35（首）. 五言絕句有：35+13=48（首）.答：五言絕句48首，七言絕句35首. 解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是2023=460（字），2810=280（字），五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了：460-280=180（字）.與題目中“少20字”相差：180+20=200（字）. 說(shuō)明假設(shè)詩(shī)的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加 2008=25（首）. 五言絕句有 23+25=48（首）. 七言絕句有

51、10+25=35（首）. 在寫(xiě)出“雞兔同籠”公式的時(shí)候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對(duì)于例7、例9和例10三個(gè)問(wèn)題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來(lái)具體做一下，把列出的計(jì)算式子與“雞兔同籠”公式對(duì)照一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常有趣的事. 例7，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是（680-840）（8+4）=30（張）.例9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是（1004-28）（4+2）=62（只）.例10，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是（2013+20）（28-20）=35（首）. 首先，請(qǐng)讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來(lái)，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個(gè)算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢？當(dāng)你進(jìn)入初中，有了

52、負(fù)數(shù)的概念，并會(huì)列二元一次方程組，就會(huì)明白，從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.例11 有一輛貨車(chē)運(yùn)輸2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元，問(wèn)這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只？解：如果沒(méi)有破損，運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2（元）.因此破損只數(shù)是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）.答：這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶. 請(qǐng)你想一想，這是“雞兔同籠”同一類(lèi)型的問(wèn)題嗎？ 例12 有兩次自然測(cè)驗(yàn)，第一次24道題，答對(duì)1題得5分，答錯(cuò)（包含不答）1題倒扣1分；第二次1

53、5道題，答對(duì)1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì)30道題，但第一次測(cè)驗(yàn)得分比第二次測(cè)驗(yàn)得分多10分，問(wèn)小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分？解一：如果小明第一次測(cè)驗(yàn)24題全對(duì)，得524=120（分）.那么第二次只做對(duì)30-24=6（題）得分是：86-2（15-6）=30（分）. 兩次相差：120-30=90（分）. 比題目中條件相差10分，多了80分.說(shuō)明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了，要減少.第一次答對(duì)減少一題，少得5+1=6（分），而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（分）.（90-10）（6+10）=5（題）.因此，第一次答

54、對(duì)題數(shù)要比假設(shè)（全對(duì)）減少5題，也就是第一次答對(duì)19題，第二次答對(duì)：30-19=11（題）.第一次得分：519-1（24- 9）=90.第二次得分：811-2（15-11）=80.答：第一次得90分，第二次得80分. 解二：答對(duì)30題，也就是兩次共答錯(cuò) 24+15-30=9（題）.第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去5+1=6（分），第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去8+2=10（分）.答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差6+10=16（分）. 如果答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去69.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了69+10.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是：（69+10）（6+

55、10）=4（題） 第一次答錯(cuò) 9-4=5（題）. 第一次得分 5（24-5）-15=90（分）. 第二次得分 8（15-4）-24=80（分）. 習(xí)題二1.買(mǎi)語(yǔ)文書(shū)30本，數(shù)學(xué)書(shū)24本共花83.4元.每本語(yǔ)文書(shū)比每本數(shù)學(xué)書(shū)貴0.44元.每本語(yǔ)文書(shū)和數(shù)學(xué)書(shū)的價(jià)格各是多少？2.甲茶葉每千克132元，乙茶葉每千克96元，共買(mǎi)這兩種茶葉12千克.甲茶葉所花的錢(qián)比乙茶葉所花錢(qián)少354元.問(wèn)每種茶葉各買(mǎi)多少千克？3.一輛卡車(chē)運(yùn)礦石，晴天每天可運(yùn)16次，雨天每天只能運(yùn)11次.一連運(yùn)了若干天，有晴天，也有雨天.其中雨天比晴天多3天，但運(yùn)的次數(shù)卻比晴天運(yùn)的次數(shù)少27次.問(wèn)一連運(yùn)了多少天？4.某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共20道

56、題，做對(duì)一題得5分，做錯(cuò)一題倒扣1分，不做得0分.小華得了76分.問(wèn)小華做對(duì)了幾道題？5.甲、乙二人射擊，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分.每人各射10發(fā)，共命中14發(fā).結(jié)算分?jǐn)?shù)時(shí)，甲比乙多10分.問(wèn)甲、乙各中幾發(fā)？6.甲、乙兩地相距12千米.小張從甲地到乙地，在停留半小時(shí)后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留40分鐘后，又從甲地返回乙地.已知兩人同時(shí)分別從甲、乙兩地出發(fā)，經(jīng)過(guò)4小時(shí)后，他們?cè)诜祷氐耐局邢嘤?如果小張速度比小王速度每小時(shí)多走1.5千米，求兩人的速度. 巧算和與差一天，小明對(duì)一些小朋友說(shuō)：“請(qǐng)你們隨意說(shuō)出2個(gè)數(shù)來(lái)，我會(huì)一下子算出它們的和減去它們的

57、差的結(jié)果來(lái)！”“真的嗎？”小光驚奇地問(wèn)?！澳钱?dāng)然，請(qǐng)出題吧！”小明自信地說(shuō)。于是，小光寫(xiě)出了兩道題：（348256）（348256）（75643125）（75643125）小光剛寫(xiě)完第2題，小明就立刻說(shuō)出兩題的得數(shù)分別是512、6250。大家一起算，得的結(jié)果跟小明的一樣。小蘭想弄明白小明計(jì)算的奧秘，又說(shuō)出下面4組數(shù)：47和23，400和278，120與80，16840與3020。結(jié)果小明總是很快就說(shuō)出了答案。這時(shí)，小明問(wèn)小蘭：“你找出規(guī)律了嗎？”“還沒(méi)找到。不過(guò)，我覺(jué)得關(guān)鍵在兩數(shù)中的較小數(shù)上?！毙√m回答。“對(duì)！你再研究一下得數(shù)跟較小數(shù)的關(guān)系就會(huì)明白！”“我知道了，得數(shù)是較小數(shù)的2倍！”小光興奮地說(shuō)。小明給大家解