江西省九校協(xié)作體高三第一次聯(lián)考 文科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 江西省臨川一中、九江一中、新余一中等九校協(xié)作體 2016屆高三第一次聯(lián)考 數(shù)學(xué)（文）試題 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合，則（ ） A． B． C． D． 2．已知函數(shù)，則（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 4．現(xiàn)有一組樣本數(shù)據(jù)：1，2，2，2，3，3，4，5．則它的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ） A．，2 B．2，2 C．3，

2、2 D．2，3 5．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ） A．2 B．5 C． D．10 7．在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)、，則其中使函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)的概率是（ ） A． B． C． D． 8．執(zhí)行下圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 9．如果兩個(gè)方程的曲線經(jīng)過(guò)若干次平移或?qū)ΨQ變換后能夠完全重合，則稱這兩個(gè)方程為“互為鏡像方程對(duì)”．給出下列四對(duì)方程： ①和；②和；③和；④和 其中是“互為鏡像方程對(duì)”的有（ ） A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4

3、對(duì) 10．設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計(jì)算方法．它是由兩個(gè)圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體．圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，其直觀圖如圖丙，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其正視圖和俯視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 12．已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、，左、右焦點(diǎn)分別是，在線段上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，則橢圓的離

4、心率為（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．已知雙曲線的漸近線方程為，則其焦距為_(kāi)_____． 14．已知兩個(gè)向量都是單位向量，其夾角為，又，且，則______． 15．已知長(zhǎng)方體各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，，，過(guò)棱作該球的截面，則當(dāng)截面面積最小時(shí)，球心到截面的距離為_(kāi)_____． 16．已知函數(shù)，若對(duì)于任意，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______． 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．（本小題滿分12分） 已知向量，設(shè)函數(shù)．又在中，角、、的對(duì)邊分

5、別是，． （1）求角的大?。? （2）若，且．求邊的大小． 18．（本小題滿分12分） 為了促進(jìn)人口的均衡發(fā)展，我國(guó)從2016年1月1日起，全國(guó)統(tǒng)一實(shí)施全面放開(kāi)兩孩政策．為了解適齡國(guó)民對(duì)放開(kāi)生育二胎政策的態(tài)度，某部門選取70后和80后年齡段的人作為調(diào)查對(duì)象，進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，其中，持“支持生二胎”、“不支持生二胎”和“保留意見(jiàn)”態(tài)度的人數(shù)如下表所示： （1）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取個(gè)人，其中持“支持”態(tài)度的人共36人，求的值； （2）在持“不支持”態(tài)度的人中，仍用分層抽樣的方法抽取5人，并將其看成一個(gè)總體，從這5人中任意選取2人，求至少有1個(gè)80后的概率． 支持

6、 保留 不支持 80后 780 420 200 70后 120 180 300 19．（本小題滿分12分） 如圖，梯形中，，，，將沿邊翻折，使平面平面，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且滿足． （1）求證：平面； （2）若，求點(diǎn)到平面的距離． 20．（本小題滿分12分） 已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且，的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線，與拋物線和依次交于．（如圖所示） （1）求拋物線的方程； （2）求的最小值． 21．已知函數(shù)． （1）若函數(shù)在上無(wú)極值，求實(shí)數(shù)的值； （2）若，且存在實(shí)數(shù)，使得是在上的最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）若不等式對(duì)于任意恒成

7、立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，已知是的直徑，直線與相切于點(diǎn)，． （1）求證：； （2）若，，求的長(zhǎng)． 23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），又以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線極坐標(biāo)方程為：，直線與曲線交于兩點(diǎn)． （1）求直線的普通方程及曲線的平面直角坐標(biāo)方程； （2）求線段的長(zhǎng)． 24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知實(shí)數(shù)、滿足：． （1）求的最

8、小值； （2）在（1）的條件下，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 江西省臨川一中、九江一中、新余一中等九校協(xié)作體2016屆高三第一次聯(lián)考 數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分） 1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．D 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13．4 14． 15．5 16． 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．解：（1）∵向量，， ∴函數(shù)……3分 ∵ ∴

9、 ………………4分 又 ∴ ………………6分 （2）∵． ∴， 解得 ……………………12分 18．解：（1）所有參與調(diào)查的人數(shù)為． 由分層抽樣知． ……………………5分 （2）由分層抽樣知抽取的5人中有2個(gè)80后（記為甲、乙），3個(gè)70后（記

10、為、、） 則從中任取兩個(gè)，共有以下10種等可能的基本事件：(甲，乙)、(甲，)、(甲，)、(甲，)、(乙，)、(乙，)、(乙，)、、、， ……………………7分 其中至少有1個(gè)80后的基本事件有(甲，乙)、(甲，)、(甲，)、(甲，C)、(乙，)、(乙，)、(乙，)共7種． ……………………9分 故至少有1個(gè)80后的概率為 ……………………12分 19．解：（1）證明：取中點(diǎn)，連

11、接 ∵，∴，且 ∵，且，∴，且 ∴四邊形是平行四邊形，∴ ……………………3分 又∵平面，平面 ∴平面． ……………………5分 （2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為 ∵平面平面，且，∴平面 又是的中點(diǎn) ∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半， 即為． ……………………7分 在中，由平面平面，且得平面 ∴， ∴，故 又， ∴ 而

12、 ……………………9分 由得 即，解得 ∴點(diǎn)到平面的距離為 ……………………12分 20．解：（1）由在拋物線上得 又由得 解得或，又，故 所以拋物線的方程為． ……………………4分 （2）由題知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為 則圓心到直線的距離為， ∴ ……………………6分 設(shè)， 由得， 則，由拋物線定義知， ……………8分 ∴

13、 ……………10分 設(shè)，則， ∵函數(shù)和在上都是單調(diào)遞增函數(shù) ∴ 當(dāng)時(shí)即時(shí)，有最小值． ……………12分 （另解法二：當(dāng)時(shí)，最短為，同時(shí)也最短為，故有最小值）． 21．解：（1）∵ ∴， ∵在上無(wú)極值 ∴得 ………………3分 （2）∵存在實(shí)數(shù)，使得是在上的最大值 ∴時(shí)，在處取得最大值 由（1）得 令得，或 ①當(dāng)時(shí)，， 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴得即 令，則 由得，∴在上單調(diào)遞增

14、，∴， ∴在時(shí)無(wú)解，故舍去； ②當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，，不合題意，舍去； ③當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴即∴ ④當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意； 綜上所述：． ………………8分 （3）由不等式 即是對(duì)于任意恒成立 令 則 ∵， ∴， ∴， ∴在上單調(diào)遞減，∴ ∴的取值范圍是． ………………12分 22．（1）證明：連結(jié)． 由為的直徑，

15、得 ∵ ∴ ∵直線與相切于點(diǎn)， ∴． ∴∽ ∴． ……………………5分 （2）解：由（1）得∽． ∴∴． ……………………7分 又∵，∴ ……………………10分 23．解：（1）由（為參數(shù)）消去，得：直線的普通方程為 ……………………2分 又將，代入得

16、 曲線的平面直角坐標(biāo)方程為 ……………………5分 （2）將代入得： 設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則， 所以 ……………………10分 24．解：（1）∵且 ∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） ……………………3分 ∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） ∴ ……………………5分 （2）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于 而 ……………………7分 ∴ ∴或 ……………………10分 13