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1、高考數(shù)學 排列、組合與二項式定理 第一輪復(fù)習計數(shù)原理一、高考要求:掌握分類計數(shù)原理及分步計數(shù)原理,并能用這兩個原理分析和解決一些簡單的問題.二、知識要點:1.分類計數(shù)原理(又稱加法原理):完成一件事,有n類辦法,在第1類辦法中有種不同的方法,在第2類辦法中有種不同的方法,在第n類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.2.分步計數(shù)原理(又稱乘法原理):完成一件事,需要分成n個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,做第n步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.三、典型例題:例1: (1)有紅、黃、白色旗子各n面(n3),取其中一面、二面、三面組成縱列信號,
2、可以有多少不同的信號？(2)有1元、2元、5元、10元的鈔票各一張,取其中一張或幾張,能組成多少種不同的幣值？(1)解 因為縱列信號有上、下順序關(guān)系,所以是一個排列問題,信號分一面、二面、三面三種情況(三類),各類之間是互斥的,所以用加法原理:升一面旗:共有3種信號;升二面旗:要分兩步,連續(xù)完成每一步,信號方告完成,而每步又是獨立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重復(fù)使用,故共有33種信號;升三面旗:有N=333種信號,所以共有39種信號.(2)解 計算幣值與順序無關(guān),所以是一個組合問題,有取一張、二張、三張、四張四種情況,它們彼此互斥的,用加法原理,因此,不同幣值有N=+=15(種).例4:
3、 (1)5本不同的書放在3個不同的書包中,有多少種不同的方法？(2)3個旅客在5家旅店住宿,有多少種不同的方法？ (1)解 每本書有3種不同方法,共有35=243種. (2)解 每個人有5種選擇,共有53=125種.四、歸納小結(jié):兩個基本原理的共同點是,都是研究“完成一件事,共有多少種不同的方法”,它們的區(qū)別在于一個與“分類”有關(guān),一個與“分步”有關(guān).如果完成一件事有n類辦法,這n類辦法彼此之間是相互獨立的,無論哪一種辦法中的哪一種都能單獨的完成這件事,求完成這件事的方法種數(shù),就用分類計數(shù)原理;如果完成一件事,需要分成n個步驟,各個步驟都不可缺少,需要完成所有的步驟才能完成這件事,而完成每一個
4、步驟又各有若干方法,求完成這件事方法的種數(shù),就用分步計數(shù)原理.五、基礎(chǔ)知識訓練:(一)選擇題:1. 將5封信投入3個郵筒,不同的投法共有( )A.種 B.種 C.3種 D.15種2. 將4個不同的小球放入3個不同的盒子,其中每個盒子都不空的放法共有( )A.種 B.種 C.18種 D.36種3. 已知集合M=1,-1,3,N=-4,5,6,-7,從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標,則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是( )A.18 B.10 C.16 D.144. 用1,2,3,4四個數(shù)字在任取數(shù)（不重復(fù)取）作和,則取出這些數(shù)的不同的和共有( )A.8個 B.9個
5、C.10個 D.5個(二)填空題:5. 由數(shù)字2，3，4，5可組成_個三位數(shù),_個四位數(shù),_個五位數(shù).6. 用1，2，3，9九個數(shù)字,可組成_個四位數(shù),_個六位數(shù).7. 從2，3，5，7這四個數(shù)中,取出兩數(shù)來作假分數(shù),這樣的假分數(shù)有_ _個.8. 全國移動電話號碼從1999年7月22日零時開始升到10位,前四位號碼為1390,剩下的位數(shù)碼從0，1，2，9中任取6個數(shù)字組成(可以重復(fù)),該方案的移動電話用戶最多能容納 戶.9. 商店里有15種上衣,18種褲子,某人要買一件上衣或一條褲子,共有_種不同的選法.要買上衣、褲子各一件,共有_種不同的選法.10. 現(xiàn)有甲組3人,乙組3人,兩組進行乒乓球單
6、打?qū)?甲組每人必須和乙組每人賽一場),一共有比賽的場數(shù)是 .(三)解答題:11. 有不同的數(shù)學書11本,不同的物理書8本,不同的化學書5本,從中取出不同學科的書2本,有多少種不同的取法？12. 用0，1，2，3，4這5個數(shù)字,(1)組成比1000小的正整數(shù)有多少種不同的方法?(2)組成無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)有多少種不同的方法?13. 五封不同的信投入四個郵筒,(1)隨便投完五封信,有多少種不同投法?(2)每個郵筒中至少要有一封信,有多少種不同投法? 排列一、高考要求:理解排列的意義,掌握排列數(shù)的計算公式,并能用它解決一些簡單的問題.二、知識要點:1. 一般地,從n個不同元素中,任取m(mn)個
7、元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.如果mn,這樣的排列叫做選排列,如果m=n,這樣的排列叫做全排列.2. 一般地,從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號(或)表示.3. 排列數(shù)公式:,其中,且mn.全排列的排列數(shù)等于自然數(shù)1到n的連乘積,這個連乘積叫做n的階乘,用n!表示,即.排列數(shù)公式還可以寫成.規(guī)定0!=1.三、典型例題:例: 7位同學站成一排,共有多少種不同的排法？解:問題可以看作:7個元素的全排列5040 7位同學站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？解:根據(jù)分步計數(shù)原理:76
8、543217！5040 7位同學站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？解:問題可以看作:余下的6個元素的全排列=720 7位同學站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解:根據(jù)分步計數(shù)原理:第一步 甲、乙站在兩端有種;第二步 余下的5名同學進行全排列有種,則共有=240種排列方法 7位同學站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一(直接法):第一步 從(除去甲、乙)其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有種方法;第二步 從余下的5位同學中選5位進行排列(全排列)有種方法 所以一共有2400種排列方法.解法二:(排除法)若甲站在排頭有種方法;若乙站在排尾有
9、種方法;若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法.所以甲不能站在排頭,乙不能排在排尾的排法共有=2400種.小結(jié)一:對于“在”與“不在”的問題,常使用“直接法”或“排除法”,對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮.(6)7位同學站成一排,甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？解:先將甲、乙兩位同學“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素(同學)一起進行全排列有種方法;再將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法.所以這樣的排法一共有1440種.(7) 7位同學站成一排,甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？解:方法同上,一共有720種.(8) 7位同學站成一排,甲、乙兩同學必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾
10、的排法有多少種？解法一:將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素,此時一共有6個元素,因為丙不能站在排頭和排尾,所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾,有種方法;將剩下的4個元素進行全排列有種方法;最后將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有種方法.所以這樣的排法一共有960種方法.解法二:將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素,此時一共有6個元素,若丙站在排頭或排尾有2種方法,所以丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法.解法三:將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素,此時一共有6個元素,因丙不能站在排頭和排尾,所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法,再將其余的5個元素進行全排列共有種
11、方法,最后將甲、乙兩同學“松綁”,所以這樣的排法一共有960種方法.小結(jié)二:對于相鄰問題,常用“捆綁法”(先捆后松).(9) 7位同學站成一排,甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？解法一:(排除法)解法二:(插空法)先將其余五個同學排好有種方法,此時他們留下六個位置(就稱為“空”吧),再將甲、乙同學分別插入這六個位置(空)有種方法,所以一共有種方法.(10) 7位同學站成一排,甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？解:先將其余四個同學排好有種方法,此時他們留下五個“空”,再將甲、乙和丙三個同學分別插入這五個“空”有種方法,所以一共有1440種.小結(jié)三:對于不相鄰問題,常用“插空法”(
12、特殊元素后考慮).四、歸納小結(jié):1.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一樣,只是元素排列的順序不完全相同.2.對有約束條件的排列問題,應(yīng)注意如下類型: 某些元素不能在或必須排列在某一位置;某些元素要求連排(即必須相鄰);某些元素要求分離(即不能相鄰);3.基本的解題方法:有特殊元素或特殊位置的排列問題,通常是先排特殊元素或特殊位置,稱為優(yōu)先處理特殊元素(位置)法(優(yōu)限法);某些元素要求必須相鄰時,可以先將這些元素看作一個元素,與其他元素排列后,再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列,這種方法稱為“捆綁法”;某些元素不相鄰排列時,可以先排其他元素,再將這些不相鄰元素插入空擋,這種方法稱為“插空法”;在處理排
13、列問題時,一般可采用直接和間接兩種思維形式,從而尋求有效的解題途徑,這是學好排列問題的根基.五、基礎(chǔ)知識訓練:(一)選擇題:1. (96高職-4)等于( )A. B. C.64 D.2. 某段鐵路共有6個站,共需準備普通客票的種數(shù)是( )A.30 B.24 C.15 D.123. 有4本不同的書分給4位同學,每人一本,不同的分法有( )A.64種 B.24種 C.16種 D.8種4. 5人中選出4人完成4項不同的工作,不同的選法種數(shù)為( )A.5 B. C. D.5. 用0,1,2,9這十個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)不可能是( )A. B. C. D.6. 從若干個元素中,每次取出2個元素的
14、排列種數(shù)為210,則元素的個數(shù)是( )A.20 B.15 C.30 D.147. 有n()件不同產(chǎn)品排成一排,若其中A、B兩件產(chǎn)品排在一起的不同排法有48種,則n=( )A.4 B.5 C.6 D.7(二)填空題:8. 若=30,則n= .9. 已知從n個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)等于從n-4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)的7倍,則n= .10. 從4種蔬菜品種中選出3種,分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進行試驗,共有 種種植方法.11. 從6人中選出4人參加4100米接力賽,甲必須跑第一棒,乙必須跑第四棒,不同的安排方案種數(shù)是 . 12. 某班有3名男同學和4名女同學外出隨機站成一排照相
15、,但4名女同學要站在一起,其排法有種 .13. 國內(nèi)某汽車生產(chǎn)廠有六種不同型號的環(huán)保型電動汽車參加國際博覽會展覽,排成一排,其中甲、乙兩型號必須相鄰的排法總數(shù)是(用數(shù)字回答) .(三)解答題:14. 從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單,如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上,則共有多少種不同的排法？ 解法一:(從特殊位置考慮) 解法二:(從特殊元素考慮)若選:;若不選:,則共有 136080.解法三:(間接法)13608015. 八個人排成前后兩排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,則共有多少種不同的排法？略解:甲、乙排在前排;丙排在后排;其余進行全排列.所
16、以一共有5760種方法.不同的五種商品在貨架上排成一排,其中a, b兩種商品必須排在一起,而c, d兩種商品不排在一起, 則不同的排法共有多少種？略解:(“捆綁法”和“插空法”的綜合應(yīng)用)a, b捆在一起與e進行排列有;此時留下三個空,將c, d兩種商品排進去一共有;最后將a, b“松綁”有.所以一共有24種方法.6張同排連號的電影票,分給3名教師與3名學生,若要求師生相間而坐,則不同的坐法有多少種？略解:(分類)若第一個為老師則有;若第一個為學生則有,所以一共有272種方法.16. 由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？略解:由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重
17、復(fù)數(shù)字,并且比13 000大的正整數(shù)？解法一:分成兩類,一類是首位為1時,十位必須大于等于3有種方法;另一類是首位不為1,有種方法.所以一共有個數(shù)比13 000大.解法二:(排除法)比13 000小的正整數(shù)有個,所以比13 000大的正整數(shù)有114個.17. 求證:.18. 學校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出順序,除第1個節(jié)目和最后一個節(jié)目已確定外,4個音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置,3個舞蹈節(jié)目要求排在第3,6,9的位置,2個曲藝節(jié)目要求跑在第4,8的位置,共有多少種不同的排法? 組合一、高考要求:理解組合的意義,掌握組合數(shù)的計算公式和性質(zhì),并能用它解決一些簡單的問題.二、知
18、識要點:1. 一般地,從n個不同元素中,任取m(mn)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.2. 一般地,從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號表示.3. 組合數(shù)公式:,其中,且mn.組合數(shù)公式還可以寫成:.4. 組合數(shù)的兩個性質(zhì):;.三、典型例題:例1:100件產(chǎn)品中有合格品90件,次品10件,現(xiàn)從中抽取4件檢查. 都不是次品的取法有多少種？ 至少有1件次品的取法有多少種？ 不都是次品的取法有多少種？ 解: ; ; .例2:從編號為1,2,3,10,11的共11個球中,取出5個球,使得這5個球的編號之和為奇
19、數(shù),則一共有多少種不同的取法？ 解:分為三類:1奇4偶有 ;3奇2偶有;5奇1偶有 所以一共有+.例3:現(xiàn)有8名青年,其中有5名能勝任英語翻譯工作;有4名青年能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任),現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔一項任務(wù),其中3名從事英語翻譯工作,2名從事德語翻譯工作,則有多少種不同的選法？解:我們可以分為三類: 讓兩項工作都能擔任的青年從事英語翻譯工作,有; 讓兩項工作都能擔任的青年從事德語翻譯工作,有; 讓兩項工作都能擔任的青年不從事任何工作,有. 所以一共有+42種方法.例4:甲、乙、丙三人值周,從周一至周六,每人值兩天,但甲不值周一,乙不值周六,問可以排出多少
20、種不同的值周表 ？解法一:(排除法)解法二:分為兩類:一類為甲不值周一,也不值周六,有;另一類為甲不值周一,但值周六,有.所以一共有+42種方法.例5:6本不同的書全部送給5人,每人至少1本,有多少種不同的送書方法？解:第一步從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個元素有種方法;第二步將5個“不同元素(書)”分給5個人有種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理,一共有1800種方法. 變題1:6本不同的書全部送給5人,有多少種不同的送書方法？變題2: 5本不同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？ 變題3: 5本相同的書全部送給6人,每人至多1本,有多少種不同的送書方法？ 答案:1.;
21、 2.; 3.例6:身高互不相同的7名運動員站成一排,甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？解:(插空法)現(xiàn)將其余4個同學進行全排列一共有種方法,再將甲、乙、丙三名同學插入5個空位置中(但無需要進行排列)有種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理,一共有240種方法.例7: 四個不同的小球放入四個不同的盒中,一共有多少種不同的放法？ 四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解: 根據(jù)分步計數(shù)原理:一共有種方法.(捆綁法)第一步從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有種方法,第二步從四個不同的盒取其中的三個將球放入有種方法.所以一共有144種方法.四、歸
22、納小結(jié):如果兩個組合中的元素完全相同,那么不管元素的順序如何,它們是相同的組合;只有當兩個組合中的元素不完全相同時,才是不同的組合.五、基礎(chǔ)知識訓練:(一)選擇題:1. 在下列問題中:(1)從1,2,3三個數(shù)字中任取兩個,可以組成多少個和?(2)從1,2,3三個數(shù)字中任取兩個,可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)?(3)將3個乒乓球投入5個容器,每個容器只能容納一個乒乓球,問有多少種投法?(4)將3張編號的電影票給三個同學,每人一張,有多少種分法?屬于組合問題的是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)2. 從10名同學中選出3名代表,所有可能的不同選法種數(shù)是( )A.120 B.
23、240 C.720 D.303. (2000-13)凸10邊形共有對角線( ) A.90條 B.70條 C.45條 D.35條4. 某班有50名學生,其中有一名正班長,一名副班長,現(xiàn)選派5人參加一個游覽活動,其中至少有一名班長(正、副均可)參加,共有幾種不同的選法,其中錯誤的一個是( )A.n=+ B. n=-C. n= D.n=-5. 從7名男隊員和5名女隊員中選出4人進行乒乓球男女混合雙打,不同的組隊數(shù)有( )A. B. 4 C. 2 D. A(二)填空題:6. = .7. 平面內(nèi)有12個點,其中任意3點不在同一直線上,以每3點為頂點畫三角形,一共可畫三角形的個數(shù)是 .8. 從1,2,3,
24、4,5,6,7,8,9這9個數(shù)中取出2個數(shù),使它們的和是偶數(shù),共有 種選法.9. 有13個隊參加籃球賽,比賽時先分成二組,第一組7個隊,第二組6個隊,各組都進行單循環(huán)賽(即每隊都要與本組其它各隊比賽一場),然后由各組的前兩名共4個隊進行單循環(huán)賽決定冠、亞軍,共需要比賽的場數(shù)是 .10. 4個男同學進行乒乓球雙打比賽,有 種配組方法.(三)解答題:11. 某賑災(zāi)區(qū)醫(yī)療隊由4名外科醫(yī)生和8名內(nèi)科醫(yī)生組成,現(xiàn)需從中選派5名醫(yī)生去執(zhí)行一項任務(wù).(1)若某內(nèi)科醫(yī)生必須參加,而某外科醫(yī)生因故不能參加,有多少種選派方法？(2)若選派的5名醫(yī)生中至少有1名內(nèi)科和外科醫(yī)生參加,有多少中選派方法？解: (1)依題
25、意,只須從剩余的10名醫(yī)生中選出4名醫(yī)生與內(nèi)定的一名內(nèi)科醫(yī)生組成醫(yī)療隊.故共有=210種選派方法. (2)方法一:5名醫(yī)生全由內(nèi)科醫(yī)生組成,有種方法,故符合題意的方法為=936種; 方法二:我們將內(nèi)科、外科醫(yī)生分別當作一組有序?qū)崝?shù)對的前后兩實數(shù),則按題意組隊方式可有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四種,故共有+=736種.12. 九張卡片分別寫著數(shù)字0,1,2,8,從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù),如果6可以當作9使用,問可以組成多少個三位數(shù)？解:可以分為兩類情況: 若取出6,則有種方法;若不取6,則有種方法.根據(jù)分類計數(shù)原理,一共有+602種方法.13. 在產(chǎn)品檢驗時,常從
26、產(chǎn)品中抽出一部分進行檢查,現(xiàn)從10件產(chǎn)品中任意抽3件.(1) 一共有多少種不同的抽法?(2) 如果10件產(chǎn)品中有3件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3) 如果10件產(chǎn)品中有3件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種? 排列、組合的應(yīng)用一、高考要求:熟練應(yīng)用排列、組合知識解排列組合應(yīng)用題.二、知識要點:排列問題與組合問題的根本區(qū)別在于,取出元素后是否按一定順序排列.元素需要按一定順序排列,屬排列問題;不需要考慮元素順序,屬組合問題.三、典型例題:例1:完成下列選擇題與填空題:(1)有三個不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,則不同的投法有 種.A.81B.64C.2
27、4D.4(2)四名學生爭奪三項冠軍,獲得冠軍的可能的種數(shù)是( )A.81B.64C.24D.4(3)有四位學生參加三項不同的競賽,每位學生必須參加一項競賽,則有不同的參賽方法有 ;每項競賽只許有一位學生參加,則有不同的參賽方法有 ;每位學生最多參加一項競賽,每項競賽只許有一位學生參加,則不同的參賽方法有 .解析 (1)完成一件事是“分步”進行還是“分類”進行,是選用基本原理的關(guān)鍵.將“投四封信”這件事分四步完成,每投一封信作為一步,每步都有投入三個不同信箱的三種方法,因此:N=3333=34=81,故答案選A.本題也可以這樣分類完成,四封信投入一個信箱中,有C31種投法;四封信投入兩個信箱中,
28、有C32(C41A22+C42C22)種投法;四封信投入三個信箱,有兩封信在同一信箱中,有C42A33種投法、,故共有C31+C32(C41A22+C42C22)+C42A33=81(種).故選A.(2)因?qū)W生可同時奪得n項冠軍,故學生可重復(fù)排列,將4名學生看作4個“店”,3項冠軍看作“客”,每個“客”都可住進4家“店”中的任意一家,即每個“客”有4種住宿法.由分步計數(shù)原理得:N=444=64.故答案選B.(3)學生可以選擇項目,而競賽項目對學生無條件限制,所以類似(1)可得N=34=81(種);競賽項目可以挑學生,而學生無選擇項目的機會,每一項可以挑4種不同學生,共有N=43=64(種);等
29、價于從4個學生中挑選3個學生去參加三個項目的競賽,每人參加一項,故共有C43A33=24(種).注 本題有許多形式,一般地都可以看作下列命題:設(shè)集合A=a1,a2,an,集合B=b1,b2,bm,則f:AB的不同映射是mn,f:BA的不同映射是nm.若nm,則f:AB的單值映射是:Amn.例2:同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則四張賀年卡不同的分配方式有( )A.6種B.9種C.11種D.23種解法一 由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人),這個數(shù)目不大,化為填數(shù)問題之后,可用窮舉法進行具體的填寫:再按照題目要求檢驗,最終易知有9種分配方法
30、.解法二 記四人為甲、乙、丙、丁,則甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到,故有3種分配方式;以乙收到為例,其他人收到卡片的情況可分為兩類:第一類:甲收到乙送出的卡片,這時丙、丁只有互送卡片1種分配方式;第二類:甲收到的不是乙送出的卡片,這時,甲收到卡片的方式有2種(分別是丙和丁送出的).對每一種情況,丙、丁收到卡片的方式只有一種.因此,根據(jù)乘法原理,不同的分配方式數(shù)為 (1+2)=9.解法三 給四個人編號:1,2,3,4,每個號碼代表1個人,人與號碼之間的關(guān)系為一對一的關(guān)系;每個人送出的賀年卡賦給與其編號相同的數(shù)字作為代表,這樣,賀年卡的分配問題可抽象為如下“數(shù)學問題”:將數(shù)字1,2,3
31、,4,填入標號為1,2,3,4的4個方格里,每格填寫一個數(shù)字,且每個方格的編號與所填數(shù)字都不同的填法共有多少種(也可以說成:用數(shù)字1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的4位數(shù),而且每位數(shù)字都不等于位數(shù)的4位數(shù)共有多少個)？這時,可用乘法原理求解答案:首先,在第1號方格里填寫數(shù)字,可填上2、3、4中的任一個數(shù),有3種填法;其次,當?shù)?號方格填寫的數(shù)字為i(2i4)時,則填寫第i種方格的數(shù)字,有3種填法; 最后,將剩下的兩個數(shù)填寫到空著的兩個空格里,只有1種填法(因為剩下的兩個數(shù)中,至少有1個與空著的格子的序號相同).因此,根據(jù)乘法原理,得不同填法:331=9注 本題是“亂坐問題”,也稱“錯排問題”,當
32、元素較大時,必須用容斥原理求解,但元素較小時,應(yīng)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理便可以求解,或可以窮舉.例3:宿舍樓走廊上有有編號的照明燈一排8盞,為節(jié)約用電又不影響照明,要求同時熄掉其中3盞,但不能同時熄掉相鄰的燈,問熄燈的方法有多少種？解法一 我們將8盞燈依次編號為1,2,3,4,5,6,7,8.在所熄的三盞燈中,若第一盞熄1號燈,第二盞熄3號燈,則第3盞可以熄5,6,7,8號燈中的任意一盞,共有4種熄法.若第一盞熄1號燈,第2盞熄4號燈,則第3盞可以熄6,7,8號燈中的任意一盞.依次類推,得若1號燈熄了,則共有4+3+2+1=10種熄法.若1號燈不熄,第一盞熄的是2號燈,第二盞熄的是4號燈,
33、則第三盞可以熄6,7,8號燈中的任意一盞,共有3種熄法.依次類推得,若第一盞燈熄的是2號燈,則共有3+2+1=6種熄法.同理,若第一盞熄的是3號燈,則共有2+1=3種熄法.同理,若第一盞熄的是4號燈,則有1種熄法.綜上所述共有:10+6+3+1=20種熄法.解法二 我們可以假定8盞燈還未安裝,其中5盞燈是亮著的,3盞燈不亮.這樣原問題就等價于:將5盞亮著的燈與3盞不亮的燈排成一排,使3盞不亮的燈不相鄰(燈是相同的).5盞亮著的燈之間產(chǎn)生6個間隔(包括兩邊),從中插入3個作為熄滅的燈就是我們經(jīng)常解決的“相鄰不相鄰”問題,采用“插入法”,得其答案為C63=20種.注 解法一是窮舉法,將所有可能的情
34、況依次逐一排出.這種方法思路清晰,但有時較繁.方法二從另外一個角度審題,認清其數(shù)學本質(zhì),抽象成數(shù)學模型,解題時有一種豁然開朗的感覺.例4:平面上給定10個點,任意三點不共線,由這10個點確定的直線中,無三條直線交于同一點(除原10點外),無兩條直線互相平行.求:(1)這些直線所交成的點的個數(shù)(除原10點外).(2)這些直線交成多少個三角形.解法一 (1)由題設(shè)這10點所確定的直線是C102=45條.這45條直線除原10點外無三條直線交于同一點,由任意兩條直線交一個點,共有C452個交點.而在原來10點上有9條直線共點于此.所以,在原來點上有10C92點被重復(fù)計數(shù).所以這些直線交成新的點是:C4
35、52-10C92=630.(2)這些直線所交成的三角形個數(shù)可如下求:因為每個三角形對應(yīng)著三個頂點,這三個點來自上述630個點或原來的10個點.所以三角形的個數(shù)相當于從這640個點中任取三個點的組合,即C6403=43 486080(個).解法二 (1)如圖對給定的10點中任取4個點,四點連成6條直線,這6條直線交3個新的點.故原題對應(yīng)于在10個點中任取4點的不同取法的3倍,即這些直線新交成的點的個數(shù)是:3C104=630.(2)同解法一.四、歸納小結(jié):1.解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律(1)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理使用方法有兩種:單獨使用;聯(lián)合使用.(2)將具體問題抽象為排列問題或組合問題,是解
36、排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步.(3)對于帶限制條件的排列問題,通常從以下三種途徑考慮:元素分析法:先考慮特殊元素要求,再考慮其他元素.位置分析法:先考慮特殊位置的要求,再考慮其他位置.整體排除法:先算出不帶限制條件的排列數(shù),再減去不滿足限制條件的排列數(shù).(4)對解組合問題,應(yīng)注意以下三點:對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎?是解組合題的常用方法.是用“直接法”還是“間接法”解組合題,其原則是“正難則反”.設(shè)計“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在.2.解排列、組合題的常用基本策略與方法:(1)去雜法對有限制條件的問題,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況去掉.這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法.(2)
37、分類處理某些問題總體不好解決時,常常分成若干類,再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論.這是解排列組合問題的基本策略之一.注意的是:分類不重復(fù)不遺漏,即:每兩類的交集為空集,所有各類的并集為全集.(3)分步處理與分類處理類似,某些問題總體不好解決時,常常分成若干步,再由分步計數(shù)原理解決.在處理排列組合問題時,常常既要分類,又要分步,其原則是先分類,后分步.(4)插入法(插空法)某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插入法.即先安排好沒有限制條件的元素,然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間.(5)“捆綁”法把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“
38、松綁”.將特殊元素在這些位置上全排列,即是“捆綁法”.(6)窮舉法:將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一排列出來.(7)探索法:對于復(fù)雜的情況,不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題,需仔細分析,從特殊到一般,或一般到特殊,探索出其中規(guī)律,再給予解決.(8)消序處理對均勻分組問題的解決,一定要區(qū)分開是“有序分組”還是“無序分組”,若是“無序分組”,一定要清除均勻分組無形中產(chǎn)生的有序因素.(9)“住店”法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素:一類元素可以重復(fù),另一類不能重復(fù).把不能重復(fù)的元素看作“客”,能重復(fù)的元素看作“店”,再利用分步計數(shù)原理直接求解的方法稱為“住店”法.(10)等價命題轉(zhuǎn)換法將陌生、復(fù)雜的
39、問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的問題.這是解數(shù)學題的主要思想方法之一,也是解較難的排列、組合題的重要策略.在排列組合中,常對同一問題可有不同的分類辦法去解,可得到有關(guān)排列數(shù)與組合數(shù)的不同關(guān)系式.五、基礎(chǔ)知識訓練:(一)選擇題:1. 從4個班中確定3個班,分別到三個工廠進行專業(yè)實習,則不同的安排方案種數(shù)是( ) A. B. C. D.2. 在計算機系統(tǒng)中,可用數(shù)字0、1組成不同數(shù)長表示不同的信息,其中八位數(shù)長表示的信息個數(shù)是( ) A. B. C.82 D.283. 某校推薦4名優(yōu)秀畢業(yè)生分別到三所高校去學習,每個高校至少一名,不同的安排方法種數(shù)是( ) A.12 B.24 C.36 D.72(二)填空題
40、:4. 在5名男生、3名女生中選3名男生和2名女生擔任5門不同學科的課代表,不同的選法有_種(用數(shù)字作答).5. 有5種不同的不同的試驗園地.現(xiàn)要選3種小麥種子種在3塊園地里進行試驗,共有_種安排試驗方案.(三)解答題:6. 從5名男生、3名女生中選5名擔任5門不同學科的課代表,求符號下列條件的不同選法.(1) 3名男生和2名女生擔任課代表;(2) 女生甲擔任語文課代表;(3) 男生乙任課代表,但不任數(shù)學課代表,女生甲擔任語文課代表.7. 把5個人排成一排,求符合下列要求的不同的排法有多少種?(1) 甲、乙兩人必須相鄰;(2) 甲、乙兩人不相鄰;(3) 甲不在排頭,乙不在排尾.8. 用0，1，
41、2，3，4這五個數(shù)(1) 可組成多少個不同的4位數(shù)(允許數(shù)字重復(fù));(2) 可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的4位數(shù);(3) 可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù);(4) 可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的4位偶數(shù).9. 某學校新年晚會,同學們準備了12個歌舞節(jié)目和8個小品、相聲節(jié)目,要從中選出9個歌舞節(jié)目和5個小品、相聲節(jié)目,排一個節(jié)目單,試問:節(jié)目單共有多少種不同的排法?二項式定理一、高考要求:掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì),并能用它們計算和論證一些簡單問題.二、知識要點:1.二項式定理:一般地,有下面的公式:這個公式所表示的規(guī)律叫做二項式定理,右邊的多項式叫做的二項展開式,其中(m=0,1,2,n)叫做
42、二項式系數(shù),式中的叫做二項式的通項,用表示,即=.2.二項式系數(shù)的性質(zhì):(1)除每行兩端的1以外,每個數(shù)字都等于它肩上兩個數(shù)之和,即;(2)在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等,即;(3)如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n,那么二項展開式有(2n+1)個奇數(shù)項,且中間一項的二項式系數(shù)最大;如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)2n-1,那么二項展開式有2n個偶數(shù)項,且中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大.三、典型例題:例1: (1)如果(x+)2n展開式中,第四項與第六項的系數(shù)相等.求n,并求展開式中的常數(shù)項;(2)求(-)8展開式中的所有的有理項.解 (1)由C2n3=C2n5,可得3+5=2
43、n, n=4.設(shè)第k+1項為常數(shù)項,則 Tk+1=C8kx8-kx-k=C8kx8-2k8-2k=0,即k=4,常數(shù)項為T5=C84=70.(2)設(shè)第k+1項有理項,則因為0k8,要使Z,只有使k分別取0,4,8.所以所求的有理項應(yīng)為:T1=x4,T5=x,T9=x-2.注 (1)二項式展開中,要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別;(2)在二項展開式中求得k后,對應(yīng)的項應(yīng)該是k+1項.例2:已知(1-ax)n展開式的第p,p+1,p+2三項的二項式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,第n+1-p與第n+2-p項的系數(shù)之和為0,而(1-ax)n+1展開式的第p+1與p+2項的二項式系數(shù)之比為12.(1)求(1-a
44、x)n+1展開式的中間項;(2)求(1-ax)n的展開式中系數(shù)最大的項.解 由題設(shè)得:由得,2Cnp=Cnp+Cnp,兩邊約去Cnp,可得:2=+,由得,2Cn+1p=Cn+1p,約去Cn+1p可得,n=3p+1解方程組,得:n=7,p=2.將p=2,n=7代入得:C57(-a)5+C76(-a)6=0,解之得:a=0或3.若a=0 ,則(1-0x)8的中間項T5=0,(1-0x)7展開式中系數(shù)最大的項是T1=1.若a=3,則(1-3x)8的中間項T5=C84(-3x)4=5670x4,(1-3x)7的展開式中,奇數(shù)項系數(shù)為正,令 1,解之得:k6.故(1-3x)7展開式中系數(shù)最大的項為T7=
45、C76(-3)6x6=5103x6.注: 一般地,求(a+bx)n展開式中系數(shù)絕對值最大的項的方法是:設(shè)第k+1項為系數(shù)絕對值最大的項,則由求出k的取值范圍,從而確定第幾項最大.四、歸納小結(jié):1.重要結(jié)論:; ;(n為偶數(shù)); (n為奇數(shù));=.2.二項式的應(yīng)用(1)求某些多項式系數(shù)的和.(2)證明一些簡單的組合恒等式.(3)證明整除性.求數(shù)的末位;數(shù)的整除性及求系數(shù);簡單多項式的整除問題.(4)近似計算.當|x|充分小時,我們常用下列公式估計近似值:(1+x)n1+nx(1+x)n1+nx+x2(5)證明不等式.五、基礎(chǔ)知識訓練:(一)選擇題:1. 已知等差數(shù)列中,在的展開式中,二項式系數(shù)最
46、大的項是( ) A.第10項 B.第11項 C.第10項和第11項 D.第10項和第12項2. 二項式的展開式中項的系數(shù)是( ) A.-240 B.240 C.-160 D.603. 的二項展開式中的系數(shù)為( ) A.17 B.15 C.13 D.114. 已知,那么等于( )A.-27 B.-1 C.0 D.85. 的展開式中,第五項是( ) A. B. C. D.6. 的展開式中,不含a的項是第( )項 A.7 B.8 C.9 D.67. 的展開式中的整數(shù)項是( ) A.第12項 B. 第13項 C. 第14項 D. 第15項8. 展開式中第9項是常數(shù)項,則n的值是( ) A.13 B.1
47、2 C.11 D.109. (x-2)9的展開式中,第6項的二項式系數(shù)是( ) A.4032 B.-4032 C.126 D.-12610. 若的展開式中的第三項系數(shù)等于6,則n等于( ) A.4 B.4或-3 C.12 D.311. 多項式(1-2x)5(2+x)含x3項的系數(shù)是( ) A.120 B.-120 C.100 D.-10012. 在的展開式中,x6的系數(shù)是( ) A.-27 B.27 C.-9 D.9 13. 在(x2+3x+2)5的展開式中,x的系數(shù)為( ) A.160 B.240 C.360 D.80014. (1+x)3+(1+x)4+(1+x)50展開式中x3的系數(shù)是(
48、 ) A. B. C. D. 15. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10的展開式中,含x8的系數(shù)是( ) A.10 B.45 C.54 D.5516. 5n+13n(n)除以3的余數(shù)是( )A.0 B.0或1 C.0或2 D.217. (a+b)n展開式中第四項與第六項的系數(shù)相等,則n為( ) A.8 B.9 C.10 D.1118. 二項式(1-x)4n+1的展開式系數(shù)最大的項是( ) A.第2n+1項 B. 第2n+2項 C. 第2n項 D第2n+1項或2n+2項 (二)填空題:19. 從1997件不同的物品中,任取1件、2件、3件、998件,一共有 種取法.20. 在展開式中,前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則n的值為 .21. 已知一數(shù)列為(n1),則此數(shù)列所有項的和為 ,并計算= .22. 在的展開式中,的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項,若實數(shù)a1,則a= .23. 從n件不同的物品中,任取1件,2件,3件,n-1件,n件,其取法一共有 種.(三)解答題:24. 計算:(1)(0.997)3的近似值(精確到0.001); (2)(1.002)6的近視值(精確到0.001).25. 若(1-2x)5展開式中的第2項小于第1項,且不小于第3項,求實數(shù)x的取值范圍.26. 用二項式定理證明6363+17能被16整除.- 18 -
職高二輪復(fù)習 《排列、組合與二項式定理》
