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【三維設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué) 第二章 3 3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用創(chuàng)新演練 北師大版選修1-1
1．雙曲線－＝1上一點(diǎn)P到點(diǎn)F1(5,0)的距離為15，則點(diǎn)P到點(diǎn)F2(－5,0)的距離為
( )
A．7 B．23
C．7或23 D．5或25
解析：由雙曲線定義|PF1|－|PF2|＝2a，而由雙曲線方程知c＝5，a＝4，則點(diǎn)P到F2的距離為23或7.
答案：C
2．與橢圓＋y2＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)Q(2,1)的雙曲線方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1[
解析：∵c2＝4－1
2、＝3，∴共同焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，
設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則由
解得
∴雙曲線方程為－y2＝1.
答案：A
3．雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. B.
C. D．(，0)
解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，
∴c2＝a2＋b2＝，
∴c＝，
故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
答案：C
4．k<2是方程＋＝1表示雙曲線的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
解析：∵k<2?方程＋＝1表示雙曲線，
3、
而方程＋＝1表示雙曲線?(4－k)(k－2)<0?k<2或k>4?/ k<2.
答案：A
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線－＝1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為________．
解析：由題易知，雙曲線的右焦點(diǎn)為(4,0)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，)或(3，－)，則點(diǎn)M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為4.
答案：4
6．橢圓＋＝1與雙曲線－＝1的焦點(diǎn)相同，則k的值為________．
解析：雙曲線焦點(diǎn)位于x軸上，∴k>0，且有4－k2＝k＋2
即k2＋k－2＝0，∴k＝1或－2(負(fù)值舍去)．
答案：1
7．過雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線，求垂線與雙
4、曲線的一交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離．
解：由題意，c2＝144＋25＝169，∴c＝13，
則焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－13,0)，F(xiàn)2(13,0)．
設(shè)過F1且垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(－13，y)(y>0)，
∴＝－1＝，∴y＝，
∴|AF1|＝，
又∵|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
∴|AF2|＝24＋|AF1|＝24＋＝，
∴垂線與雙曲線的一交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離為，.
8．若雙曲線－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，|F1F2|＝10，P為雙曲線上一點(diǎn)，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此雙曲線的方程．
解：∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a
且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.
則b2＝c2－a2＝20.
故所求的雙曲線方程為－＝1.
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