《提優(yōu)教程》2012江蘇省高中數學 第67講 圖論問題一競賽教案
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1、 第67講 圖論問題(一) 本節(jié)主要內容是:把一個具體問題用圖形表示出來,利用圖形的直觀性可能更有利于問題的解決. 有關的一些概念:由若干個不同的點及連接其中某些點對的線所組成的圖形就稱為圖.圖中的點的集合稱為圖的點集,記為V:V={v1,v2,…,vn,…};圖中的線的集合稱為圖的線集(邊的集合),記為E:E={vivj}(vi,vj∈V).故一個圖由其點集V和線集E所決定,若用G表示圖,則記為G=G(V;E).含有n個點的圖稱為n階圖. 在一個圖中,如果某點v共連了k條線,則說此點的“次數”(或“度數”)為k,記為degv=k.如果一個p階圖的每兩個頂點間都連且只連了1條線,則稱該
2、圖為p階完全圖,記為Kp. 若對每條線確定一個方向(即確定了線的兩個端點中一個為“起點”,另一個為“終點”.這時,線是點的“有序對”),則得到“有向圖”;對有向圖的一個頂點v,degv=k,若v是其中n條邊的起點,m條邊的終點(m+n=k),則稱v的出次為n,入次為m. 鏈:若在一個圖G=(V;E)中取n+1個頂點 v1、v2、…、vn+1,每兩個相鄰的頂點vi、vi+1間連有一條邊li,則邊l1,l2,…,ln就稱為從v1到vn+1的一條鏈.n稱為鏈的長度. A類例題 例1 ⑴證明任意的六人中一定有三個人互相認識或互不認識(約定甲認識乙就意味著乙認識甲). ⑵ K6的邊染成紅藍
3、兩色,求證:其中必有兩個三角形,其三邊同色. 分析 ⑴ 以點表示人,連紅、藍兩色的線分別表示“認識”與“不認識”,問題轉化成圖的問題.要會把題目的語言轉譯成圖的語言:“三人互相認識”就表示三點間都連紅線,“三人互不認識”就表示三點間都連藍線.⑵ 考慮每個異色三角形的三個角,其中兩個角是異色角,而同色三角形的三個角都是同色角. 證明 ⑴ 用6個點v1,v2,…,v6表示這6個人,如果某兩人相互認識,則在表示此二人的點間連一條紅線,否則連一條藍線.于是問題轉化為證明此6點間一定連出了三邊均為紅色或藍色的三角形. 在點v1連出的5條線中,由抽屜原理知,必有某色線連有3條或3條以上.不妨設紅線連
4、了至少3條.設v1與v2、v3、v4連的紅線.現考慮點v2、v3、v4連線的情況,如果此三點間有任兩點連的紅線,則出現紅色三角形(例如v2v3連紅線,則v1v2v3是紅色三角形),如果這三點間都不連紅線,則出現藍色三角形(v2v3v4是藍色三角形).故證. ⑵ 考慮K6共連了C=15條線,共得到C=20個三角形.設第i個頂點連了ri(0≤i≤5)條紅線,5-ri條藍線.由于ri(5-ri)≤6.所以,連出的異色角個數≤66=36個.由于每個異色的三角形有2個異色角,所以圖中異色三角形個數≤18,故圖中同色三角形個數≥20-18=2. 說明 題⑴是早期匈牙利的一個圖論競賽題.解這類“實際問題
5、”時,重要的是會用圖的語言解釋題意,把實際問題改寫為圖的問題. ⑵ 用異色角來解相關問題是較好的方法. 例2 由5人組成一個公司,其中任意三人總有2人彼此認識,也總有2人彼此不認識.證明:這五人可以圍桌而坐,使每人兩旁都是他認識的人.(1978年保加利亞數學競賽) 證明 用5個點表示這5個人,若兩人互相認識,則在表示這2個人的點間連1條線.題目的條件即是:任三點間至少連1條線,但不能連3條線. 首先,每點都至少連了2條線,若點v1只連出1條線,則它至少與某三點(設為v2、v3、v4)未連線,則此3點間都要連線(若v2與v3沒有連線,則v1與v2、v3就都沒有連線,與已知矛盾).出現
6、了以v2、v3、v4為頂點的三角形,矛盾. 其次,若某點連出了3條線,則此三點間都不能連線,與已知矛盾. 故知:每點都恰連2條線.它不能連成三角形,也不能連成四邊形,否則余下的點無法連線,故只能如圖所示,證畢. 說明 仔細體會上述兩例的特點,明白什么時候應該用圖來解相關的題:當涉及多個元素的某些相互關系時,就可能用圖來解釋. 情景再現 1.在例1中,把6個人改為5個人,結論是否一定成立? 2.圖G有n個頂點,n+1條邊,證明:圖G至少有一個頂點的次數≥3. B類例題 例3 設競賽圖(每兩個點都連了1條線的有向圖)中,點Ak的出次與入次分別為wk與ek(k=1,2,…,n
7、), 證明 w+w+…+w=e+e+…+e. 分析 根據競賽圖的特點可知:⑴ 每點的出次與入次的和都等于n-1,⑵ 所有點的出次的和與入次的和相等.由此可以推出:所有點的出次和與入次和都等于n(n-1).這是兩個基本的性質.在要證的式子中把ek用n-1-wk代替. 證明 對于每個點,出次與入次的和都是n-1,即 wk+ek=n-1(k=1,2,…,n), ① 所有出次的和與所有入次的和相等,且都等于圖中弧的條數: w1+w2+…+wn=e1+e2+…+en=n(n-1).② 所以 e+e+…+e =(n-1-w1)2+(n-1-w2)2+…+(n-1-wn)2 =
8、n(n-1)2+w+w+…+w-2(w1+w2+…+wn)(n-1) =w+w+…+w+n(n-1)2-2(n-1)(n-1) = w+w+…+w. 說明 本題的證明方法與《奇偶分析》中的例6相似. 例4 平面上給定7個點,用一些線段連接它們,每三個點中至少有兩點相連,問至少要有多少條線段?試給出一個圖.(1989蒙古數學競賽) 分析 首先找到連線條數的下界(即至少要連出多少條線),再尋找是否可能達到這個下界,可以分別枚舉可能的連線方法,討論每種方法的連線條數,得到最小的結果. 解 7個點中共有三點組C=35個.每條線段共與其余5點組成5個三角形.故線段條數≥=7條. 如果有
9、一個點沒有連線,則其余6點兩兩都必須連線,要C=15條. 如果有一點只連了一條線,其余5點必須兩兩連線,連線數>C=10條. 設某點只連了2條線,如點A只連了AB、AC這2條線,則其余4點均未與A連線,于是它們必須兩兩互連,應連C==6條.此時,取B、C兩點及其余4點中的任一點,尚不滿足條件,故BC應連線,此時連了9條線,所得圖形滿足題目要求. 若每點都至少連出3條線,則總度數≥21,即至少連了[]+1=11條線. 所以,至少連9條線. 例5 九名數學家在一次國際會議上相遇,發(fā)現他們中的任三人中至少有兩人能用同一種語言對話,如果每個數學家至多會用三種語言.證明:至少有三人可用同
10、一種語言對話.(1978年美國數學競賽) 分析 9個人用9個點表示.證法1中,多種語言則用多種顏色的線來表示,轉譯結論“三人可用同一種語言對話”時,應注意:如果從一點向另兩點連出了同色的兩條線,表示另兩人也能用相應的語言對話,從而就出現了同色三角形.所以,只要證明從一點一定引出了同色的線即可.而在證法2中,改設若二人不能對話就連1條線(即不存在二人都會的語言).此時結論就應轉譯為“存在三點,兩兩都沒有連線”. 證法1 用9個點表示這9個人,某二人如能用第r種語言交談,則在表示此二人的點間連一條線,并涂上第r種顏色,于是,本題即是證明,存在一個同色的三角形. 首先,若v1與v2、v1與v3
11、間都連了第k種顏色線,則v2與v3間也要連第k種顏色線.此時即出現同色的三角形.所以只要證明從其中某一點出發(fā)的線中必有兩條線的顏色相同. 反設從任一點出發(fā)的線中沒有同色的線,由于每個人至多會用三種語言.即degvi≤3,于是v1至少與5個點不鄰接,設為v2、…、v6,同樣,v2至少與5個點不相鄰接,于是v3、…、v6中至少有一點與v2不相鄰接.設為v3,于是v1、v2、v3不相鄰接.與已知“任三人中都至少有兩人能用同一種語言對話”矛盾.故證. 證法2 取9個點v1,v2,…,v9表示9個人,如果某二人不能對話,則在表示此二人的點間連一條線,于是在任何三點間,都有兩個點不相鄰,即不存在三角形
12、. 如果有人至少與4個點不連線,由于他最多只能講三種語言,則他必與其中某兩人講同一種語言.于是相應三人可以用同一種語言來對話. 下面證明存在一點,其度不大于4.從而該點至少與4點不相鄰.如果degv1≤4,則v1即為所求.若degv1>4,則至少degv1=5,即至少有5個點與之連線,設為v2,…,v6,由于這些點不能連出三角形,故v2,…,v6的任何兩個之間都不能連線,從而v2與v3,…,v6均無連線,于是degv2≤4.即可證得原題. 說明 兩點間連了1條線,則說這兩點相鄰. 本題的兩種證明方法從兩個方向出發(fā),一種是兩人可用同一種語言通話,就在相應兩點間連一條邊,證法2是反過來,兩
13、人不能通話時則連一條邊,都能應用圖解決問題. 例6 俱樂部里有14個人想打橋牌,已知過去每個人都與其中的5個人合作過,現在規(guī)定4個人中必須任兩個人都沒有合作過才準許在一起打1局橋牌,這樣打了3局就無法再打下去了,如果這時又來了一人,他與原來的14個人都沒有合作過,證明:一定可以再打1局. 分析 打橋牌時,4人分成合作的兩對,合作的兩人坐在相對的位置打牌.于是每局橋牌,都有兩對人合作. 把題目的條件與結論都轉述為圖的語言,并找出結論的等價命題是:找到三個人互相都沒有合作過,即存在3個點互不相鄰. 證明 用14個點表示這14個人,若某兩人合作過,則在表示這兩人的點間連一條線,于是,題目
14、條件即:其中每個點都已連出了5條線,且在此14個點中,可以找出3組點(每組4個點),這三組點間,兩兩未連線,若這3組點之間共連出6條線后,對于任意4點,都至少有兩點連了線.(14個點間一共連了41條線),證明此時一定存在3個點,兩兩都沒有連線(從而添入第15個點后,可與此3點合成4點,兩兩無連線). 由于14個點中的每個點原來都與(14-1-5=)8個點不相鄰.在又打3局連出了6條邊以后,至多有12個點又連了線,所以至少還有2個點,每個點仍與8個點不相鄰.設其中一點為v1.與v1不相鄰的點集為S. 下面證明:S中必有一點v2至少與7個點不相鄰.反設不存在這樣的點,則此8點中,每個點都至多與
15、6個點不相鄰,故此8個點都至少連了(14-6-1=)7條邊,于是此8點中的每個點又都新連了至少2條邊,故又新連出了822=8條邊(除以2是因為每條邊可能在兩個點端點處被計算了2次).這與只連了6條邊矛盾,所以存在S中的一點v2,至少與7個點不相鄰. 但8+7=15>14,必有一點v3與v1,v2均未連線.此三點即為所求. 鏈接 v3存在是根據容斥原理:把這14個人的集合記為S,與v1相鄰的點集記為A,與v2相鄰的點集記為B,則A∪BS.故 card(A∪B)≤card(S). 而 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B), 故
16、 card(A)+card(B)-card(A∩B)≤card(S), 現card(A)+card(B)=15,card(S)=14,于是card(A∩B)>0. 情景再現 A B C D 3.⑴右面的有向圖由4個頂點及一些弧(有向線段)組成,指出各點的出次(引出的弧的條數)與入次(引入的弧的條數). ⑵求出上題中所有各點的出次的和與入次的和,它們與弧的條數有什么關系? ⑶證明:任一有向圖中,出次的和與入次的和相等. 4.在n(n≥3)個點的競賽圖中,一定有兩個點的出次相同嗎? 5.在集合S的元素之間引入關系“→”.⑴ 對于任意兩個元素a,b∈S,要么a→b,要么b→
17、a,二者有且只有一個成立;⑵ 對任意三個元素a,b,c,如果a→b,b→c,則c→a.問集合S中最多能有多少個元素?(1972年英國數學競賽) 6.證明:⑴ 如果競賽圖中各點的出次不等, 那么可將這些點排成一列,排在前面的點有弧到達排在后面的任一點(即排在前面的選手勝排在后面的所有選手). ⑵ 如果點數n≥3的競賽圖中有三角形回路,那么,圖中必有兩點的出次相等. C類例題 例7 某足球賽有16個城市參加,每市派出2個隊,根據比賽規(guī)則,每兩隊之間至多賽一場,同城兩隊之間不進行比賽.賽過一段時間后,發(fā)現除A城甲隊外,其他各隊已賽過的場數各不相同.問A城乙隊已賽過幾場?證明你的結論.
18、分析 注意分析“各隊賽過場次各不相同”的含義,即能推知比賽場次的取值情況.再從比賽場次最多的隊開始討論,與之比賽的隊是哪些隊? 證明 用32個點表示這32個隊,如果某兩隊比賽了一場,則在表示這兩個隊的點間連一條線.否則就不連線. 由于,這些隊比賽場次最多30場,最少0場,共有31種情況,現除A城甲隊外還有31個隊,這31個隊比賽場次互不相同,故這31個隊比賽的場次恰好從0到30都有.就在表示每個隊的點旁注上這隊的比賽場次. 考慮比賽場次為30的隊,這個隊除自己與同城的隊外,與不同城的隊都進行了比賽,于是,它只可能與比賽0場的隊同城;再考慮比賽29場的隊,這個隊除與同城隊及比賽0場、1場(
19、只賽1場的隊已經與比賽30場的隊賽過1場,故不再與其它隊比賽)的隊不比賽外,與其余各隊都比賽,故它與比賽1場的隊同城;依次類推,知比賽k場的隊與比賽30-k場的隊同城,這樣,把各城都配對后,只有比賽15場的隊沒有與其余的隊同城,故比賽15場的隊就是A城乙隊.即A城乙隊比賽了15場. 說明 有些題的已知條件討論起來頭緒紛繁,如果利用圖來討論則可以化繁為簡.利用點與線的相鄰與否來研究這一類題目需要一定的技巧,也需要相當的抽象概括能力與邏輯推理能力.請大家多做些練習. 例8 n(n>3)名乒乓球選手單打若干場后,任意兩個選手已賽過的對手恰好都不完全相同,試證明:總可以從中去掉一名選手,而使在
20、余下的選手中,任意兩個選手已賽過的對手仍然都不完全相同.(1987年全國高中數學聯賽) 分析 本題的求證暗示要用反證法,設去掉任一個選手,都會有兩個選手賽過的對手完全相同.于是這兩人組成一個點對.這樣就會得到n個點對.每個點對連一條線,n個點連出了n條線,就可用圖的性質得到圈,使問題得證.這是證法1的思路. 每個選手的對手可以組成集合,研究對手集的性質,用最小數原理來證明,這是證法2的思路. 證法1 把這些選手編為1至n號,以n個點表示這n個人,各點也相應編為1至n號. 反設去掉任何一個選手后,都有兩個選手的已賽過的對手完全相同.于是,如果先去掉1號選手,則有兩個選手的已賽過的對手完全
21、相同,設為第i號與第j號,在表示此二人的點間連一條線,并在線上注上“1號”.這說明,此二人在去掉1號選手之前必是一人與1號賽過,另一人與1號沒有賽過.而且不可能在去掉1號后有三人都相同,否則,此三人與1號選手比賽的情況只有兩種:賽過或沒有賽過,如果去掉1號后,此三人的情況完全相同,則去掉1號之前必有2人賽過的對手完全相同.(如果去掉1號后有不止一對選手的已賽過對手完全相同,則只任取其中的一對連線,其余的對則不連線.) 同樣,如果再依次去掉2號、3號,…,直至n號,每去掉1個選手,都會在某兩點之間連1條線.這樣,就在n個點間連了n條線.且這些線上分別注了1至n號,每條線注了1個號碼,每個號碼只
22、注在1條線上. 由于在10個點間連了10條線,故圖中必存在一圈. 現從圈上一點i出發(fā),經過點j、k、…最后回到點i.注意到點i與點j所代表的兩個選手中1個是與1號比賽的,另一個是沒有與1號比賽的,不妨設i號沒有與1號比賽過,j號與1號比賽過.而j與k所連線上注的號碼不是1,故j與k與1號比賽的情況相同,即k號與1號比賽過,…,這樣沿線走一圈后回到i,就應該得出i號與1號比賽過,矛盾.故證. 證明2 用A、B、…表示選手,而用α(A)、α(B)表示A、B已賽過的對手集合.顯然,若A∈α(B),則B∈α(A). 設A是對手集中元素最多的的選手. 若命題不成立,則存在兩個選手B、C使去掉A
23、后,B、C的對手集相同,由于α(B)≠α(C),故A必屬于α(B)與α(C)之一.不妨設A∈α(B),于是,B∈α(A),Cα(A)且α(C)=α(B)\{A}.(在α(B)中去掉它的一個元素A后的集合表示為α(B)\{A}) 同樣對于選手C后,存在D、E,使去掉C后,D、E的對手集相同,即去掉C后,α(D)=α(E),又設C∈α(D)且Cα(E),于是D∈α(C),Eα(C). 由于Aα(C),D∈α(C),故D≠A:又D∈α(C),故D∈α(B),即B∈α(D) =α(E)∪{C},從而B∈α(E),Cα(E),而去掉A后,B、C的對手集相同,從而E=A. 于是α(A) =α(E)
24、=α(D)\{C},即α(A)比α(D)少一個元素C,這與A是“對手集中元素最多的”矛盾.故證. 說明 證法1是根據如下結論:如果n個點間連了n條線,則必出現“圈”:即從某一點出發(fā),沿邊前進,最后還能回到出發(fā)點. 證法2用最小數原理對集合的元素進行討論,較難理解,可對照圖理解相應的結論. 鏈接 樹與圈 若在一個圖G=(V;E)中取n+1個頂點 v1、v2、…、vn+1,每兩個相鄰的頂點vi、vi+1間連有一條邊li,則邊l1,l2,…,ln就稱為從v1到vn+1的一條鏈.一個圖中的任意兩個頂點間如果都有一條鏈,該圖就是連通的.一條鏈的兩個端點v1與vn+1重合時,就稱為圈.沒有圈的連通
25、圖稱為樹.n階樹可以記為Tn.在一個圖中,次數為1的頂點稱為懸掛點. 定理1 如果樹T的頂點數≥2,那么,它至少有兩個懸掛點. 從樹的任何一個頂點出發(fā),沿某個方向前進,已走過的邊不重復走,由于樹是無圈的,故每個頂點至多走過1次,如果,經過的一個頂點不是懸掛點,則還可以前進到下一個頂點,由于樹的頂點只有有限個,故前進到某個頂點(如果圖中共有n個頂點,則至多前進n-1步)后就無法再繼續(xù)前進,即到達一個次數為1的頂點.此頂點即為一個懸掛點.再從此懸掛點出發(fā),沿鏈走一次(第一步是按剛才的反方向前進),則又可以到達一個懸掛點.此懸掛點與剛才第一個懸掛點不同.即圖中至少有兩個懸掛點. 定理2一個n階
26、的連通圖是1個樹,當且僅當它有n-1條邊. 先證明:如果樹T的頂點數為n,則其邊數為n-1. 證明 對于n=1或2,定理顯然成立. 設定理對于k個頂點時成立,即若一個樹有k個頂點,則其邊有k-1條.對于k+1個頂點的樹,只要去掉一個懸掛點及與之相鄰的一條邊,就成為有k個頂點的情形,此時的樹有k個頂點與k-1條邊,此時再把去掉的1個頂點及1條邊添入,就成為k+1個頂點,k條邊的樹.故證. 再證明:如果圖G是連通的,且有n個頂點與n-1條邊,則G是一個樹. 取G的生成樹T,則此生成樹有n個頂點,因是樹,故有n-1條邊.但TG,故T=G.故證. 定理3 樹T具有以下性質: ⑴ 在T中去
27、掉任一邊后,所得的圖是不連通的; ⑵ 在T中添上1條邊后,所得的圖有圈; ⑶ T中的任兩個頂點v1與v2間有且僅有1條鏈. 證明 ⑴ 設樹T有n個頂點與n-1條邊,在T中去掉1條邊后得到圖G,如果G仍連通,則G仍是一個樹(因無圈且連通).應有n-1條邊,矛盾. ⑵ 如添上1邊后仍無圈,則仍為樹,有n個頂點與n條邊,矛盾. ⑶ 由T連通,故v1與v2間必有鏈,若v1與v2間有不完全相同的兩條鏈,則此圖中有圈,即不是樹.矛盾,故v1與v2間有且僅有1條鏈. 情景再現 7.某個團體有1982個人,其中任意4人都至少有一人認識其他三個人,認識其他所有人的人數最少是多少?(1982年美國
28、數學競賽) 8.⑴在一所房子里有10個人,其中任意3人中至少有2人互相認識,證明:其中有4人,他們任意2人都互相認識.(1980英國數學競賽) ⑵如果把⑴中的數10改為9,結論仍成立否?(1977年波蘭數學競賽) 習題13 1.如果每個點的出次都是2,那么,一個點經過兩條弧就可以到達的點至多有幾個?經過一條弧或兩條弧可以到達的點至多有幾個? 2.在競賽圖中必有一個點,從它到其它的頂點,只需經過一條弧或兩條?。? 3.一個有n個點的競賽圖,各點的出次為w1≥w2≥…≥wn.如果w1=n-1,w2=n-2,…,wk-1=n-(k-1),但wk≠n-k(1≤k≤n).證明:wk<n-k
29、. 4.⑴ 如果在點數n≥3的競賽圖中,有兩個點的出次相等.證明,圖中必有三角形回路(即有三個選手A、B、C,其中A勝B,B勝C,C又勝A). ⑵ 在一個n人參加的循環(huán)賽中,每兩人比賽一場,如果沒有平局,參賽者贏的場數分別是w1,w2,…,wn.求證:出現三個參賽者A,B,C,滿足A勝B,B勝C,C勝A的充分必要條件是 w+w+…+w<. 5.亞洲區(qū)足球小組賽,每組有4個隊,進行循環(huán)賽,每兩個隊賽一場,勝者得3分,負者得0分,平局各得1分,賽完后,得分最高的前兩名出線.如果幾個隊得分相同,那么便抽簽決定這些隊的名次,問一個隊至少要得多少分,才能保證一定出線? 6.條件同上題,問一個隊
30、如果出了線,它至少得了多少分? 7.在88棋盤上填入1~64的所有整數,每格一數,每數只填一次, 證明:總可以找到兩個相鄰的方格(具有公共邊的兩個方格叫相鄰), 在此兩個方格中填入的數的差不小于5? 8.平面上有n條直線,把平面分成若干個區(qū)域.證明:用兩色就足以使相鄰的區(qū)域都涂上不同的顏色. 9.在某個國家,任意兩個城市之間用下列交通工具之一進行聯絡:汽車,火車和飛機.已知沒有一個城市擁有這三種交通工具,并且不存在這樣三個城市,其中任意兩個在聯絡時都用同一種交通工具.而且這個國家用了這三種工具.這個國家最多有多少個城市?(1981年保加利亞,美國數學競賽) 10.一個大三角形的三個頂點
31、分別涂紅、黑、蘭三色,在三角形內部取若干點也任意涂紅、黑、蘭三色之一,這些點間連有一 些線段,把大三角形分成若干互相沒有重疊部分的一些小三角形.求證:不論怎樣涂,都有一個小三角形,其三個頂點涂的顏色全不同. 11.證明:在2色K6中一定存在兩個同色三角形(即同色K3). 12.某個國家有21個城市,由若干個航空公司擔負著這些城市之間的空運任務.每家公司都在5個城市之間設有直達航線(無需著陸,且兩城市間允許有幾家航空公司的航線),而每兩個城市之間都至少有一條直達航線.問至少應有多少家航空公司?(1988年前蘇聯數學競賽) 本節(jié)“情景再現”解答: 1.解 如圖的5個點即不存在同色三角形
32、,故例2中把6個人改為5個人后,結論可能不再成立. 2.證明 計算每個頂點引出的邊的條數(次數),如果每個頂點的次數都≤2,則統計得到的邊數≤2n,但每條邊都被統計過2次,故應統計得到邊數=2(n+1).矛盾.故至少有一個頂點,其次數≥3. 3.解 ⑴點A:出次3,入次1;點B:出次1,入次1;點C:出次0,入次2;點D:出次1,入次1. R J ⑵ 出次的和=3+1+0+1=5;入次的和=1+1+2+1=5. 出次的和=入次的和. ⑶證明 由于每條弧起點所是出次的點,終點都是入次的點,故出次和與入次和相等,都等于弧的條數. A B C D 4.解 不一定,例如右面的一
33、個圖中,就沒有兩個點的出次相同.A、B、C、D四點的出次依次為3,2,1,0. 一般的n個點的競賽圖中,可以出現n個點的出次分別為n-1,n-2,n-3,…,2,1,0這n個值,于是不一定有兩個點的出次相同. 5.解 S中有3個元素是可以的,a→b→c→a.滿足要求. 若S至少有4個元素,取其中4點,由⑴, S中每兩點間都要連出1條有向線段,4點間連出6條有向線段.每條有向線段都記一個出次,共有6個出次.因此至少有一個點至少有2個出次.設a→b,a→c,則無論b→c或是c→b均引出矛盾.即S的元素個數≤3.故S最多有3個元素. 6.證明 ⑴ 設共有n個點,由于各點出次互不相等,故這n
34、個點的出次取得0,1,2,…,n-1這n-1個值中的每個值. 把出次為0的點排在最后,其余各點均到達此點.出次為1的點必到達此點,由于出次為1的點只到達1個點,故出次為1的點只到達出次為0的點,把出次為1的點排在倒數第二位;再考慮出次為2的點,由于此點只到達2個點,故它只到達已排的兩個點而不能到達其余的點,把出次為2的點排在倒數第3位;……,依此類推,把出次為k的點排在倒數第k+1位,直到出次為n-1的點排在第1位.這就得到滿足題目要求的排法. ⑵ 反設圖中所有各點的出次均互不相等,則由上題,可把這些點排成一列,使前面的點到達后面的點.而后面的點不能到達前面的點,于是該圖中沒有回路,與已知
35、此圖有回路矛盾.故必有兩點出次相等. 7.解 先證明:任意4人中都有1人與其余n-1人認識. 用n個點表示這n個人,若兩個人認識,則在表示這兩個人的點間連一條實線,否則連一條虛線. 設任取4人v1、v2、v3、v4,其中v1與v2、v3、v4都認識,但此四人中無人與n-1人都認識.即每個點都有與之不相鄰的點.設與v1、v2、v3、v4不相鄰的點分別為v1?、v2?、v3?、v4?,顯然v1?≠v2,v2?≠v1,若v1?≠v2?,則四點v1、v2、v1?、v2?不滿足題意.于是v1?=v2?,同理v1?=v3?,于是得v1?=v2?=v3?,此時v1、v2、v3、v1?這四點仍不滿足已知
36、條件.故證. 又證 設圖G中度數小于n-1的點為v1、v2、…、vk,記F={v1、v2、…、vk},用實線表示相鄰(認識),用虛線表示不相鄰. 若k<4,則命題正確(因為圖中找不到4個人,他們中任1人都沒有與其余n-1人認識). 若k≥4,由于vk+1、vk+2、…、vn的度數都=n-1,故與v1不相鄰的點都在F中,設為v2,此時若還能找到v3、v4∈F,且v3與v4不相鄰.則此四人不滿足題目要求(圖7⑴).若在F中除v1、v2外無不相鄰的人,則v3、…、vk均至少與v1、v2中某一人不相鄰.則如圖⑵、⑶,亦與已知矛盾.故k≥4不可能.故證. 再考慮本題:把1982個人中的任意4人組
37、成一組,該組中必有1人認識其余所有的人.去掉這個人,在余下的人中再任取4人,又成一組,又可找出一個認識其余所有人的人;…,這樣一直做下去.直到余下3人為止,此3人可能與其余的人不全認識. 故至少有1979人認識其余所有的人. 8.解 ⑴用10個點表示這10個人,如果某2人互相認識,則在表示這兩人的點間連1條線. 即任3點都至少連了1條線,要求證明存在一個K4. 設不存在K4,即任意4點中總有2點沒有連線, ① 設某一點A與4點都沒有連線,則由假設此4點中有2點未連線,則此2點與A共3點均未連線,與題設矛盾.故A至多與3點未連線,即至少與6點連了線. ② 設A與A1、A2、…,A6連
38、線,則A1,…,A6中任意3點必有2點未連線,否則存在K4, ③ 設A1與Bi、Bj、Bk都未連線,則Bi、Bj、Bk間若有兩點未連線,則出現3點,都未連線,與已知矛盾.故此三點間都連了線,于是此三點與A成為K4. ④ 由③知A1,…,A6中任一點至多與其余5點中的2點未連線.即與其余5點中至少3點連了線.設A1與A2、A3、A4連了線.此時A2、A3、A4間至少連了1條線,設A2A3連了線,則A、A1、A2、A3成為K4. 由上證可知,不存在K4的假設不成立. ⑵ 若有某點連出6條線,則如上證. 若每點連線數<6,當每點連線數都=5時.此時9個點連線統計為45,為奇數.不可能.
39、若有某點連線數<5,即該點至少與4點未連線,則如上①,矛盾.從而必有點連線數=6的點. “習題67”解答: A B C D E F G 1.解 一個點經過兩條弧就能到達的點至多有4個.經過一條弧或兩條弧就能到達的點至多有6個.如圖,每個點的出次都是2,點A經過1條弧能到達B、C,點B、C分別經過1條弧可以到達D、E、F、G,故點A經過1條或2條弧可以到達至多6個點.其中如果有些點重合,則點A可以到達的點就少于6個. 2.證明 取出次最多的點為A,則A的出次≥(n-1).他可以經一條線到達的點為B1,B2,…,Bm,m≥(n-1).對于A不能到達的點C,若B1,B2,…,
40、Bm中沒有點到達C,則不能到達C的點至少有m+1個,即C的出次比A多,與A為出次最多的點矛盾.故所有A不能到達的點,都可經2條線到達.故證. 3.證明 k=1時,若w1≠n-1,則w1<n-1. 設w1=n-1,即w1到達所有其余的點.把出次為w1的點去掉,這對余下的點的出次都不受影響.此時就得到一個只有n-1個點的競賽圖.若w2≠n-2,則w2<n-2. 設w1=n-1,w2=n-2,同上兩次去掉出次為w1,w2的點,則得到一個有n-2個點的競賽圖.其中每個點的出次≤n-3.于是若w3≠n-3,就有w3<n-3. 依此類推,若各點的出次為w1≥w2≥…≥wn.如果w1=n-1,w2=
41、n-2,…,wk-1=n-(k-1),但wk≠n-k(1≤k≤n),則依次去掉k-1個點,而不影響余下點的出次,此時余下點的出次≤n-(k-1)-1=n-k.若wk≠n-k,則必有wk<n-k.證畢. 4.⑴證明 設A與B出次相等,由于A、B必連有線,不妨設A勝B,于是A、B的出次不為0.取所有負于B的點集M,設此集中有k個點,其中k必大于0.于是負于A的點集中也有k個點,若M中沒有點勝A,則M中的點均負于A,于是A勝M中所有點且勝B,即A的出次至少比B多1,與A、B出次相等矛盾.故M中必有點C,C勝A,于是A勝B,B勝C,C勝A.證畢. ⑵證明:不論何種比賽結果,所有參賽者出次的和都等
42、于1+2+…+(n-1)=n(n-1). 若每個參賽者的出次都互不相同,則出次分別為0,1,2,…,n-1.此時不存在滿足“A勝B,B勝C,C又勝A”的三個參賽者. 此時w+w+…+w=02+12+…+(n-1)2=. 當有兩個參賽者的出次相同時,就存在三角形回路.設出次為wk的點為Ak. 設w1≥w2≥…≥w1.且設w1=n-1,…,wk-1=n-(k-1),但wk≠n-k,則wk<n-k,逐個把A1,A2,…,Ak-1去掉,這樣做不會影響剩下點的出次.這樣去掉點后,余下點中必有引向Ak的線,設從Aj(j>k)有引向Ak的線,把這條線的方向改變,則Ak的出次變?yōu)閣k+1,而Aj的出次
43、變?yōu)閣j-1.此時(wk+1)2+(wj-1)2=w+w+2(wk-wj)+2>w+w,即這樣操作可使和w+w+…+w增加,繼續(xù)這樣做,直到使wk=n-k,這時去掉wk,再做下去,直到每個wi都等于n-(i-1)(i=1,2,…,n)為止.此時和式w+w+…+w已嚴格遞增至.這說明w+w+…+w<成立. 5.解 共計比賽6場,最多共可得18分.若有三個隊都是二勝一負得6分(如圖中A、B、C隊),則不能保證一定出線(因要抽簽才能決定是否出線). 若一個隊得7分,則保證一定出線,因不可能有三個隊至少得7分,否則73=21>18.故得分不少于7分的至多有2個隊.故得到7分一定能出線. A
44、B C D 6.解 若三個隊都互相打成平局,都輸給另一隊(圖中B、C、D三隊),則此三個隊都得2分,其中有一個隊出線. 若某隊只得1分,則該隊1平2負,贏該隊的兩個隊都至少得了3分,于是名次都在該隊之前,該隊不可能出線. 即某個隊出線了,則該隊至少得了2分. 7.解 把相鄰的兩格中心用一條邊相連,于是就有一個8行,每行8個點的圖,從88棋盤的左上角一格到右下角一格需要經過14條邊,如果所有相鄰方格中填入數的差小于5,則由于連填“1”的格與填“64”的格之間的路至多經過14條邊.于是這兩格中數的差不會超過144=56.但64-1=63.矛盾.故結論成立. 8.證明 當n=1時,1條
45、直線把平面分成兩部分,用兩色可以區(qū)分這兩部分,如果增加1條直線,可以把這條直線某一旁的區(qū)域中原來涂的顏色變成另一種顏色.則所有相鄰的區(qū)域涂色都不同.以后每多畫出1條線都把線一旁的部分的每個區(qū)域中顏色重涂成與原來不同的顏色,就可使相鄰區(qū)域涂色不同. 9.解 設共有n個城市,每兩個城市之間連一條線,每條線染三種顏色之一.例如:汽車用紅色,火車用藍色,飛機用黃色.已知沒有任何一點引出3種顏色的線.且不存在同色三角形. 首先證明:任一點不能連出3條同色線,否則,設AB、AC、AD連紅線,則B、C、D間都不能連紅線.設BC連藍線,由于B只能連出兩種顏色,故BD只能是藍色線,此時,C、D都連了紅藍兩色
46、線,它們之間無論連紅線還是藍線均出現同色三角形. 于是每點引出的同色線不超過2條,線的顏色不超過2種,即不能超過4條線.即城市數≤5. 若城市數=5.由于每點都引出某色線2條,另一色線2條,設AB、AC紅色,AD、AE藍色,由于B應引出2條紅色,現BA紅,故還要引出1條紅線,BC不能紅色(出現同色三角形),故BE紅.由于EA、EB一紅一藍,故E應引出2紅2藍,由于ED不能藍,故ED紅.EC藍,此時C、D都用了2色,從而它們也只能用紅藍兩色,于是B也只能用紅藍兩色,與要用3色矛盾. 若城市數=4.可以構成滿足條件的圖. 10.解法1 按頂點顏色分類,三角形共有10類:三紅,兩紅一藍,兩紅
47、一黑,一紅兩藍,一紅兩黑,紅藍黑,三藍,兩藍一黑,一藍兩黑,三黑.按線段兩端顏色分類,線段共有6類:紅紅,紅藍,紅黑,藍藍,藍黑,黑黑. 現在統計兩端分別為紅、藍的邊,在兩紅一藍或兩藍一紅這兩類三角形中,每個三角形都有2條紅藍邊,每個紅藍黑三角形都有1條紅藍邊,設前兩類三角形共有p 個,后一類三角形共有q個.則兩端紅藍的邊共有2p+q條. 而每條兩端紅藍的邊,在大三角形內的紅藍邊設有k條,每條都被計算了2次,大三角形的紅藍邊有1條,計算了1次.故 2p+q=2k+1,于是q≠0,即紅藍黑三角形至少有1個. 解法2 在每個劃出的小三角形內取一個點,在三角形形外也取一個點.如果兩個三角形有
48、一條紅藍的公共邊,則在相應點間連一條線.于是得到了圖G,此時,兩紅一藍或兩藍一紅的三角形都是圖G的偶頂點,而紅藍黑三角形則對應著圖G的奇頂點,大三角形外的那個頂點也是奇頂點,由奇頂點的成對性,知圖G中至少還有一個奇頂點,于是,至少還有一個紅藍黑三角形. 11.證明:每個異色K3的三個角中必有兩個角的兩邊異色,即每個異色三角形對應2個異色角.反之每個異色角都在一個異色三角形內.設第i個頂點引出了xi(0≤xi≤5,i=1,2,3,4,5,6)條紅邊,5-xi條藍邊.則該頂點為頂點的異色角共有xi(5-xi)個.當xi=2或3時xi(5-xi)=6取得最大值.故異色三角形數≤662=18個.
49、但K6中共可連出C=20個三角形,即至少有20-18=2個同色三角形. 存在只有2個同色三角形的二染色K6,把6點分成兩組,每組3點,同組連紅線,不同組連藍線.由于任取三點,必有兩點同組,于是必有紅線,但如有不同組的點,則必有藍線. 12.解 共有C=210條航線,而每個航空公司有C=10條航線,故至少要21家航空公司. 畫一個21邊形,用頂點表示城市,依次編為1~21號.取一個五邊形它可以由連1,3,8,9,12這五個點而成.其邊及對角線分別對著分圓為1,2,3,4,5,6,7,8,9,11等分的?。@個五邊形的邊長互不重復,且含有了該正21邊形的邊及對角線的所有長度.讓這個五邊形每次旋轉1等分,旋轉k次所在的五個點即為第k家公司所在的城市.每個長度的對角線總會在某次旋轉中出現.于是相應城市間的航線存在. - 12 -
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