高考數(shù)學一輪復習 第八章 立體幾何 8.5 直線、平面垂直的判定與性質課件 理

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1、考點一直線與平面垂直的判定與性質考點一直線與平面垂直的判定與性質1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果直線l和平面內的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面垂直,記作l.(2)直線與平面垂直的判定方法a.判定定理:一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線就垂直于這個平面.b.結論:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.用符號可表示為:b.a ba知識清單(3)直線與平面垂直的性質a.由直線和平面垂直的定義知:直線垂直于平面內的任意直線.b.性質定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行.用符號可表示為:ab.c.如果兩條平行線中的一條垂直于一個

2、平面,那么另一條也垂直于這個平面.用符號表示為:b.2.直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,該直線與平面所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內,則此直線與平面所成的角是0的角.aba ba考點二平面與平面垂直的判定與性質考點二平面與平面垂直的判定與性質1.二面角的平面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.如果記棱為l,那么兩個面分別為、的二面角記作-l-.在二面角的棱上任取一點,以該點為垂足,在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線,則兩射線所構成的角

3、叫做二面角的平面角.2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.(2)平面與平面垂直的判定定理一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面互相垂直.簡述為“線面垂直,則面面垂直”,記為:.(3)平面與平面垂直的性質兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.用符號可表示為:m.lllmml1.利用定義:要證明直線a平面,轉化為證明直線a垂直于平面內的任何一條直線c.2.利用判定定理:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直,那么這條直線就和這個平面垂直,即:l,簡言之,“線線垂直線面垂直”.3.可作定

4、理用的正確命題:如果兩條平行線中的一條直線垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.,m nlm lnmnP 直線與平面垂直的判定方法直線與平面垂直的判定方法方法1方法技巧4.兩個平面垂直的性質定理:如果兩個平面垂直,那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.5.面面平行的性質:如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,則這條直線也垂直于另一個平面,即a.例1(2017河北百校聯(lián)盟2月模擬,19,12分)如圖1,以BD為直徑的圓O經(jīng)過A,C兩點,延長DA,CB交于P點,將PAB沿線段AB折起,使P點在底面ABCD的射影恰為AD的中點Q,如圖2,AB=BC=1,BD=2,線段PA

5、、PB、PC的中點分別為G、E、F.(1)求證:PQ平面GEF;(2)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.a解題導引解析(1)在PAB中,因為G,E分別是PA,PB的中點,所以GEAB.因為AB平面ABCD,GE 平面ABCD,所以GE平面ABCD.同理,EF平面ABCD,又GEEF=E,所以平面GEF平面ABCD.由題意得PQ平面ABCD,所以PQ平面GEF.(4分)(2)因為PQ平面ABCD,AD平面ABCD,所以PQAD,又Q為AD的中點,APD為等腰三角形.AB=BC=1,BD=2,AD=CD=,ADC=,在題圖1的RtPCD中,APB=,336在RtPBA中,PA=,又AQ

6、=QD=,在RtAPQ中,PQ=.連接AC、CQ,易知PQQC,ADC為等邊三角形,CQAD.(6分)如圖,以Q為原點,以QC所在直線為x軸,QD所在直線為y軸,QP所在直線為z軸建立空間直角坐標系Q-xyz,33232則Q(0,0,0),D,C,P,B,A.設平面PAB的法向量為n1=(x1,y1,z1),則令z1=1,則n1=(0,-,1).(9分)設平面PCD的法向量為n2=(x2,y2,z2),則令x2=1,則n2=(1,1).(11分)30,023,0,0230,0,231,0230,0211111111111AB(x ,y ,z ) (1,0,0)x0,3333PA(x ,y ,z

7、 )0,yz0,2222nn 32222222222223333PC(x ,y ,z ),0,xz0,22223333DC(x ,y ,z ),0 xy0,2222nn3于是,|cos|=.故平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為.(12分)1212| |n nnn55551.證明兩個平面垂直,主要的途徑是:利用面面垂直的定義,即兩平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面垂直;利用面面垂直的判定定理,即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面垂直.2.利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法:先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線在圖中存在,則可通過

8、線面垂直來證明面面垂直;若這樣的直線在圖中不存在,則可通過作輔助線來解決,而作輔助線應有理論根據(jù)并有利于證明,不能隨意添加.3.證明兩個平面垂直,通常是通過證明線線垂直線面垂直面面垂直來實現(xiàn)的,因此,在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化.平面與平面垂直的證明方法平面與平面垂直的證明方法方法2例2(2017課標全國,19,12分)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.解題

9、導引解析本題考查面面垂直的證明,二面角的求法.(1)由題設可得,ABD CBD,從而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中點O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB為二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直.以O為坐標原點,的方向為x軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.則A(1,0,OAOA0),B(0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由題設知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即E為DB的中點,得E.312123 10,22所以二面角D-AE-C的余弦值為.77故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=.設n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,則即可取n=.設m是平面AEC的法向量,則同理可取m=(0,-1,).則cos=.易知二面角D-AE-C為銳二面角,ADACAE3 11,22AD0,AE0,nn0,310.22xzxyz 31,13AC0,AE0.mm3|n mn m77