初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第29講 由正難則反切入

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1、 第二十九講 由正難則反切入 人們習(xí)慣的思維方式是正向思維，即從條件手，進行正面的推導(dǎo)和論證，使問題得到解決．但有些數(shù)學(xué)問題，若直接從正面求解，則思維較易受阻，而“正難則反，順難則逆，直難則曲”是突破思維障礙的重要策略． 數(shù)學(xué)中存在著大量的正難則反的切入點．?dāng)?shù)學(xué)中的定義、公式、法則和等價關(guān)系都是雙向的，具有可逆性；對數(shù)學(xué)方法而言，特殊與一般、具體與抽象、分析與綜合、歸納與演繹，其思考方向也是可逆的；作為解題策略，當(dāng)正向思考困難時可逆向思考，直接證明受阻時可間接證明，探索可能性失敗時轉(zhuǎn)向考察不可能性．由正難則反切入的具體途徑有： 1． 定義、公式、法則的逆用； 2．

2、常量與變量的換位； 3．反客為主； 4．反證法等． 【例題求解】 【例1】 已知滿足，那么的值為 ． 思路點撥 視為整體，避免解高次方程求的值． 【例2】 已知實數(shù)、、滿足，且求的值． 思路點撥 顯然求、、的值或?qū)で?、、的關(guān)系是困難的，令，則2002=，原等式就可變形為關(guān)于的一元二次方程，運用根與系數(shù)關(guān)系求解．

3、 注：（1）人們總習(xí)慣于用凝固的眼光看待常量與變量，認(rèn)為它們涇渭分明，更換不得，實際上將常量設(shè)為變量，或?qū)⒆兞繒簳r看作常量，都會給人以有益的啟示． （2）人的思維活動既有“求同”和“定勢”的方面，又有“求異”和“變通”的方面．求同與求異，定勢與變通是人的思維個性的兩極，充分利用知識和方法的雙向性，是培養(yǎng)思維能力的重要途徑． 正難則反在具體的解題中，還表現(xiàn)為下列各種形式： (1)不通分母通分子； (2)不求局部求整體； (3)不先開方先平方； (4)不用直接挖隱含； 1 / 7 (5)不算相等算不等； (6)不求動態(tài)求靜態(tài)等．

4、【例3】 設(shè)、、為非零實數(shù)，且，，，試問：、、滿足什么條件時，三個二次方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根． 思路點撥 如從正面考慮，條件“三個方程中至少有一個方程有不等的實數(shù)根”所涉及的情況比較復(fù)雜，但從其反面考慮情況卻十分簡單，只有一種可能，即三個方程都沒有實數(shù)根，然后從全體實數(shù)中排除三個方程都無實數(shù)根的、、的取值即可． 注：受思維定勢的消極影響，人們在解決有幾個變量的問題時，總抓住主元不放，使有些問題的解決較為復(fù)雜，此時若變換主元，反客為主，問題常常能獲得簡解． 【例4】 已知一平面內(nèi)的任意四點，其中任何三點都不在一條直線上，試問：是否一定能從這樣的四點中選出

5、三點構(gòu)成一個三角形，使得這個三角形至少有一內(nèi)角不大于45?請證明你的結(jié)論． 思路點撥 結(jié)論是以疑問形式出現(xiàn)的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，則說明結(jié)論是否定的；若推不出矛盾，則可考慮去證明結(jié)論是肯定的． 【例5】 能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎?若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由． 思路點撥 先假設(shè)存在正

6、整數(shù)，，，滿足 (，=1，2，3，4，m為正整數(shù))．運用完全平方數(shù)性質(zhì)、奇偶性分析、分類討論綜合推理，若推出矛盾，則原假設(shè)不成立． 注：反證法是從待證命題的結(jié)論的反面出發(fā)，進行推理，通過導(dǎo)出矛盾來判斷待證命題成立的方法，其證明的基本步驟是：否定待證命題的結(jié)論、推理導(dǎo)出矛盾、肯定原命題的結(jié)論． 宜用反證法的三題特征是： (1)結(jié)論涉及無限； (2)結(jié)論涉及唯一性； (3)結(jié)論為否定形式； (4)結(jié)論涉及“至多，至少”； (5)結(jié)論以疑問形式出現(xiàn)等． 學(xué)力訓(xùn)練 1．由小到大排列各分?jǐn)?shù)：，，，，，是

7、 ． 2．分解因式= ． 3．解關(guān)于的方程：(≥)得= ． 4．的結(jié)果是 ． 5．若關(guān)于的三個方程，， ，中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是 ． 6．有甲、乙兩堆小球，如果第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二次從乙堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆，如此挪動4次后，甲、乙兩堆小球恰好都是16個，那么，甲、乙兩堆最初各有多少個小球? 7．求這樣的正

8、整數(shù)，使得方程至少有一個整數(shù)解． 8．某班參加運動會的19名運動員的運動服號碼恰是1～19號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一定有順次相鄰的3名運動員，他們運動服號碼之和不小于32，請說明理由． 9．如正整數(shù)和之和是，則可變?yōu)?，問能不能用這種方法數(shù)次，將22變成2001？ 10．證明：如果整系數(shù)二次方程a ()有有理根，那么，，中至少有一個是偶數(shù)． 11．在

9、ΔABC中是否存在一點P，使得過P點的任意一直線都將該ΔABC分成等面積的兩部分?為什么? 12．求證：形如4n+3的整數(shù)是(n為整數(shù))不能化為兩個整數(shù)的平方和． 13．13位小運動員，他們著裝的運動服號碼分別是1～13號．問：這13名運動員能否站成一個圓圈，使得任意相鄰的兩名運動員號碼數(shù)之差的絕對值都不小于3，且不大于5？如果能，試舉一例；如果不能，請說明理由． 14．有12位同學(xué)圍成一圈，其中有些同學(xué)手中持有鮮花，鮮花總數(shù)為13束，他們進行分花游戲，每次分花按如下規(guī)則進行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學(xué)拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學(xué)，每人一束．試證：在持續(xù)進行這種分花游戲的過程中，一定會出現(xiàn)至少有7位同學(xué)手中持有鮮花的情況． 參考答案 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！