【世紀(jì)金榜】高三文科數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題突破：數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、熱點(diǎn)專題突破系列(三)數(shù)列的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一考點(diǎn)一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【考情分析【考情分析】等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問題是高考考查的重點(diǎn)等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問題是高考考查的重點(diǎn)(1)(1)綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、前綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、前n n項和公式、項和公式、等差等差( (比比) )中項、等差中項、等差( (比比) )數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì). .(2)(2)重點(diǎn)考查基本量重點(diǎn)考查基本量( (即即“知三求二知三求二”, ,解方程解方程( (組組)的計算以及靈活運(yùn)的計算以及靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題用等差、等

2、比數(shù)列的性質(zhì)解決問題. .【典例【典例1 1】(2014(2014湖北高考湖北高考) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 滿足滿足:a:a1 1=2,=2,且且a a1 1,a,a2 2,a,a5 5成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)記記S Sn n為數(shù)列為數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和, ,是否存在正整數(shù)是否存在正整數(shù)n,n,使得使得S Sn n60n+800?60n+800?若若存在存在, ,求求n n的最小值的最小值; ;若不存在若不存在, ,說明理由說明理由. .【解題提示【解題提示】(1)(1)設(shè)設(shè)aan n

3、 的公差為的公差為d,d,由由2,2+d,2+4d2,2+d,2+4d成等比數(shù)列可求得成等比數(shù)列可求得公差公差d,d,從而根據(jù)通項公式表示出數(shù)列從而根據(jù)通項公式表示出數(shù)列aan n 的通項的通項. .(2)(2)根據(jù)數(shù)列根據(jù)數(shù)列aan n 的通項公式表示出數(shù)列的通項公式表示出數(shù)列aan n 的前的前n n項和公式項和公式S Sn n, ,令令S Sn n60n+800,60n+800,解此不等式解此不等式. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,依題意依題意,2,2+d,2+4d,2,2+d,2+4d成等比成等比數(shù)列數(shù)列, ,故有故有(2+d)(2

4、+d)2 2=2(2+4d),=2(2+4d),化簡得化簡得d d2 2-4d=0,-4d=0,解得解得d=0d=0或或d=4.d=4.當(dāng)當(dāng)d=0d=0時時,a,an n=2;=2;當(dāng)當(dāng)d=4d=4時時,a,an n=2+(n-1)=2+(n-1)4=4n-2,4=4n-2,從而得數(shù)列從而得數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為a an n=2=2或或a an n=4n-2.=4n-2.(2)(2)當(dāng)當(dāng)a an n=2=2時時,S,Sn n=2n.=2n.顯然顯然2n60n+800,2n60n+80060n+800成立成立. .當(dāng)當(dāng)a an n=4n-2=4n-2時時, , 令令2n2n2

5、260n+800,60n+800,即即n n2 2-30n-4000,-30n-4000,解得解得n40n40或或n-10(n60n+80060n+800成立成立,n,n的最小值為的最小值為41.41.綜上綜上, ,當(dāng)當(dāng)a an n=2=2時時, ,不存在滿足題意的不存在滿足題意的n.n.當(dāng)當(dāng)a an n=4n-2=4n-2時時, ,存在滿足題意的正整數(shù)存在滿足題意的正整數(shù)n,n,其最小值為其最小值為41.41.2nn24n2S2n .2【規(guī)律方法【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)(1)分析已知條件和求解目標(biāo)分析已知條件和求解目標(biāo), ,確

6、定為最終解決問題需要首先求解的中確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題間問題, ,如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差差( (公比公比) )等等, ,確定解題的順序確定解題的順序. .(2)(2)注意細(xì)節(jié)注意細(xì)節(jié). .在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中, ,如果等比數(shù)列的公如果等比數(shù)列的公比不能確定比不能確定, ,則要看其是否有等于則要看其是否有等于1 1的可能的可能, ,在數(shù)列的通項問題中第一在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等項和后面的項能否用同一個公式表示等, ,這些細(xì)節(jié)

7、對解題的影響也是這些細(xì)節(jié)對解題的影響也是巨大的巨大的. .提醒提醒: :在不能使用同一公式進(jìn)行計算的情況下要注意分類討論在不能使用同一公式進(jìn)行計算的情況下要注意分類討論, ,分類解分類解決問題后還要注意結(jié)論的整合決問題后還要注意結(jié)論的整合. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015石家莊模擬石家莊模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為前為前n n項和項和S Sn n=1-ka=1-kan n(k0,nN(k0,nN* *).).(1)(1)用用n,kn,k表示表示a an n. .(2)(2)若數(shù)列若數(shù)列bbn n 對任意正整數(shù)對任意正整數(shù)n,n,均有均有(b(bn+1n+1-b-bn+

8、2n+2)lna)lna1 1+(b+(bn+2n+2-b-bn n)lna)lna3 3+ +(b(bn n-b-bn+1n+1)lna)lna5 5=0.=0.求證求證: :數(shù)列數(shù)列bbn n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .(3)(3)在在(1),(2)(1),(2)中中, ,設(shè)設(shè)k=1,bk=1,bn n=n+1,x=n+1,xn n=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn n, ,試求數(shù)列試求數(shù)列xxn n 的的通項公式通項公式. .【解析【解析】(1)(1)由已知得由已知得a a1 1=S=S1 1=1-ka=1-ka1 1, ,所以所以a a1 1

9、= .= .又當(dāng)又當(dāng)n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=ka=kan-1n-1-ka-kan n, ,所以所以 所以所以aan n 是以是以 為首項為首項, , 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,所以所以 1k1nn 1ak,ak11k1kk1n 1n 1nn1kka()(k0,nN*).k1 k1k1(2)(2)由由(1)(1)令等比數(shù)列令等比數(shù)列aan n 的公比為的公比為q,q,則則q1,aq1,a3 3=a=a1 1q q2 2,a,a5 5=a=a1 1q q4 4代入等式化簡代入等式化簡, ,所以所以(b(bn+2n+2+b+bn n-2b-2bn+1

10、n+1)lnq=0,)lnq=0,因為因為q1,q1,所以所以2b2bn+1n+1=b=bn+2n+2+b+bn n, ,所以數(shù)列所以數(shù)列bbn n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .(3)(3)因為因為k=1,k=1,所以所以所以所以 所以所以所以所以x xn n= = 得得 - -得得所以所以111a,q,22nn1a,2nnn1a bn1 ,223n234n1222212n234nn 11234nn1x222222n23nn 11111n1x122222 nnn3x3.2【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】(2015(2015南昌模擬南昌模擬) )已知已知aan n 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,

11、 ,首項首項a a1 1=3,=3,前前n n項和為項和為S Sn n, ,數(shù)列數(shù)列bbn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,首項首項b b1 1=1,=1,且且a a2 2b b2 2=12,=12,S S3 3+b+b2 2=20.=20.(1)(1)求求aan n 和和bbn n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)令令c cn n=S=Sn ncos(acos(an n)(nN)(nN* *),),求求ccn n 的前的前n n項和項和T Tn n. .【解析【解析】(1)(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,數(shù)列數(shù)列bbn n 的公比為的公比為q,q,則則a a2 2b

12、 b2 2=(3+d)q=12,=(3+d)q=12,S S3 3+b+b2 2=3a=3a2 2+b+b2 2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,則則(3+d)(11-(3+d)(11-3d)=33+2d-3d3d)=33+2d-3d2 2=12,=12,即即3d3d2 2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因為因為aan n 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列, ,所以所以d0,d0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2

13、,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1)(1)知知當(dāng)當(dāng)n n是偶數(shù)時是偶數(shù)時, ,T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+ +c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4- -S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a+a6 6+ +a+an n=6+12+18+=6+12+18+3n=+3n=2nnn2n33Snn,n22cS cos 3n33Snn,n.22 是偶數(shù)，是奇數(shù)3n n2.4當(dāng)當(dāng)n n是奇數(shù)時，是奇數(shù)時，T Tn n=T=Tn-1

14、n-1-S-Sn n= =23 n1 n133nn4222n23n1 .43n n2,n4T3n1n.4 是偶數(shù)，綜上可得， 是奇數(shù)考點(diǎn)二考點(diǎn)二 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【考情分析【考情分析】數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系, ,決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性自然性, ,是高考命題的易考點(diǎn)是高考命題的易考點(diǎn), ,主要考查方式有主要考查方式有: :(1)(1)以函數(shù)為載體以函數(shù)為載體, ,考查函數(shù)解析式的求法考查函數(shù)解析式的求法, ,或者利用函數(shù)解析式給出或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前n n項和的計算方法項和

15、的計算方法(2)(2)根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題, ,考查利用函數(shù)的單調(diào)性考查利用函數(shù)的單調(diào)性來確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問題來確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問題【典例【典例2 2】(2015(2015哈爾濱模擬哈爾濱模擬) )已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象經(jīng)過坐標(biāo)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn), ,其導(dǎo)函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)為f(xf(x)=6x-2,)=6x-2,數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,點(diǎn)點(diǎn)(n,S(n,Sn n) )(nN(nN* *) )均在函數(shù)均在函數(shù)y=f(xy=f(

16、x) )的圖象上的圖象上. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)設(shè)設(shè) T Tn n是數(shù)列是數(shù)列bbn n 的前的前n n項和項和, ,求使得求使得T Tn n 1.1.(1)(1)設(shè)設(shè)b bn n=log=log2 2(a(an n-1),-1),求證求證: :數(shù)列數(shù)列bbn n+1+1為等比數(shù)列為等比數(shù)列. .(2)(2)設(shè)設(shè)c cn n=nb=nbn n, ,求數(shù)列求數(shù)列ccn n 的前的前n n項和項和S Sn n. .【解析【解析】(1)(1)因為函數(shù)因為函數(shù)f(xf(x)=x)=x2 2+bx+bx為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,所以所以b=0,b=0,

17、所以所以f(x)=xf(x)=x2 2, ,所以所以a an+1n+1=2f(a=2f(an n-1)+1=2(a-1)+1=2(an n-1)-1)2 2+1,+1,所以所以a an+1n+1-1=2(a-1=2(an n-1)-1)2 2. .又又a a1 1=3,a=3,an n1,b1,bn n=log=log2 2(a(an n-1),-1),所以所以b b1 1=log=log2 2(a(a1 1-1)=1,-1)=1,所以所以所以數(shù)列所以數(shù)列bbn n+1+1是首項為是首項為2,2,公比為公比為2 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列. .22n 12n2nn 1n2n2n2nloga11lo

18、g 2 a1122loga1b12.b1loga11loga11loga11(2)(2)由由(1)(1)得得,b,bn n+1=2+1=2n n, ,所以所以b bn n=2=2n n-1,-1,所以所以c cn n=nb=nbn n=n=n2 2n n-n.-n.設(shè)設(shè)A An n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n, ,則則2A2An n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +n+n2 2n+1n+1, ,所以所以-A-An n=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+2n n-n-n2 2n+1n+1= -n= -n2

19、2n+1n+1=2=2n+1n+1-n-n2 2n+1n+1-2,-2,所以所以A An n=(n-1)2=(n-1)2n+1n+1+2.+2.設(shè)設(shè)B Bn n=1+2+3+4+=1+2+3+4+n,+n,則則B Bn n= = 所以所以S Sn n=A=An n-B-Bn n=(n-1)2=(n-1)2n+1n+1+2- +2- n2 1212n n1.2n n1.2【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(xf(x) )的定義域為的定義域為R,R,當(dāng)當(dāng)x0 x1,)1,且對任意的實(shí)且對任意的實(shí)數(shù)數(shù)x,yRx,yR, ,有有f(x+y)=f(x)f(yf(x+y)=f(x)f(y).).(1)(

20、1)求求f(0),f(0),判斷并證明函數(shù)判斷并證明函數(shù)f(xf(x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. .(2)(2)數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=f(0),=f(0),且且f(af(an+1n+1)= (nN)= (nN* *),),數(shù)列數(shù)列bbn n 滿足滿足b bn n=a=an n-8.-8.求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式; ;求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項和項和T Tn n的最小值及相應(yīng)的的最小值及相應(yīng)的n n的值的值. .n1f2a 【解析【解析】(1)x,y(1)x,yR,R,f(x+y)=f(x)f(x+y)=f(x)f(y),xf(y),x01,)1

21、,令令x=-1,y=0,x=-1,y=0,則則f(-1)=f(-1)f(0),f(-1)=f(-1)f(0),因為因為f(-1)1,f(-1)1,所以所以f(0)=1.f(0)=1.若若x0,x0,則則f(x-x)=f(0)=f(x)f(-xf(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),),故故f(xf(x)= (0,1),)= (0,1),故故xR,f(xxR,f(x)0,)0,任取任取x x1 1x0,0,所以所以0f(x0f(x2 2-x-x1 1)1,)1,所以所以f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),故故f(xf(x) )在在R R上是減函數(shù)上是減函數(shù). .1fx(2)(2)

22、a a1 1=f(0)=1,f(a=f(0)=1,f(an+1n+1)= =f(2+a)= =f(2+an n),),由由f(xf(x) )單調(diào)性單調(diào)性a an+1n+1=a=an n+2.+2.故故aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,所以所以a an n=2n-1.=2n-1.b bn n=2n-9,T=2n-9,Tn n=n=n2 2-8n,-8n,當(dāng)當(dāng)n=4n=4時時,(T,(Tn n) )minmin=-16.=-16.n1f2a 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式的綜合問題【考情分析【考情分析】數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點(diǎn)數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱

23、點(diǎn). .考查方式考查方式主要有三種主要有三種: :(1)(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系, ,如比較數(shù)列中的項的大小關(guān)系等如比較數(shù)列中的項的大小關(guān)系等. .(2)(2)以數(shù)列為載體以數(shù)列為載體, ,考查不等式的恒成立問題考查不等式的恒成立問題, ,求不等式中的參數(shù)的取求不等式中的參數(shù)的取值范圍等值范圍等. .(3)(3)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題. .【典例【典例3 3】(2014(2014上海高考上海高考) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足 a an naan+1n+13a3an n, ,nNnN* *,a,a

24、1 1=1.=1.(1)(1)若若a a2 2=2,a=2,a3 3=x,a=x,a4 4=9,=9,求求x x的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)若若aan n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,且且a am m= ,= ,求正整數(shù)求正整數(shù)m m的最小值的最小值, ,以及以及m m取最小取最小值時相應(yīng)值時相應(yīng)aan n 的公比的公比. .(3)(3)若若a a1 1,a,a2 2, ,a,a100100成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列a a1 1,a,a2 2, ,a,a100100的公差的取值范的公差的取值范圍圍. .1311000【解題提示【解題提示】(1)(1)根據(jù)根據(jù) a a2 2a

25、a3 33a3a2 2, a, a3 3aa4 43a3a3 3可求得可求得x x的范圍的范圍. .(2)(2)根據(jù)根據(jù) a a1 1aa2 23a3a1 1可把可把q q的范圍求出的范圍求出, ,再根據(jù)通項將再根據(jù)通項將m m用用q q表示出來表示出來, ,用放縮法求解用放縮法求解. .(3)(3)根據(jù)根據(jù) a an naan+1n+13a3an n, ,可得公差的關(guān)系式可得公差的關(guān)系式, ,對對n n分類討論可得分類討論可得. .13131313【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)依題意依題意, a, a2 2aa3 33a3a2 2, ,所以所以 x6;x6;又又 a a3 3aa4 43

26、a3a3 3, ,所以所以3x27;3x27;綜上可得綜上可得:3x6.:3x6.132313(2)(2)設(shè)公比為設(shè)公比為q,q,由已知得由已知得,a,an n=q=qn-1n-1, ,又又 a a1 1aa2 23a3a1 1, ,所以所以 q3,q3,又又a am m=q=qm-1m-1= ,= ,所以所以 q1,q0,0,所以所以S Sn n-3,-3,只有只有S Sn n=n=n2 2+n.+n.當(dāng)當(dāng)n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2+n-(n-1)+n-(n-1)2 2-(n-1)=2n,-(n-1)=2n,而而a a1 1=2,=2,符合符合

27、a an n=2n,=2n,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為a an n=2n(nN=2n(nN* *).).21S21a2nSnn1111(3)1aa12n 2n14n(n)2111111111114(n)(n1) (n)(n1)nn1444444因為，1122nn1122nn111aa1aa1a (a1)1111111()()()11111141223nn1444444111111().11434n331n1441111n.aa1aa1aa13所以故對一切正整數(shù) ，有【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.(20151.(2015貴陽模擬貴陽模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前

28、的前n n項和為項和為S Sn n, ,滿足滿足S Sn n= a= an n-n(nN-n(nN* *).).(1)(1)求證求證: :數(shù)列數(shù)列aan n+1+1是等比數(shù)列是等比數(shù)列. .(2)(2)令令b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+1)+log+log3 3(a(an n+1),+1),對任意對任意nNnN* *, ,是否是否存在正整數(shù)存在正整數(shù)m,m,使使 恒成立恒成立? ?若存在若存在, ,求出求出m m的值的值; ;若不若不存在存在, ,請說明理由請說明理由. .3212n111mbbb4【解析【解析】(1)(

29、1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時時,S,S1 1=a=a1 1= a= a1 1-1,-1,解得解得a a1 1=2,=2,當(dāng)當(dāng)n2n2時時, ,由由S Sn n= a= an n-n-n得得S Sn-1n-1= a= an-1n-1-n+1.-n+1.兩式相減得兩式相減得,S,Sn n-S-Sn-1n-1= a= an n- a- an-1n-1-1,-1,即即a an n=3a=3an-1n-1+2(n2),+2(n2),則則a an n+1=3(a+1=3(an-1n-1+1).+1).又又a a1 1+1=2+1=3,+1=2+1=3,故數(shù)列故數(shù)列aan n+1+1是首項為是首項為3,3,公比為

30、公比為3 3的等比數(shù)列的等比數(shù)列. .3232323232(2)(2)由由(1)(1)知知a an n+1=3+1=33 3n-1n-1=3=3n n. .所以所以b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+1)+log+log3 3(a(an n+1)=1+2+1)=1+2+n=+n=n n1,2n12n12112(),bn n1nn1111bbb1111112(1)()()2(1)223nn1n1所以則由由 對任意對任意nNnN* *恒成立，得恒成立，得2(1- ) 2(1- ) ，即，即m m 對任意對任意nNnN* *恒成立恒

31、成立, ,因為因為 ，所以，所以m4.m4.又因為又因為mNmN* *，所以，所以m=1,2,3,4.m=1,2,3,4.12n111mbbb41n1m418(1)n111111n122 2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,其前其前n n項和為項和為S Sn n, ,已知已知a a1 1+a+a4 4=- ,=- ,且對且對于任意的于任意的nNnN+ +, ,有有S Sn n,S,Sn+2n+2,S,Sn+1n+1成等差數(shù)列成等差數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)已知已知b bn n=n(nN=n(nN+ +),),記

32、記T Tn n= = 若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)對于對于n2n2恒成立恒成立, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m m的最小值的最小值. .716312n123nbbbb| |aaaa，【解析【解析】(1)(1)設(shè)公比為設(shè)公比為q,q,因為因為S S1 1,S,S3 3,S,S2 2成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,所以所以2S2S3 3=S=S1 1+S+S2 2, ,所以所以2a2a1 1(1+q+q(1+q+q2 2)=a)=a1 1(2+q),(2+q),得得q=-q=-又又a a1 1+a+a4 4=a=a1 1(1+q(1+q3 3)=)=所以所以a a1 1= =

33、所以所以a an n=a=a1 1q qn-1n-1= =1,27,161,2n1() .2(2)(2)因為因為b bn n=n,a=n,an n= =所以所以 =n=n2 2n n, ,所以所以T Tn n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n, ,2T2Tn n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +(n-1)+(n-1)2 2n n+n+n2 2n+1n+1, ,- -得得-T-Tn n=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+2n n-n-n2 2n+1n+1, ,所以所以T Tn n=-( -n=-( -n2 2n+

34、1n+1)=(n-1)=(n-1)2 2n+1n+1+2.+2.n1() ,2nnb|an 12212若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)對于對于n2n2恒成立恒成立, ,則則(n-1)(n-1)2 2m(n-1)m(n-1)2 2n+1n+1+2-n-1,+2-n-1,(n-1)(n-1)2 2m(n-1)m(n-1)(2(2n+1n+1-1),-1),所以所以m m 令令f(n)= ,f(n+1)-f(n)=f(n)= ,f(n+1)-f(n)=所以所以f(nf(n) )為減函數(shù)為減函數(shù), ,所以所以f(n)f(2)= .f(n)f(2)= .所以所以m .

35、m .n 1n1,21n 1n121n 1n 2n 1n 2n 12n 21nn10,212121 211717考點(diǎn)四考點(diǎn)四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題【考情分析【考情分析】此類試題一般圍繞著現(xiàn)實(shí)生活中的人口的增長、產(chǎn)量的此類試題一般圍繞著現(xiàn)實(shí)生活中的人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款等客觀背景進(jìn)行設(shè)增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款等客觀背景進(jìn)行設(shè)置置, ,它不僅涉及數(shù)列中的基本知識和方法它不僅涉及數(shù)列中的基本知識和方法, ,還往往涉及其他學(xué)科的知識還往往涉及其他學(xué)科的知識和常識和常識【典例【典例4 4】某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)

36、某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn). .該企業(yè)第一該企業(yè)第一年年初有資金年年初有資金2 0002 000萬元萬元, ,將其投入生產(chǎn)將其投入生產(chǎn), ,到當(dāng)年年底資金增長了到當(dāng)年年底資金增長了50%.50%.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同. .公司要求企業(yè)從第一年公司要求企業(yè)從第一年開始開始, ,每年年底上繳資金每年年底上繳資金d d萬元萬元, ,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn). .設(shè)設(shè)第第n n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為a an n萬元萬元. .(1)(1)用用d d表示表示a

37、 a1 1,a,a2 2, ,并寫出并寫出a an+1n+1與與a an n的關(guān)系式的關(guān)系式. .(2)(2)若公司希望經(jīng)過若公司希望經(jīng)過m(m3)m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為年使企業(yè)的剩余資金為4 0004 000萬元萬元, ,試確定試確定企業(yè)每年上繳資金企業(yè)每年上繳資金d d的值的值( (用用m m表示表示).).【解題提示【解題提示】(1)(1)只要根據(jù)增長率求出當(dāng)年年底的資金總額只要根據(jù)增長率求出當(dāng)年年底的資金總額, ,再減去上再減去上繳的資金繳的資金, ,就是剩余資金就是剩余資金, ,即可求出即可求出a a1 1,a,a2 2, ,以及建立以及建立a an+1n+1與與a an n

38、間的遞推關(guān)間的遞推關(guān)系式系式. .(2)(2)使用逐次迭代的方法或者構(gòu)造等比數(shù)列的方法均可求出數(shù)列使用逐次迭代的方法或者構(gòu)造等比數(shù)列的方法均可求出數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式a an n, ,令令a am m=4 000=4 000即可求出即可求出d.d.【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意得由題意得a a1 1=2 000(1+50%)-d=2 000(1+50%)-d=3 000-d,=3 000-d,a a2 2=a=a1 1(1+50%)-d= a(1+50%)-d= a1 1-d=4 500- d,-d=4 500- d,所以所以a an+1n+1=a=an n(1+50

39、%)-d= a(1+50%)-d= an n-d.-d.323252(2)(2)由由(1)(1)得得, ,當(dāng)當(dāng)n2n2時時, ,整理得整理得 由題意由題意,a,am m=4 000,=4 000,所以所以 (3 000-3d)+2d=4 000,(3 000-3d)+2d=4 000,2nn 1n 2n 2n 12n 2133 333aad( ad)d( ) add22 2223333( )ad1( )( ).2222n 1n 1n 1n333a( )3 000d2d( )1( )3 0003d2d.222m 13( )2解得解得 故該企業(yè)每年上繳資金故該企業(yè)每年上繳資金d d的值為的值為 時

40、時, ,經(jīng)過經(jīng)過m(m3)m(m3)年企年企業(yè)的剩余資金為業(yè)的剩余資金為4 0004 000萬元萬元. .mmm 1mmm3( )2 10001 000(32)2d.332( )12mm 1mm1 000(32)32【一題多解【一題多解】在解答第在解答第(2)(2)問時問時, ,你知道幾種解法你知道幾種解法? ?在解答第在解答第(2)(2)問時問時, ,還可有以下解法還可有以下解法: :由于由于a an+1n+1= a= an n-d,-d,設(shè)設(shè)a an+1n+1+= (a+= (an n+),),化為化為a an+1n+1= a= an n+ ,+ ,與與a an+1n+1= a= an n

41、-d-d比較可得比較可得=-2d,-2d,故故a an+1n+1-2d= (a-2d= (an n-2d),-2d),這說明數(shù)列這說明數(shù)列aan n-2d-2d是以是以a a1 1-2d=3 000-3d-2d=3 000-3d為首項為首項, , 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,32323212323232所以所以a an n-2d=(3 000-3d)-2d=(3 000-3d) , ,即即a an n=(3 000-3d)=(3 000-3d) +2d. +2d.( (下同上面解法下同上面解法).).n 13( )2n 13( )2【規(guī)律方法【規(guī)律方法】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟解答

42、數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟(1)(1)確定模型類型確定模型類型: :理解題意理解題意, ,看是哪類數(shù)列模型看是哪類數(shù)列模型, ,一般有等差數(shù)列模型、一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡單的遞推數(shù)列模型等比數(shù)列模型、簡單的遞推數(shù)列模型. .基本特征見下表基本特征見下表: :數(shù)列模型數(shù)列模型基本特征基本特征等差數(shù)列等差數(shù)列均勻增加或者減少均勻增加或者減少等比數(shù)列等比數(shù)列指數(shù)增長指數(shù)增長, ,常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題簡單遞推簡單遞推數(shù)列數(shù)列指數(shù)增長的同時又均勻減少指數(shù)增長的同時又均勻減少. .如年收入增長率為如年收入增長率為20%,20%,每每年年底要拿出年年底要

43、拿出a(a(常數(shù)常數(shù)) )作為下年度的開銷作為下年度的開銷, ,即數(shù)列即數(shù)列aan n 滿滿足足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a(2)(2)準(zhǔn)確解決模型準(zhǔn)確解決模型: :解模就是根據(jù)數(shù)列的知識解模就是根據(jù)數(shù)列的知識, ,求數(shù)列的通項、數(shù)列的求數(shù)列的通項、數(shù)列的和、解方程和、解方程( (組組) )或者不等式或者不等式( (組組) )等等, ,在解模時要注意運(yùn)算準(zhǔn)確在解模時要注意運(yùn)算準(zhǔn)確. .(3)(3)給出問題的回答給出問題的回答: :實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對實(shí)實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對實(shí)際問題的答案際問題的答案, ,在解題中不要忽視了這點(diǎn)在解題

44、中不要忽視了這點(diǎn). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015濟(jì)南模擬濟(jì)南模擬) )為了綜合治理交通擁堵狀況為了綜合治理交通擁堵狀況, ,緩解機(jī)緩解機(jī)動車過快增長勢頭動車過快增長勢頭, ,一些大城市出臺了一些大城市出臺了“機(jī)動車搖號上牌機(jī)動車搖號上牌”的新規(guī)的新規(guī). .某某大城市大城市20152015年初機(jī)動車的保有量為年初機(jī)動車的保有量為600600萬輛萬輛, ,預(yù)計此后每年將報廢本年預(yù)計此后每年將報廢本年度機(jī)動車保有量的度機(jī)動車保有量的5%,5%,且報廢后機(jī)動車的牌照不再使用且報廢后機(jī)動車的牌照不再使用. .同時每年投放同時每年投放1010萬輛的機(jī)動車牌號萬輛的機(jī)動車牌號. .只有搖號獲

45、得指標(biāo)的機(jī)動車才能上牌只有搖號獲得指標(biāo)的機(jī)動車才能上牌, ,經(jīng)調(diào)研經(jīng)調(diào)研, ,獲得搖號指標(biāo)的市民通常都會在當(dāng)年購買機(jī)動車上牌獲得搖號指標(biāo)的市民通常都會在當(dāng)年購買機(jī)動車上牌. .(1)(1)問問: :到到20192019年初年初, ,該城市的機(jī)動車保有量為多少萬輛該城市的機(jī)動車保有量為多少萬輛. .(2)(2)根據(jù)該城市交通建設(shè)規(guī)劃要求根據(jù)該城市交通建設(shè)規(guī)劃要求, ,預(yù)計機(jī)動車的保有量少于預(yù)計機(jī)動車的保有量少于500500萬輛萬輛時時, ,該城市交通擁堵狀況才真正得到緩解該城市交通擁堵狀況才真正得到緩解. .問問: :至少需要多少年可以實(shí)至少需要多少年可以實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)現(xiàn)這一目標(biāo). .( (參考數(shù)

46、據(jù)參考數(shù)據(jù):0.95:0.954 4=0.81,0.95=0.81,0.955 5=0.77,lg0.75=-0.13,lg0.95=-0.02)=0.77,lg0.75=-0.13,lg0.95=-0.02)【解析【解析】(1)(1)設(shè)設(shè)20152015年年初機(jī)動車保有量為年年初機(jī)動車保有量為a a1 1萬輛萬輛, ,以后各年年初機(jī)動以后各年年初機(jī)動車保有量依次為車保有量依次為a a2 2萬輛萬輛,a,a3 3萬輛萬輛, , ,每年新增機(jī)動車每年新增機(jī)動車1010萬輛萬輛, ,則則a a1 1=600,a=600,an+1n+1=0.95a=0.95an n+10.+10.又又a an+1n

47、+1-200=0.95(a-200=0.95(an n-200),-200),且且a a1 1-200=600-200=400,-200=600-200=400,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n-200-200是以是以400400為首項為首項,0.95,0.95為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. .所以所以a an n-200=400-200=4000.950.95n-1n-1, ,即即a an n=400=4000.950.95n-1n-1+200.+200.所以所以20192019年初機(jī)動車保有量為年初機(jī)動車保有量為a a5 5=400=4000.950.954 4+200=524+200=52

48、4萬輛萬輛. .(2)(2)由題可知由題可知,a,an n=400=4000.950.95n-1n-1+200500,+200500,即即0.950.95n-1n-10.75, +1=7.5,n +1=7.5,故至少需要故至少需要8 8年時間才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)年時間才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo). .lg 0.75lg0.95【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.1.某軟件公司新開發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件某軟件公司新開發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件, ,該軟件把學(xué)科知識該軟件把學(xué)科知識設(shè)計為由易到難共設(shè)計為由易到難共1212關(guān)的闖關(guān)游戲關(guān)的闖關(guān)游戲. .為了激發(fā)闖關(guān)熱情為了激發(fā)闖關(guān)熱情, ,每闖過一關(guān)都每闖過一關(guān)都獎勵若干慧幣獎勵若干慧幣( (一種網(wǎng)絡(luò)虛

49、擬幣一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣).).該軟件提供了三種獎勵方案該軟件提供了三種獎勵方案: :第一種第一種, ,每闖過一關(guān)獎勵每闖過一關(guān)獎勵4040慧幣慧幣; ;第二種第二種, ,闖過第一關(guān)獎勵闖過第一關(guān)獎勵4 4慧幣慧幣, ,以后每一關(guān)比以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎勵前一關(guān)多獎勵4 4慧幣慧幣; ;第三種第三種, ,闖過第一關(guān)獎勵闖過第一關(guān)獎勵0.50.5慧幣慧幣, ,以后每一關(guān)比以后每一關(guān)比前一關(guān)獎勵翻一番前一關(guān)獎勵翻一番( (即增加即增加1 1倍倍).).游戲規(guī)定游戲規(guī)定: :闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎勵方案種獎勵方案. .(1)(1)設(shè)闖過設(shè)闖過n(nNn(nN, ,且且n12)n1

50、2)關(guān)后三種獎勵方案獲得的慧幣依次為關(guān)后三種獎勵方案獲得的慧幣依次為A An n,B,Bn n,C,Cn n, ,試求出試求出A An n,B,Bn n,C,Cn n的表達(dá)式的表達(dá)式. .(2)(2)如果你是一名闖關(guān)者如果你是一名闖關(guān)者, ,為了得到更多的慧幣為了得到更多的慧幣, ,你應(yīng)如何選擇獎勵方你應(yīng)如何選擇獎勵方案案? ?【解析【解析】(1)(1)第一種獎勵方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列第一種獎勵方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列, ,所以所以A An n=40n,=40n,第二種獎勵方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項是第二種獎勵方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項是4,4,公差也為公差也為4 4的等差數(shù)

51、的等差數(shù)列列, ,所以所以B Bn n=4n+ =4n+ 4=2n4=2n2 2+2n,+2n,第三種獎勵方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項是第三種獎勵方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項是0.5,0.5,公比為公比為2 2的等比數(shù)的等比數(shù)列列, ,n n12nnn11212C21 .122所以(2)(2)令令A(yù) An nBBn n, ,即即40n2n40n2n2 2+2n,+2n,解得解得0n19,0nBBn n恒成立恒成立. .令令A(yù) An nCCn n, ,即即40n (240n (2n n-1),-1),可得可得n10,n10,所以當(dāng)所以當(dāng)n10nAAn n, ,綜上綜上, ,若你是一名闖關(guān)者若你是

52、一名闖關(guān)者, ,當(dāng)你能沖過的關(guān)數(shù)小于當(dāng)你能沖過的關(guān)數(shù)小于1010時時, ,應(yīng)選用第一種應(yīng)選用第一種獎勵方案獎勵方案; ;當(dāng)你能沖過的關(guān)數(shù)大于等于當(dāng)你能沖過的關(guān)數(shù)大于等于1010時時, ,應(yīng)選用第三種獎勵方案應(yīng)選用第三種獎勵方案. .122.2.一企業(yè)的某產(chǎn)品每件利潤一企業(yè)的某產(chǎn)品每件利潤100100元元, ,在未做電視廣告時在未做電視廣告時, ,日銷售量為日銷售量為b b件件. .當(dāng)對產(chǎn)品做電視廣告后當(dāng)對產(chǎn)品做電視廣告后, ,記每日播記每日播n n次時的日銷售量為次時的日銷售量為a an n(nN(nN* *) )件件, ,調(diào)調(diào)查發(fā)現(xiàn)查發(fā)現(xiàn): :每日播一次則日銷售量每日播一次則日銷售量a a1

53、 1件在件在b b件的基礎(chǔ)上增加件的基礎(chǔ)上增加 件件, ,每日播每日播二次則日銷售量二次則日銷售量a a2 2件在每日播一次時日銷售量件在每日播一次時日銷售量a a1 1件的基礎(chǔ)上增加件的基礎(chǔ)上增加 件件, ,每日播每日播n n次次, ,該產(chǎn)品的日銷售該產(chǎn)品的日銷售a an n件在每日播件在每日播n-1n-1次時的日銷售量次時的日銷售量a an-1n-1件的基礎(chǔ)上增加件的基礎(chǔ)上增加 件件. .合同約定合同約定: :每播一次企業(yè)需支付廣告費(fèi)每播一次企業(yè)需支付廣告費(fèi)2b2b元元. .(1)(1)試求出試求出a an n與與n n的關(guān)系式的關(guān)系式. .(2)(2)該企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤最

54、大該企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤最大, ,求每日電視廣告需播求每日電視廣告需播多少次多少次. .b2b4nb2【解析【解析】(1)(1)由題意，電視廣告日播由題意，電視廣告日播k k次時，該產(chǎn)品的日銷售量次時，該產(chǎn)品的日銷售量a ak k滿足滿足a ak k=a=ak-1k-1+ (kN+ (kN* *,a,a0 0=b),=b),所以，該產(chǎn)品每日銷售量所以，該產(chǎn)品每日銷售量a an n( (件件) )與電視廣告播放量與電視廣告播放量n(n(次次/ /日日) )的關(guān)系的關(guān)系式為式為a an n=b(2- )(nN=b(2- )(nN* *).).kb2nn2nn111 ( ) bbb122

55、ab()bbb(2) nN* .1222212所以n12(2)(2)該企業(yè)每日播放電視廣告該企業(yè)每日播放電視廣告n n次時獲利為次時獲利為C Cn n=100b(2- )-2bn=100b(2-0.02n- )(nN=100b(2- )-2bn=100b(2-0.02n- )(nN* *).).因為因為C Cn n-C-Cn-1n-1=100b( -0.02)0=100b( -0.02)0即即2 2n n50,nN50,nN* *, ,所以所以n5(nNn5(nN* *),),因為因為C Cn+1n+1-C-Cn n=100b( -0.02)0=100b( -0.02)02 2n n2525n5,n5,所以所以n=5.n=5.所以要使該產(chǎn)品每日獲得的利潤最大，則每日電視廣告需播所以要使該產(chǎn)品每日獲得的利潤最大，則每日電視廣告需播5 5次次. .n12n12n12n 112