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1、專題12-2導(dǎo)函數(shù)解答題突破第二季
1．已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）設(shè)，證明：.
【答案】（1）； （2）見解析.
【解析】
（1）由題意，又，
所以，
因此在點處的切線方程為，即
當(dāng)時，，所以，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，
所以 ，
所以，即
等價于，
令，
設(shè)函數(shù)
,
當(dāng)時，，所以，
所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，又，
所以
所以，即
綜上①②可得：.
2．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）依題意，
當(dāng)時，令
2、，得或，令，得，
可知的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；
當(dāng)時，令，得，令，得或，
可知的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.
綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；
當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.
（2），即，
令， 則，
令，則.
①若，當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞增，
因為，故當(dāng)時，，即，
從而在上單調(diào)遞增，因為，
故當(dāng)時，恒成立，符合題意；
②若，當(dāng)時，恒成立，從而在上單調(diào)遞減，
則，即時，，
從而在上單調(diào)遞減，此時，不符合題意；
③若，由，得，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，則，即，
故在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，不符合題意；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為
3．已知函數(shù).
3、
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，為函數(shù)圖象上不同的兩點，的中點為，求證：.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
（1）的定義域為，.
由于，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）證明：因為為的中點，則，故，
故要證，即證，由于，即證.
不妨假設(shè)，只需證明，即.
設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，故在上單調(diào)遞增，
則，則有，從而.
4．已知函數(shù).
（Ⅰ）設(shè)是的極值點，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時，證明：.
【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)2（Ⅲ）詳見解析
【解析】
（Ⅰ）∵，x=0是f（x）
4、的極值點，∴，解得m=1．
經(jīng)檢驗m=1符合題意.
（Ⅲ）證明：要證，即.
設(shè),即證
當(dāng)m≤2，x∈（-m，+∞）時，，故只需證明當(dāng)m=2時，.
當(dāng)m=2時，函數(shù)在（－2，+∞）上為增函數(shù)，且．
故在（－2，+∞）上有唯一實數(shù)根，且∈（－1，0）．
當(dāng)時，，當(dāng)時，,
從而當(dāng)時，取得最小值．
由，得，即，故．
綜上，當(dāng)m≤2時， 即＞m．
5．已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，證明在單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)時，討論的零點個數(shù).
【答案】（1）見解析；（2）見解析
（2）由（1）得時，在單調(diào)遞減，又，
所以時，有一個零點.
因為定義域為，故與有相同的零點，
令
5、，則，
當(dāng)時，時，，時，
所以，無零點，也無零點.
當(dāng)時，令，得或
1
-
0
+
0
-
↘
↗
↘
，
當(dāng)時，
當(dāng)即時，，
故有一個零點，也有有一個零點.
綜上可知，當(dāng)時，無零點；
當(dāng)時，有一個零點.
6．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；
（2）若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）定義域是，
當(dāng)時，，
由
令，，使，當(dāng)時，，
單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
∴①
由②，③
將②③代入①得：
（2）由
①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
∴，滿足題
6、意；
②當(dāng)時，
∵，∴，∴，∴，∴在單調(diào)遞增，
需解得，∴
③當(dāng)時，，使
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
∵，
∴
，不恒成立，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
9．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時， 不等式成立.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析
【解析】
（Ⅰ）由題意知，當(dāng)時，
解得，又，
，即曲線 在點處的切線方程為：
Ⅱ 證明：當(dāng)時，得
要證明不等式成立，即證成立
即證成立，即證成立
令，，易知，
由，知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以成立
7、，即原不等式成立.
10．已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）求證：或是函數(shù)在上有三個不同零點的必要不充分條件.
【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間. （2） （3）見解析
【解析】
（1）若k=-1，則，所以
由于△=16-48<0,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.
（3）因為
所以，當(dāng)△=，即時
函數(shù)在R上單調(diào)遞增
故在R上不可能有三個不同零點
所以，若在R上有三個不同零點，則必有△，
即是在R上有三個不同零點的必要條件.
而當(dāng)，時，滿足
但
即此時只有兩個不同零點
同樣，當(dāng)時，滿足，
但
即此時也只有兩個不同零點
故k<-2或k>7是在R上有三個不同零點的必要不充分條件.
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