2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn):43 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析

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1、空間圖形的基本關(guān)系與公理建議用時(shí):45分鐘一、選擇題1a,b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個(gè)命題中,真命題是()A若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面B若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交C若ab,則a,b與c所成的角相等D若ab,bc,則acC若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若ab,bc,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確故選C.2給出下列說(shuō)法:梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面;三條平行直線共面;有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合;三條直線兩兩相交,可以確定1個(gè)或3個(gè)平面其中正確的序號(hào)是()A B C

2、 DB顯然正確;錯(cuò)誤,三條平行直線可能確定1個(gè)或3個(gè)平面;若三個(gè)點(diǎn)共線,則兩個(gè)平面相交,故錯(cuò)誤;顯然正確故選B.3如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()AB CDDA,B,C圖中四點(diǎn)一定共面,D中四點(diǎn)不共面4.如圖所示,平面平面l,A,B,ABlD,C,Cl,則平面ABC與平面的交線是()A直線ACB直線ABC直線CDD直線BCC由題意知,Dl,l,所以D,又因?yàn)镈AB,所以D平面ABC,所以點(diǎn)D在平面ABC與平面的交線上又因?yàn)镃平面ABC,C,所以點(diǎn)C在平面與平面ABC的交線上,所以平面ABC平面CD.5(2019陜西省第三次聯(lián)考)已知三棱柱A

3、BCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn),則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A. B. C. D.B如圖,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連接A1D、AD、A1B,易知A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補(bǔ)角)設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為1,則AD,A1D,A1B,由余弦定理,得cosA1AB.故選B.二、填空題6四條線段順次首尾相連,它們最多可確定_個(gè)平面4首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面,所以最多可以確定4個(gè)平面7在四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn)若BD,AC所成的角為60,且BDAC1,則EF的長(zhǎng)為_(kāi)或如圖

4、,取BC的中點(diǎn)O,連接OE,OF.因?yàn)镺EAC,OFBD,所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角,而AC,BD所成角為60,所以EOF60或EOF120.當(dāng)EOF60時(shí),EFOEOF.當(dāng)EOF120時(shí),取EF的中點(diǎn)M,則OMEF,EF2EM2.8(2019長(zhǎng)白山模擬)下列命題中不正確的是_(填序號(hào))沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線;分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面;一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條直線不可能平行;一條直線和兩條異面直線都相交,則它們可以確定兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面,故錯(cuò);命題錯(cuò),此時(shí)兩直線有可能相交;命題正確,因?yàn)槿糁本€a和b異面

5、,ca,則c與b不可能平行,用反證法證明如下:若cb,又ca,則ab,這與a,b異面矛盾,故c與b不平行;命題正確,若c與兩異面直線a,b都相交,可知,a,c可確定一個(gè)平面,b,c也可確定一個(gè)平面,這樣,a,b,c共確定兩個(gè)平面三、解答題9在正方體ABCDA1B1C1D1中,(1)求AC與A1D所成角的大小;(2)若E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),求A1C1與EF所成角的大小解(1)如圖,連接B1C,AB1,由ABCDA1B1C1D1是正方體,易知A1D B1C,從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角因?yàn)锳B1ACB1C,所以B1CA60.即A1D與AC所成的角為60.(2)連接BD,

6、在正方體ABCDA1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1.因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EFBD,所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90.10.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊AD,BE綊FA,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面?為什么?解(1)證明:由已知FGGA,F(xiàn)HHD,可得GH綊AD.又BC綊AD,GH綊BC.四邊形BCHG為平行四邊形(2)BE綊AF,G為FA的中點(diǎn),BE綊FG,四邊形BEFG為平行四邊形,EFBG.由(1)知BG綊CH,EFCH,EF與CH共面又DF

7、H,C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面1已知A,B,C,D是空間四點(diǎn),命題甲:A,B,C,D四點(diǎn)不共面,命題乙:直線AC和BD不相交,則甲是乙成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件A若A,B,C,D四點(diǎn)不共面,則直線AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直線AC和BD不相交,當(dāng)直線AC和BD平行時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)共面,所以甲是乙成立的充分不必要條件2在正三棱柱ABCA1B1C1中,ABBB1,則AB1與BC1所成角的大小為()A30 B60 C75 D90D將正三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCDA1B1C1D1,連接C1D,BD,則C1DB1A,BC

8、1D為所求角或其補(bǔ)角設(shè)BB1,則BCCD2,BCD120,BD2,又因?yàn)锽C1C1D,所以BC1D90.3一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:ABEF;AB與CM所成的角為60;EF與MN是異面直線;MNCD.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是_如圖,ABEF,正確;顯然ABCM,所以不正確;EF與MN是異面直線,所以正確;MN與CD異面,并且垂直,所以不正確,則正確的是.4(2019上海高考改編)如圖,在正三棱錐PABC中,PAPBPC2,ABBCAC.(1)若PB的中點(diǎn)為M,BC的中點(diǎn)為N,求AC與MN夾角的余弦值;(2)求PABC的體積解(1)M,N分別為PB,BC的

9、中點(diǎn),MNPC,則PCA為AC與MN所成角,在PAC中,由PAPC2,AC,可得cosPCA,AC與MN夾角的余弦值為.(2)過(guò)P作底面垂線,垂足為O,則O為底面三角形的中心,連接AO并延長(zhǎng),交BC于N,則AN,AOAN1.PO.VPABC.1.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑如圖,在鱉臑ABCD中,AB平面BCD,且ABBCCD,則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為()A. B C. DA如圖所示,分別取AB,AD,BC,BD的中點(diǎn)E,F(xiàn),G,O,連接EF,F(xiàn)O,OG,GE,GF,則EFBD,EGAC,F(xiàn)OOG,F(xiàn)EG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成的角設(shè)AB2a,則EGEFa,F(xiàn)Ga,EFG是等邊三角形,F(xiàn)EG60,異面直線AC與BD所成角的余弦值為,故選A.2.如圖所示,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),將此正方形沿EF折成直二面角后,異面直線AF與BE所成角的余弦值為_(kāi)如圖,取BC的中點(diǎn)H,連接FH,AH,所以BEFH,所以AFH即為異面直線AF與BE所成的角過(guò)A作AGEF于G,則G為EF的中點(diǎn)連接HG,HE,則HGE是直角三角形設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則EF,HE,EG,AG,所以HG,所以AH.由余弦定理知cosAFH.

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