《平面圖形的鑲嵌》_)

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1、平面鑲嵌平面鑲嵌請(qǐng)你欣賞請(qǐng)你欣賞觀察以下圖案，說明它們都是觀察以下圖案，說明它們都是由哪些幾何圖形組成？由哪些幾何圖形組成？觀察以下圖案，說明它們都是觀察以下圖案，說明它們都是由哪些幾何圖形組成？由哪些幾何圖形組成？用一些不重疊擺放的多邊形把平面用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分全部覆蓋的一部分全部覆蓋,在幾何里叫做用在幾何里叫做用多邊形覆蓋平面多邊形覆蓋平面(或或平面鑲嵌平面鑲嵌)。定義定義例如例如: : 觀察以下圖形并思考在鑲嵌時(shí)觀察以下圖形并思考在鑲嵌時(shí)如何做到既如何做到既無縫隙又不重疊無縫隙又不重疊?每個(gè)頂點(diǎn)處幾個(gè)角的和為每個(gè)頂點(diǎn)處幾個(gè)角的和為360 若用一種若用一種正多邊形正多邊

2、形進(jìn)行鑲嵌進(jìn)行鑲嵌 ，下列哪些正多邊形可以鑲嵌下列哪些正多邊形可以鑲嵌？正三角形；正三角形； 正方形正方形 ； 正五邊形；正五邊形； 正六邊形；正六邊形； 正八邊形；正八邊形； 正十二邊形。正十二邊形。 還有其他的正多邊形可以進(jìn)行還有其他的正多邊形可以進(jìn)行鑲嵌嗎？鑲嵌嗎？為什么呢？為什么呢？1 1、 正三角形的平面鑲嵌正三角形的平面鑲嵌6060606060602 2、 正方形的平面鑲嵌正方形的平面鑲嵌903 3、 正六邊形的平面鑲嵌正六邊形的平面鑲嵌120 120 120 BEFCAD 你能只用一種正五邊形拼成一個(gè)地面嗎？為什么正五你能只用一種正五邊形拼成一個(gè)地面嗎？為什么正五邊形拼不成地面？

3、而用正三角形可以？可以拼成一個(gè)地邊形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一個(gè)地面條件是什么？面條件是什么？因?yàn)檎暹呅蔚膬?nèi)角不能組成360的角，而正三角形的內(nèi)角能組成360的角。 僅用正多邊形進(jìn)行僅用正多邊形進(jìn)行鑲嵌，要嵌成一個(gè)平面，鑲嵌，要嵌成一個(gè)平面，必須要求在公共頂點(diǎn)上必須要求在公共頂點(diǎn)上所有內(nèi)角和為所有內(nèi)角和為360360 只用一種正多邊形只用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，有三種進(jìn)行平面鑲嵌，有三種方法：方法：3 3個(gè)六邊形；個(gè)六邊形；4 4個(gè)個(gè)四邊形；四邊形；6 6個(gè)三角形。個(gè)三角形。 能否 平面 鑲嵌 圖形一個(gè)頂點(diǎn)周圍正多邊形的個(gè)數(shù) 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五邊形正

4、五邊形正六邊形正六邊形643不能不能1、三角形可以作、三角形可以作平面鑲嵌嗎平面鑲嵌嗎?如果如果能三角形如何鑲嵌能三角形如何鑲嵌呢呢?如圖如圖,四邊形四邊形ABCD中中,因?yàn)橐驗(yàn)锳+B+C+ D = 360,所以所以用四邊形也可以作平面鑲嵌用四邊形也可以作平面鑲嵌ABDC2、四邊形呢、四邊形呢?那么四邊形如何那么四邊形如何鑲嵌呢鑲嵌呢? 請(qǐng)看請(qǐng)看!(2003(2003年中考題）商店出售下列形狀的地磚：年中考題）商店出售下列形狀的地磚：正方形；正方形；長(zhǎng)方形；長(zhǎng)方形； 正五邊形；正五邊形；正六邊形。若只選擇其中正六邊形。若只選擇其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選擇的地磚共有（某一種地磚鑲嵌地面，可供

5、選擇的地磚共有（ ）A.1A.1種種 B.2B.2種種 C.3C.3種種 D.4D.4種種邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a a的正方形與下列邊長(zhǎng)為的正方形與下列邊長(zhǎng)為a a的正多邊形組合起來，的正多邊形組合起來，不能不能鑲嵌成平面的是（鑲嵌成平面的是（ ）正三角形；正三角形；正五邊形；正五邊形；正六邊形；正六邊形；正八邊形正八邊形A. A. B. B. C. C. D. D. CB練習(xí)一：練習(xí)一：練習(xí)二練習(xí)二1、形狀、形狀、大小完全相同的任意三角形大小完全相同的任意三角形、四邊形四邊形 能否單獨(dú)作鑲嵌能否單獨(dú)作鑲嵌 （ ）2. 用任意三角形鑲嵌平面時(shí)用任意三角形鑲嵌平面時(shí),同一頂點(diǎn)處應(yīng)擺同一頂點(diǎn)處應(yīng)擺放放 (

6、)個(gè)三角形個(gè)三角形;用任意四邊形鑲嵌平面時(shí)用任意四邊形鑲嵌平面時(shí),同一頂點(diǎn)處應(yīng)擺放同一頂點(diǎn)處應(yīng)擺放( )個(gè)四邊形個(gè)四邊形.3、下面四種正多邊形中、下面四種正多邊形中,用同一種圖形不能平用同一種圖形不能平面鑲嵌的是面鑲嵌的是( ). ABCD能能64C練習(xí)三練習(xí)三如圖用兩種顏色的正六邊形的磚按圖所示的如圖用兩種顏色的正六邊形的磚按圖所示的規(guī)律規(guī)律,鑲嵌成若干個(gè)圖案：鑲嵌成若干個(gè)圖案：(1).第第4個(gè)圖案中有白色地磚個(gè)圖案中有白色地磚( )塊塊.(2).第第n個(gè)圖案中有白色地磚個(gè)圖案中有白色地磚( )塊塊.184n+2試試看試試看: :請(qǐng)你用兩種或兩種以上請(qǐng)你用兩種或兩種以上的多邊形設(shè)計(jì)鑲嵌圖案的

7、多邊形設(shè)計(jì)鑲嵌圖案下列多邊形組合，能夠鋪滿地面的是：下列多邊形組合，能夠鋪滿地面的是：（1 1）正三角形與正六邊形；）正三角形與正六邊形；（2 2）正三角形與正方形；）正三角形與正方形；（3 3）正方形與正八邊形；）正方形與正八邊形；（4 4）正六邊形與正八邊形；）正六邊形與正八邊形；（5 5）正三角形、正方形與正六邊形）正三角形、正方形與正六邊形。設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形，個(gè)正三角形，n個(gè)正方形的角。個(gè)正方形的角。360903602mmnn 注意：同一個(gè)組合會(huì)有注意：同一個(gè)組合會(huì)有不同的鑲嵌效果不同的鑲嵌效果（1） 正三角形與正方形的平面鑲嵌正三角形與正方形的平面鑲嵌

8、1201206060圖案圖案（）設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形，個(gè)正三角形，n個(gè)正六邊形的角。個(gè)正六邊形的角。4260120360,12mmmnnn （2）正三角形與正六邊形的平面鑲嵌）正三角形與正六邊形的平面鑲嵌圖案圖案（）60601206060（2）正三角形與正六邊形的平面鑲嵌）正三角形與正六邊形的平面鑲嵌每個(gè)頂點(diǎn)處每個(gè)頂點(diǎn)處正三角形正三角形4 4個(gè)，正六邊形個(gè)，正六邊形1 1個(gè)。個(gè)。（3）正三角形和正十二邊形平面鑲嵌圖案）正三角形和正十二邊形平面鑲嵌圖案2m+5n=12m=1n=2 m60 +n150 =360。設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形的角、個(gè)正

9、三角形的角、n個(gè)正十二邊形的角，則有個(gè)正十二邊形的角，則有m、n為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為2m+3n=8m=1n=2m90 +n135 =360。設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有個(gè)設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有個(gè)m正四邊形的角、正四邊形的角、n個(gè)正八邊形個(gè)正八邊形的角，則有的角，則有m、n為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為正十二邊形與正三角形正十二邊形與正三角形的平面鑲嵌的平面鑲嵌正八邊形與正方正八邊形與正方形的平面鑲嵌形的平面鑲嵌正十邊形與正五邊正十邊形與正五邊形的平面鑲嵌形的平面鑲嵌1 1、鑲嵌的要求：、鑲嵌的要求：無縫隙，不重疊無縫隙，不重疊2 2、多邊形能否鑲嵌的條件：、多邊形能否鑲嵌的條件：每個(gè)頂點(diǎn)處幾個(gè)角的和為每個(gè)頂點(diǎn)

10、處幾個(gè)角的和為360360生活中利用鑲嵌組成的美麗圖案生活中利用鑲嵌組成的美麗圖案鑲嵌畫欣賞鑲嵌畫欣賞練習(xí)四練習(xí)四:當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角和加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)和加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí),就能鑲嵌成就能鑲嵌成一個(gè)平面圖形一個(gè)平面圖形；那么那些正多邊形可以進(jìn)行；那么那些正多邊形可以進(jìn)行鑲呢？鑲呢？邊數(shù)邊數(shù)內(nèi)角和內(nèi)角和每個(gè)內(nèi)角每個(gè)內(nèi)角周角與每個(gè)內(nèi)角的商周角與每個(gè)內(nèi)角的商318060 64568n2.由表可知由表可知,周角與正周角與正n邊形每個(gè)內(nèi)角的商為邊形每個(gè)內(nèi)角的商為( ),當(dāng)當(dāng)n=( ) 時(shí)時(shí),商為整數(shù)商為整數(shù),即即( )等正多邊形能單獨(dú)作平面鑲嵌等正多邊形能單獨(dú)作平面鑲嵌. 2+4/n-23,4,6正三角形正三角形,正方形正方形,正六邊形正六邊形36090540108720120108013543+1/332+2/3(n-2)180/n(n-2)1802+4/n-2 再見！再見！