歸納、類比推理

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1、合情推理與合情推理與演繹推理演繹推理推理：推理：從一個或幾個已知命題得出另一個從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程。新命題的思維過程。推理推理前提前提結(jié)論結(jié)論推理所依據(jù)的命題推理所依據(jù)的命題根據(jù)前提所得到的命題根據(jù)前提所得到的命題歌德巴赫猜想的提出過程：歌德巴赫猜想的提出過程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一個不小于任何一個不小于6 6的偶數(shù)都等于兩個奇的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和質(zhì)數(shù)之和”即即: :偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)改寫為改寫為:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5

2、， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 推理案例推理案例 前提：前提：當(dāng)當(dāng)n=0時，時，n2-n+11=11;當(dāng)當(dāng)n=1時，時，n2-n+11=11;當(dāng)當(dāng)n=2時，時，n2-n+11=13;當(dāng)當(dāng)n=3時，時，n2-n+11=17;當(dāng)當(dāng)n=4時，時，n2-n+11=23;當(dāng)當(dāng)n=5時，時，n2-n+11=31;11,11,13,17,23,31都是質(zhì)數(shù)都是質(zhì)數(shù).結(jié)論：結(jié)論：對于所有的自然數(shù)對于所有的自然數(shù)n，n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)的值都是質(zhì)數(shù).歸歸納納推推理理這種由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些

3、特征的推理,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡稱;歸納)歸納推理的幾個特點歸納推理的幾個特點; ;1.1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象, ,因而因而, ,由歸納由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍. .2.2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象屬未知的現(xiàn)象, ,因而結(jié)論具有猜測性因而結(jié)論具有猜測性. .3.3.歸納的前提是特殊的情況歸納的前提是特殊的情況, ,因而歸納是立足于觀因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)之上察、經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)之上. .

4、4.歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.需證明例例1:1:已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的第的第1 1項項a a1 1=1=1且(n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),試歸納出這個數(shù)列的通項公式試歸納出這個數(shù)列的通項公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1 + a1 + a 對有限的資料進行觀察、分析、歸納對有限的資料進行觀察、分析、歸納 整理；整理； 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； 檢驗猜想。檢驗猜想。 歸納推理的一般步驟：歸納推理的一般步驟：11111,11,2,.nnnnaaaaan例已知數(shù)列的第 項且試歸

5、納出這個數(shù)列的通項公式.,.nnana分析數(shù)列的通項公式表示的是數(shù)列的第項 與序號之間的對應(yīng)關(guān)系為此 我們先根據(jù)已知的遞推公式 算出數(shù)列的前幾項; 1a,1n1 時當(dāng)解;3121121a,3n3時當(dāng);21111a,2n2 時當(dāng).4131131a,4n4 時當(dāng).n1a,.4,n這個數(shù)列的通項公式為由此猜想數(shù)項都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)列的前觀察可得.,.,1一一種種方方向向提提供供們們的的研研究究想想可可以以為為我我但但這這個個猜猜有有待待嚴(yán)嚴(yán)格格的的證證明明猜猜想想是是否否正正確確還還雖雖然然猜猜想想一一個個了了關(guān)關(guān)于于數(shù)數(shù)列列通通項項公公式式的的我我們們通通過過歸歸納納得得到到中中在在例例11:1

6、.11,121,2,.nnnnaaaaan練習(xí)已知數(shù)列的第 項且試歸納出這個數(shù)列的通項公式112.13,211,2,.nnnaaaan已知數(shù)列的第 項且試歸納出這個數(shù)列的通項公式121nna121nan例例 ：蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物。魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物。由此猜想：由此猜想：練練 ：三角形的內(nèi)角和是三角形的內(nèi)角和是180180度，凸四邊形的內(nèi)度，凸四邊形的內(nèi)角和是角和是360360度，凸五邊形的內(nèi)角和是度，凸五邊形的內(nèi)角和是54054

7、0度，度，由此猜想：由此猜想：所有的爬行動物都是用肺呼吸的。所有的爬行動物都是用肺呼吸的。凸凸n邊形的內(nèi)角和是邊形的內(nèi)角和是(n-2) 1800書P23例1例例 221 222 223,331 332333由此猜想：由此猜想：,().bbmabmaam， ， 均為正實數(shù)歸納推理：歸納推理：從個別事實中推演出一般性的結(jié)論從個別事實中推演出一般性的結(jié)論.實驗、觀察實驗、觀察概括、推廣概括、推廣猜測一般性結(jié)論猜測一般性結(jié)論1. 觀察下列等式，并從中歸納出一般的結(jié)論：觀察下列等式，并從中歸納出一般的結(jié)論：活學(xué)活用：活學(xué)活用：11,22112,2631113,2612411114,2612205(1)(

8、2)11，1-4（1+2），1-4+91+2+3，1-4+9-16（1+2+3+4），1111261211nnnn11 49 1625361123nn 2. 用歸納法寫出下列數(shù)列的一個通項公式：用歸納法寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1)1,3,7,15,3 815 24(2),3 579(3)0.7,0.77,0.777,21n10117910nn 2111211nnn凸四邊形有凸四邊形有2條對角線，條對角線，凸五邊形有凸五邊形有5條對角線，條對角線，比凸四邊形多比凸四邊形多3條；條；凸六邊形有凸六邊形有9條對角線，條對角線，比凸五邊形多比凸五邊形多4條；條；猜想：凸猜想：凸n邊形的對角線條數(shù)

9、比凸邊形的對角線條數(shù)比凸n-1邊形多邊形多n-2條對角線。由此，凸條對角線。由此，凸n邊形邊形對角線條數(shù)為對角線條數(shù)為2+3+4+5+(n-2).凸凸n邊形有多少條對角線？邊形有多少條對角線？3. 凸凸n邊形有多少條對角線？邊形有多少條對角線？4.在同一平面內(nèi)，兩條直線相交，有一個交點；在同一平面內(nèi)，兩條直線相交，有一個交點；三條直線相交，最多有幾個交點？三條直線相交，最多有幾個交點？四條直線相交，最多有幾個交點？四條直線相交，最多有幾個交點？六條直線相交，最多有幾個交點？六條直線相交，最多有幾個交點？n條直線相交，最多有幾個交點？條直線相交，最多有幾個交點？1231n 推理案例推理案例 前提

10、：前提：矩形的對角線的平方等于長與寬的矩形的對角線的平方等于長與寬的平方和平方和. .結(jié)論：結(jié)論：長方體的對角線的平方等于長、寬、長方體的對角線的平方等于長、寬、高的平方和高的平方和. .比較推理比較推理 在兩類不同的事物之間進行對比，找在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處以存在相同或相似之處.類比推理：類比推理：推理案例推理案例 前提：前提：結(jié)論：結(jié)論：矩形的對角線的平方等于長與寬的矩形的對角線的平方等于長與寬的平方和平方和. .長方體的對角線的平方等于長、寬、長方體的對角線的平方等于長、寬、

11、高的平方和高的平方和. .比較推理比較推理歸納推理歸納推理合情推理合情推理1.1. 在平面上，一個角的兩邊分別垂直于另一個在平面上，一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，這兩角相等或互補；類比在空間中：角的兩邊，這兩角相等或互補；類比在空間中：一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，這兩一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，這兩個角的關(guān)系如何？個角的關(guān)系如何？活學(xué)活用：活學(xué)活用：2.2. 在平面上，到定直線的距離等于定長的點的軌在平面上，到定直線的距離等于定長的點的軌跡是兩條平行直線；類比在空間中：（跡是兩條平行直線；類比在空間中：（1 1）到定直）到定直線的距離等于定長的點的軌跡是什么？（線的

12、距離等于定長的點的軌跡是什么？（2 2）到已）到已知平面距離相等的點的軌跡是什么？知平面距離相等的點的軌跡是什么？log ()loglogaaaxyxy（2）把）把 與與 類比，則有類比，則有()abc()a bcabac（1）把）把 與與 類比，類比，則有則有()a bcabaclog ()axy()abca ba c （3）把）把 與與 類比，則有類比，則有()()a bcab c()a b c()()a b ca b c（4）把）把 與與 類比，則有類比，則有()nnnaba b()nab()nnnabab4.4.在兩類不同事物之間進行對比在兩類不同事物之間進行對比, ,找出若干找出若干

13、相同或相似點之后相同或相似點之后, ,推測在其他方面也可推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式以存在相同或相似之處的一種推理模式, , 稱為稱為類比推理類比推理.(.(簡稱簡稱; ;類比類比) )類比推理的幾個特點類比推理的幾個特點; ;1.1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性, ,推測正推測正在研究的事物的屬性在研究的事物的屬性, ,是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ)是以舊有的認(rèn)識為基礎(chǔ), ,類比類比出新的結(jié)果出新的結(jié)果. .2.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性特殊屬性. .3.3.類比的結(jié)果

14、是猜測性的不一定可靠類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠, ,單它卻有發(fā)單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能現(xiàn)的功能. .例例 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :例例 ( (20012001年上海年上海) )已知兩個圓已知兩個圓x x2 2+y+y2 2=1:=1:與與x x2 2+(y-3+(y-

15、3)2)2=1=1, ,則由則由式減去式減去式可得上述兩式可得上述兩圓的對稱軸方程圓的對稱軸方程. .將上述命題在曲線仍然為將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣圓的情況下加以推廣, ,即要求得到一個更一即要求得到一個更一般的命題般的命題, ,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個特例一個特例, ,推廣的命題為推廣的命題為-.-.(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2與與(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為b bd),d),則由則由式減去式減去式可得上述兩圓的對稱軸

16、式可得上述兩圓的對稱軸方程方程. .圓的概念和性質(zhì)圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相與圓心距離不相等的兩弦不相等等, ,距圓心較近的弦較長距圓心較近的弦較長以點以點(x(x0 0,y,y0 0) )為圓心為圓心, r, r為半徑為半徑的圓的方程為的圓的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點的連線中點的連線垂直于弦垂直于弦球心與不過球心的截面球心與不過球心的截面( (圓面圓面) )的圓點的連線垂直于截面的圓點的

17、連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積與球心距離不相等的兩截面面積不相等不相等, ,距球心較近的面積較大距球心較近的面積較大以點以點(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為球心為球心, r, r為半為半徑的球的方程為徑的球的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圓的性質(zhì)類比得出求的性質(zhì)利用圓的性質(zhì)類比得出求的性質(zhì)球的體積球的體積3 34 4V = RV = R3 3球的表面積球的表面積2 2S = 4RS = 4R圓的

18、周長圓的周長 S = 2RS = 2R圓的面積圓的面積2 2S =RS =R歸納推理：歸納推理：歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍，是從特殊到一般結(jié)論超越了前提所包容的范圍，是從特殊到一般得命題的猜測，是否正確是需要證明的。得命題的猜測，是否正確是需要證明的。類比推理：類比推理：類比就是在兩類不同的事物之間進行類比就是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他對比，找出若干相同或相似點之后，推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式，方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式，類比推理是否正確是需要證明的。類比推理是否正確是需要證明的。實驗、觀察實驗、觀察概括、推廣概括、推廣猜測一般性結(jié)論猜測一般性結(jié)論從具體問題從具體問題出發(fā)出發(fā)歸納、歸納、類比類比提出提出猜想猜想觀察、分析、觀察、分析、比較、比較、聯(lián)想聯(lián)想35,1,2P作業(yè)