利用均值不等式證明不等式

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1、1，利用均值不等式證明不等式 （1）均值不等式：設(shè)是n個(gè)正實(shí)數(shù)，記 它們分別稱為n個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)。有如下關(guān)系：.等號(hào)成立的充要條件是。 先證 證法三： 上述不等式在數(shù)學(xué)競賽中應(yīng)用極為廣泛，好的、難的不等式問題往往只需用它們即可解決，而無需過分追求所謂更“高級(jí)”的不等式，這是應(yīng)該引起我們注意的。 例1：求證下列不等式： （1）， （2） （3），其中 證明（1） 當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)。 證明（2

2、） ∴ 證明（3），同理 ，三式相加得 另一方面， 同理， 三式相加得 說明：（1）中涉及到與常數(shù)相關(guān)的不等式的證明問題，通過變形使其出現(xiàn)互為倒數(shù)的因式，利用均值不等式證得。（3）中累加的方法是常用的處理手段。 例2：若且，求證： 證明：左邊 例3：已知是正數(shù)，滿足 求證：（89年聯(lián)賽試題） 證明：，同理：，… ，將以上式子相乘即得證。 例4：，求證： 證明：由有 顯然上式不可能取等號(hào)，故原不等式成立。 說明：注意到的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，當(dāng)一些正數(shù)的倒數(shù)和易于化簡時(shí)，應(yīng)考慮含的均值不等式。 例5：若，求證： 證明：由有 ∵ ，∴上式不可

3、能取等號(hào)。 故原不等式得證。 例6：設(shè)是1，2，…n的一個(gè)排列，求證： 證明：∵是1，2，…n的一個(gè)排列 ∴ 于是 = 而 所以 說明：由于不等式的左邊值的估計(jì)較為不便，且右邊由于排列的任意性導(dǎo)致若直接用均值不等式放縮則“度”太大了，所以本題采用在兩邊均加上的變形處理。 例7：設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證： 證明： 注：本題問題中由可以看得出給了均值定理的提示：，構(gòu)造均值定理是本題的關(guān)鍵。 例8： ,求證: 證明 左邊= . 注:本題多次利用了均值不等式 本題也可以由,再處理. 例9：已知求證： 分析：通過放

4、縮，將異分母化為同分母，從而構(gòu)造成出一些“零件不等式”，最后，將這些“零件不等式”相加，即可得出原不等式的證明。 證明： ① 同理可得 ② ③ 將①、②、③三個(gè)零件不等式相加，得 注：本題的技巧在于將三個(gè)異分母的分式放縮成三個(gè)同分母的分式，構(gòu)造出“零件不等式”①、②、③。 例10：如圖△ABC及其內(nèi)接△DEF分原三角形所得△AEF、△BDF、△CDE中，至少有一個(gè)三角形的面積不大于原△ABC面積的（這里所指△ABC的內(nèi)接三角形DEF，是頂點(diǎn)D、E、F分別在△ABC三條邊上的三角形） 證明：

5、如圖，設(shè)△ABC三邊BC=a，CA=b，AB=c，且AE=e，AF=f，BD=m，BF=n，DC=p，EC=q，逆用公式，并注意到,于是有 ， ， ， 更注意到 若S△CDE、S△AEF、S△BDF皆大于S△ABC的，（*）式不可能成立，故所給四個(gè)三角形面積中，至少有一個(gè)不大于 類似例子很多，望同學(xué)們在做題實(shí)踐中，更多予以總結(jié)，不斷提高自己的分析，歸納解題能力。 例11：已知，，， 求證： 證明：令，則，且 ∴ ∴ ∴ 說明：本題采用變量代換的方式清晰地展現(xiàn)了已知條件與結(jié)論表達(dá)式中變量的關(guān)系。 例12; 設(shè)，求證：，其中都 是非負(fù)整數(shù)，且 分析與

6、解：欲證的不等式涉及到的量較多，為此先考察特殊情形：，即先證明，該不等式關(guān)于輪換對稱，不妨設(shè)，則左－右 ，故式成立 進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，式本身無助于原不等式的證明，其證明方法也不能推廣到原不等式，故需重新考慮式的具有啟發(fā)原不等式證明的其它證法。 考慮常用不等式證明的方法發(fā)現(xiàn)，式可以利用“均值不等式”或證，即 同理：以上三個(gè)式相加即得式。 運(yùn)用此法再考慮原一般問題就簡單多了，仿上，

7、 以上三個(gè)式相加即得待證不等式。 例13:設(shè)銳角滿足，求證： 分析與解：由已知，立即聯(lián)想到長方體得對角線公式： ，令， 以為棱構(gòu)造長方體，則易知：， 同理：， 上面是從條件中隱含的數(shù)形關(guān)系中探索思考解題的途徑，那么，從結(jié)論不等式中觀察到什么呢？由，即是三個(gè)不等式相乘的結(jié)果，就可以再變化為：，這樣也無需構(gòu)造長方體模型，而采用下面的證法： 由，知 都是銳角，

8、 同理：， 將上面三個(gè)不等式兩邊分別相乘，即得待證不等式 通過上例的求解分析過程，我們可以看到問題的本質(zhì). 例14： 設(shè)，求證： 證明 令，則 分兩種情形： （1）時(shí)，. （2）時(shí)，. 點(diǎn)評(píng) 注意到，故先作代換，使的表達(dá)形式更簡單，放縮較為大膽，但要注意時(shí)能取到符號(hào)，放縮不能過頭，最后回到平均值不等式。 例15：設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿足1 求證： 證明：由均值不等式得： 從而 同理 各式相加得 又由題設(shè)得 代入上式即得。 說明：本題充分利用了等號(hào)成立的條件是“” 進(jìn)行代數(shù)式的變形，借助1進(jìn)行消

9、元，使問題得以解決。 所以,不等式得證. 例16： 設(shè)且1. 求證： 證明： ① 由均值不等式得 ， ， . 將以上三個(gè)不等式相加得 因此，所證不等式成立。 注：本題待證的不等式為非齊次不等式，先利用條件“”，將其轉(zhuǎn)化為齊次不等式①，再利用均值不等式使問題獲解。 例:17： 設(shè)a、b、c、d為正數(shù)，且 求證： 分析：本題屬于非齊次不等式，且次數(shù)較高，處理此題的切入點(diǎn)，還是利用已知等式將其齊次化。 證明：由均值不等式 ， 故只須證即須證

10、 ① 令 于是， 式① ② 下面證明式②. ③ 同理， ④ 將式③，④相乘得 因此，所證不等式成立。 例18：設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證： 分析 本題的難點(diǎn)是分母較復(fù)雜，可以嘗試用代換的辦法化簡分母。 證 令 則由此可得 從而 不難算出，對任何正實(shí)數(shù)a，只要 就可取到上述的等號(hào)。 注 代換法（換元法）是常用的化簡分母、去分母、去根號(hào)的一種方法。

11、19：對任意a,b,cR+，證明： （a2+2）（b2+2）（c2+2）≥ 9（ab+bc+ca）. 證明 原不等式a2 b2 c2 +2+4+8 ≥ 9. 由抽屜原理，不妨設(shè)a和b同時(shí)大于等于1，或同時(shí)小于等于1。 則 c2（a2-1）（b2-1）≥ 0 即 a2 b2 c2+ c2≥a2 c2+ b2 c2 由均值不等式，有以及≥. 2+ 3+ 6 ≥ 7. 又由知2+ a2 b2 c2+=2+a2 b2 c2+ ≥ a2 + b2 + a2c2 + b2c2 +2 = (a2 + b2 )+ (a2c2 +1)+

12、( b2c2 +1) ≥2a b+2ac+2bc 2+ a2 b2 c2+≥2a b+2ac+2bc. +得a2 b2 c2 +2+4+8 ≥ 9. 即原不等式成立。 評(píng)注 這是一道美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題。這里用抽屜原理構(gòu)造了一個(gè)局部不等式，結(jié)合算術(shù)－幾何平均值不等式給出了一個(gè)很精巧的證明，本題也可以利用柯西不等式與算術(shù)－幾何平均值來證明。 練習(xí)題 1 ，若且，求證： , 證明： 又 ，故有 所以不等式成立 2，若，求證： 證明： ， 故有 3．設(shè)△ABC內(nèi)切圓半

13、徑為r，,求證： 證明：由于“形似”，我們聯(lián)想到公式 a2+b2+c2≥ab+bc+ca， 于是有 繼續(xù)“聯(lián)想”三角形面積公式及內(nèi)切圓半徑公式： ，及， 就有 從而證明了本題。 4：證明△ABC中，有以下關(guān)系成立： 證明：注意到余弦定理： ， ， ， 于是 即原命題成立 5：如圖，P是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，A′、B′、C′分別是它在對應(yīng)邊上的射影。 求證： 證明：設(shè)PA′=x，PB′=y，PC′=z，△ABC底邊上的高為h，則x+y+z=h，且 命題成立 6： 已知，且均為銳角，求證： 證明：

14、 又， 即 那么 所以 故有不等式成立 7：若，求證： 證明：∵中任意二數(shù)之和為正， ∴中至多有一個(gè)非正，若有一個(gè)數(shù)非正，結(jié)論顯然成立。 若均為正，則 同理： 三式相乘即得證。 說明：應(yīng)用基本不等式和不等式的基本性質(zhì)推證不等式時(shí)應(yīng)注意這些結(jié)論成立的條件。 8：已知，求證： （1997年第26屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題） 證明：∵，又∵ ∴，∴ 同理， 例1：已知：是三角形的三邊，求證： 證明：令，，則 且，則原不等式等價(jià)于 ，左邊拆開為六項(xiàng)，由均

15、值不等式即證得。 9：若為ABC的三邊，，求證： 證明：令 則 則所證不等式的左邊為 說明：換元法是常用的化簡分母，去分母，去根號(hào)的一種方法。 10：已知，，且，， 求證： 證明：令，， 則，，變?yōu)? ，，，要證的不等式邊為 等價(jià)于 （※） 注意到以為邊長可以構(gòu)成三角形，我們令 將其代入（※）即得： 由均值不等式得：，， 上述三式相加即得證不等式。 說明：對于條件，常作代換，， 從而使非奇次不等式變?yōu)槠娲尾坏仁剑硗?，三角形三邊常用的代換為：。 11：已知，，求證 （IMO，2000） 證明：令，，則原不等式變?yōu)? ，這樣就

16、變?yōu)槲覀兪煜さ牟坏仁筋}了。 12：設(shè)為正數(shù)，求證： ++（第39屆IMO預(yù)選題） 證明：由均值不等式++ 同理：++ ++ 所以++ 說明：根據(jù)等號(hào)成立的條件，進(jìn)行了上述變形。 13：設(shè)，求證 （IMO，2001） 證法1：先證， 由 由平均值不等式可知，上式顯然成立，同理可知： 把以上三式相加，就可得所證不等式成立。 說明：對于形如的輪換不等式，根據(jù)不等式的特征，可夠造如下不等式：或 的一系列不等式，，其中的可以用待定系數(shù)法求出。 證法2：令，， 則，，， 故=512 如果，則 = =512 矛盾，故，即原命題成立。 14： 已知正數(shù)且，并滿足 ，求證： 證明：令，由已知條件應(yīng)有： 于是 把以上諸式利用均值不等式，得： 再把上述個(gè)不等式兩邊相乘，得： 即，由于 故有