吉林省東北師范大學附屬中學2015屆高考數(shù)學一輪復習 解三角形學案 理

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1、 吉林省東北師范大學附屬中學2015屆高考數(shù)學一輪復習 解三角形學案 理 知識梳理： 1、直角三角形各元素之間的關系:如圖1,在Rt?ABC中，C=900 ，BC=a，AC=b，Ab=c。 （1）、三邊之間的關系：a2+b2=c2；（勾股定理） （2）、銳角之間的關系：A+B=900 （3）、邊角之間的關系：（銳角三角函數(shù)的定義）： sinA=cosB=ac sinB=cosA=bc ,tanA=1tanB=ab 2、斜三角形各元素之間的關系：如圖2，在?ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。 （1）、三角形內角之間的關系：A+B+C=π ；

2、sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC sinA+B2=cosC2； cosA+B2=sinC2； （2）、三邊之間的關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； （3）、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等；即 asinA= bsinB= csinC=2R (2R為外接圓的直徑) 正弦定理變形： （4）、余弦定理： 余弦定理變形： 3、三角形的面積

3、公式： （1）、S?ABC= 12aha= 12bhb= 12chc（ha，hb，hc分別表示a，b，c三邊上的高） 1 / 10 （2）、S?ABC=12absinC=12bcsinA=12casinB （3）、S?ABC=2R2sinAsinBsinC=abc4R (2R為外接圓的直徑) （4）、S?ABC=ss-as-b（s-c） ；s=12（a+b+c）(高考了解) （5）、S?ABC=rs（r為內切圓半徑，s=12（a+b+c）） 4、解三角形：由三角形的六個元素（即三個內角和三條邊）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其它未知元素的問題叫做解三角形，這里所說的元

4、素還可以包括三角形的高、中線、角平分線、內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等，解三角形問題一般可以分為下面兩個情形：若給出是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形為斜三角形，則稱為解斜三角形。 5、實際問題中的應用。 （1）、仰角和俯角： （2）、方位角： （3）、坡度角： （4）、距離、角度的測量 測量距離問題；測量高度問題；測量角度問題。 二、題型探究 探究一：利用正余弦定理解三角形 例1: (2014安徽)（本小題滿分12分）設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求的值.

5、 探究二:求三角形的面積 例3：已知a、b、c分別表示A、B、C的對邊，A，B，C成等差數(shù)列，cosA=45 ，b=3 （1）、求sinC的值 （2）、求?ABC的面積。 例4：已知?ABC三個內角A、B、C成等差數(shù)列，其外接圓的半徑為1，且有 sinA-sinC+ 22 cos(A-C)=22 （1）、求A，B，C大?。? 例5：已知?ABC三個內角A，B，C成等差數(shù)列，三邊a、b、c成等比數(shù)列，證明：?ABC為正三角形。 探究三：判斷三角形的形狀 例5：

6、在?ABC中，已知asinA=bsinB，試判斷三角形的形狀； 例6：在?ABC中，已知acosA=bcosB，試判斷三角形的形狀； 例7：在?ABC中，已知acosB=bcosA，試判斷三角形的形狀； 探究四：正余定理的實際應用 (2014上海)（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 如圖，某公司要在兩地連線上的定點處建造廣告牌，其中為頂端，長35米，長80米，設在同一水平面上，從和看的仰角分別為. （1） 設計中是鉛垂方向，若要求，問的長至多為多少（結果精確到0.01米）？ （2） 施工完成后.與鉛垂方向有偏差

7、，現(xiàn)在實測得求的長（結果精確到0.01米）？ 三、方法提升： （1）、解斜三角形的常規(guī)思維方法： 已知兩角和一邊，可先用正弦定理解； 已知兩邊和夾角，先用余弦定理，之后再用正弦定理； 已知兩邊及一邊所對的角，應用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，這種情況要結合圖形討論解的情況； 已知三邊，用余弦定理。 （2）、三角形的內切圓半徑R=2S?ABCa+b+c ，特別地，R直=a+b-c斜2 （3）、三角形中中射影定理 （4）、兩內角與正弦關系：在?ABC中，A

8、tanA+tanB+tanC(斜三角形) （6）、銳角三角形中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC; tanAtanBtanC>1 四、反思感悟

9、 五、課時作業(yè) 正弦、余弦定理的應用 一、選擇題（每小題6分，共60分） 1在△ABC中，“”是“”的 （ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2△ABC中，∠A，∠B的對邊分別為a,b，且∠A=60，，那么滿足條件的△ABC（ ） A．有一個解 B．有兩個解 C．無解

10、 D．不能確定 3在三角形中, 如果, 那么這個三角形是 （ ） A．直角三角形 B． 銳角三角形 C．鈍角三角形 D． 直角三角形或鈍角三角形 4已知中，，，，那么角等于 （ ） A． B． C． D． 5的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且 ，則 A． B． C． D． 6在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A=,a=,b=1，則c= (

11、 ) A 1 B 2 C —1 D 7在中，AB=3，AC=2，BC=，則 ( ) A． B． C． D． 8在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+c2-b2ac,則角B的值為 （ ） A. B. C.或 D.或 9設A是△ABC中的最小角，且，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)＞－1 C．－1＜a≤3 D．a(chǎn)＞0 10在△A

12、BC中，若三個內角A，B，C成等差數(shù)列且A