三角函數(shù)的概念

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1、第1頁共9頁 三角函數(shù)的概念 【復(fù)習(xí)要求】 1 能借助單位圓理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，能判斷三角函數(shù)的符號. 【知識要點(diǎn)】 1 任意角的三角函數(shù) 設(shè)a是一個任意角，它的終邊上任意一點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x, y), OP|= r，我們規(guī)定: 比值y叫做a的正弦，記作 sin a,即 sin a=y； r r x x 比值-叫做a的余弦，記作 COS a,即 COS a= -； r r 比值 X(XM 0)叫做a的正切，記作 tan a,即 tan a= f 2 三角函數(shù)值的符號 各象限的三角函數(shù)值的符號如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切， 四余弦. J + y + - y

2、 i+ - y O S1X O 龍 o + + Sat X la 3 三角函數(shù)線 如下圖，設(shè)角 a的終邊與單位圓交于點(diǎn) P,過 P 作 PM 丄 x 軸，垂足為 M，過 A(1,0)作 單位圓的切線與 a的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn) T 則，有向線段 MP 為正弦線；有向線段 OM 為余弦線；有向線段 AT 為正切線. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1若點(diǎn) P 在角 2 啲終邊上，且 P 的坐標(biāo)為(-1, y)，則 y 等于 _ 3 解析：因?yàn)?tan2-n=- 3 =-y,所以 y= ,3. 3 答案：3 第2頁共9頁 2 n 2 若點(diǎn) P 在角的終邊上，且 0P = 2(0 為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn) P 的

3、坐標(biāo)是 _ . 解析：因?yàn)榻莬n的終邊落在第二象限， 所以可設(shè) P(x, y),其中 xv 0, y 0, x 2 2= cos |n x=-1, 由題意得 即 2= sin|n ， 所以 P(- 1 , 3) 答案：(1, 3) 3. _ 已知 sin 2 0 ,且 |cos 0|= cos 0,則點(diǎn) P(tan 0, cos 0)在第 _ 象限. n 解析：法一：由 sin 2 0 ,得 2k n+ n K2kn+ 2 n(k) , k n+ 2 kn+ ) 當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí)，0的終邊在第四象限； 當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)，0的終邊在第二象限. 又因 cos 0 0,所以0的終邊在左半坐標(biāo)平面(包

4、括 y 軸),所以0的終邊在第二象限. 所以 tan 00, cos 00，點(diǎn) P 在第三象限. 法二：由 |cos 0|= cos 0知 cos 0W 0, 又 sin 2 0 0 , tan 0v 0. 因此，y= 1+ 1 1 = 1. 答案：1 【例題精析】 考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義 例 1 已知角0的終邊經(jīng)過點(diǎn) P( 3 , m)(m0)且 sin 0=42m，試判斷角0所在的象限，并 求 cos 0和 tan 0的值.第3頁共9頁 解 由題意得，r = 寸 3 + m2,所以 一： m 2 = 乎口. 寸 3+ m 4 因?yàn)?mM 0,所以 m=.5，故角B是第二或第三象限角. 當(dāng) m

5、= ,5 時(shí)，r = 2 2,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(一主:3, 5)，角B是第二象限角， 當(dāng) m= ,5 時(shí)，r = 2 2,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(一 .3, 5)，角0是第三象限角, 方法歸納(1)已知角a終邊上一點(diǎn) 用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角a的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn) 的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題. 若直線的傾斜角為特殊角， 也可直接寫出角 a的三角函數(shù)值. 遷移練習(xí) 1 : 1.已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為 P,申，貝U tan a= _ . 解析：由 0P2= x2 + 3= 1，得 x= 2, tan a= 土. 3. 答案：土

6、. 3 2.已知角 a的終邊經(jīng)過點(diǎn) P(m, 3)，且 cos a= ,貝V m= _ . 5 解析：由題意可知，cos a=丁 m = 4,解得 m= 4. pm2+ 9 5 答案：4 考點(diǎn)二 三角函數(shù)的符號 cca z 例 2 (1 )若 sin aan a0,且 - 0,則角a是第 象限角. tan a (2)若0是第二象限角，則 如警直_ 0.(判斷大小) cos(sin 0 - 解：(1)由 sin atan a0 可知 sin a, tan a異號，從而 a為第二或第三象限角. 由? 0 可知 cos a, tan a異號，從而a為第三或第四象限角，故 a為第三象限角 tan a

7、(2) / 0 是第二象限角, 1cos 00,0sin 01, sin(cos 0)0, sin (cos 0) M , cos2 , sin , cos , tan 中能確定為正 2 2 2 值的有 _ .第5頁共9頁 考點(diǎn)三三角函數(shù)線的應(yīng)用 例 3 寫出滿足下列條件的角的集合. (1)sin x (2) ta n x- 1; (3) sin x -寸且 cos x2. 解在單位圓中畫出符合條件的角的范圍如圖 n 3 n 示，用集合表示為x|2kn+才三 xW 2kn+4 , k (Z. 符合條件的角的范圍如圖 陰影部分所示， n n 用集合表示為x|kn- 4W xkn+ 2, k. n

8、 n 符合條件的角的范圍如圖(3)中陰影部分所示，用集合表示為 x|2kn- 6x 0，所以 sin2xv*所以弓 sin xv3利用三角函數(shù)線畫出 滿足條件的角的范圍(如圖陰影部分所示)， 陰影部分所 第6頁共9頁 所以函數(shù) y= lg(3 4sin2x)的定義域?yàn)?n kn 3, kn+3， 視皚毎(2)y= yjsnx的定義域?yàn)?_ . 解析：因?yàn)?sin x23，作直線 y=#交單位圓于 A、B 兩點(diǎn)，連結(jié) OA、OB,則 OA 與 OB 圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角 x 的終邊的范 , n 2 n 圍，故滿足條件的角 x 的集合為x|2kn+ 3 xw 2kn+m，k. n 2

9、n 答案：x|2kn+ x 2kn+r k Z 3 3 例 4 設(shè)角x為銳角，求證：sin x ： x ： tan x 遷移練習(xí) 4: (2)設(shè)B是第二象限角，試比較 sin 扌，cos, tan的大小. (2)因?yàn)锽是第二象限角， n 所以 2 工 2knn+ 2k n，kZ， n 0 n 所以 4+ kn?+ kn kZ， 所以 2 是第一或第三象限角. 如圖陰影部分，結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得： 當(dāng) 2 是第一象限角時(shí)， sin 0= AB， cos 0= OA， tan 0= CT， 2 2 2 0.0 0 從而得，cos 2sin 2tan 當(dāng) 2 是第三象限角時(shí)， sin 2 =

10、 EF， cos ?= OE， tan ? = CT， 0 0 0 得 sin 2cos 2tan 綜上可得，當(dāng) 2 是第一象限角時(shí)，cos 0sin 0tan 0; 當(dāng) 2 是第三象限角時(shí)， sin 0cos 0ta n 0 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1角a的終邊過點(diǎn) P( 1,2)，則 sin a等于 _ . 答案5 解析 由三角函數(shù)的定義，得 2、5 5 2若a是第三象限角，則下列各式成立的是 _ .(填序號) 第7頁共9頁 sin a+ COS a0 ； tan a sin a0 ; cos a tan a0. 4.點(diǎn) P 從(1,0)出發(fā)，沿單位圓 x2 + y2= 1 按逆時(shí)針方向運(yùn)動 芻弧長

11、到達(dá)點(diǎn) Q,則點(diǎn) Q 的坐 3 標(biāo)為_ . 2 n 2 n 解析 由弧長公式 I, i=2n，r = i， 得點(diǎn)P按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過的角度為a= 2n， 所以點(diǎn) Q的坐標(biāo)為cos % sin 養(yǎng)即一 2，爭j. 5. _ 如果點(diǎn)(sin 0, tan 0)在第三象限，則2 的終邊在第 _ 象限 答案二或四 解析由已知0為第四象限角， n 2+ 2k n2knk Z), . n 0 4+也艸 Z), 當(dāng) k 取奇數(shù)時(shí)，0在第二象限； 當(dāng) k 取偶數(shù)時(shí)，0在第四象限. 6. 在直角坐標(biāo)系中， O 是原點(diǎn)，A( 3, 1)，將點(diǎn) A 繞 O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90。到B 點(diǎn)，貝 U B 點(diǎn)坐標(biāo)為 _ . 解

12、析：依題意知 OA= OB= 2, ZAOx = 30 /BOx = 120設(shè)點(diǎn) B 坐標(biāo)為(x, y),所以 x =2cos 120 = 1, y= 2sin 120 = 3，即 B( 1, 3). 答案：(一 1,. 3) 3 n . 3 n 7. 若角B的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn) _ P cos；4, sinT，則sin 3= ,tan 3= _ 答案 3.函數(shù)y二 sin x tan x cosx - _ -sin x tan x 的值域是 答案 第8頁共9頁 解析：因?yàn)?的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn) P cos3n, sinj,所以3的終邊所在直線為 y= x,則3在第二或第四象限.第9頁共9頁

13、所以 sin 3= _22或 與，tan 3= 1. 答案：孑或* 1 答案：7 5 3 1 10 .已知角 a的終邊經(jīng)過點(diǎn) P(x, 2)(XM 0)，且 cos a=*X,貝U Sin a+ 的值為 6 tan a 因?yàn)?XM0,所以 x= 土. 10.所以 r = 2 3. 當(dāng) x = .10 時(shí)，P 點(diǎn)坐標(biāo)為(.10,： 2), 由三角函數(shù)的定義， 有 sin a= 2;3 =石，tan 所以 sin a+F=二6 5 = tan a 6 、 當(dāng) x = 10 時(shí)，同理可求得 sin 答案：沁一或 u 11.已知點(diǎn) P（sin a cos a, tan a在第一象限，則在0,2 n內(nèi)，

14、a的取值范圍是 解析： 由已知 sin a cos a0, tan a0 故 a，jjujn 于. &函數(shù) y= ,sin x+ 2 cos X的定義域是 解析: sin x 0, 由題意知 0, sin x 0, 即 s 2 cos x 2- , n 所以 x 的取值范圍為 3+ 2k n90 ,即 A90 B,則 sin Asin (90 sin 0 cos 0 B) = cos B, sin A cos B0，同理 cos A sin C0，所以點(diǎn) P 在第四象限，卜和 q + |cos 0 + 答案：1 13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一單位圓的圓心的初始位置在 (0,1)

15、,此時(shí)圓上一點(diǎn) P 的位置在(0,0),圓在 x 軸上沿正方向滾動.當(dāng)圓滾 動到圓心位于(2,1)時(shí)，OP 的坐標(biāo)為 _ . 2 解析：設(shè) A(2,0), B(2,1)，由題意知劣弧 PA 長為 2,/ABP = - = 2. 設(shè) P(x, y)，貝 U x= 2 1X cos? 才卜 2 sin 2, y= 1 + 1 x sin? 尸 1 cos 2, 所以 OP 的坐標(biāo)為(2 sin 2,1 cos 2). 答案：(2 sin 2,1 cos 2) 14. 閱讀下列命題： 若點(diǎn) P(a,2a) (a 0)為角a終邊上一點(diǎn)，貝U sin a= 學(xué)； 5 同時(shí)滿足 sin a= , cos

16、a=23的角有且只有一個； 設(shè) tan a= 1 且 n0 ( 0為象限角)，則0在第一象限.其中正確命題為 _ .(將 正確命題的序號填在橫線上 ) & 解析中，當(dāng)a在第三象限時(shí)， sin a=今5，故錯. 5 中，同時(shí)滿足 sin a=1, cos a= 的角為a= 2k n n (k Z)，不只有一個，故錯. 正確.0可能在第一象限或第四象限，故 錯.綜上選 . 15. (1)設(shè) 90 a180 角 a 的終邊上一點(diǎn)為 P(x, V5),且 cos a=x,求 sin a與 tan a 的值； 已知角0的終邊上有一點(diǎn) P(x, 1)(xM0)，且 tan 0= X,求 sin 0, 解：

17、(1)因?yàn)?r= px2，所以 cos a= -/ X X , px2+ 5 從而承；+ 5， 解得 x= 0 或 x= 土. 3. 因?yàn)?90 a180 所以 x0,因此 x= ,3. sin a= V5 =Vi0 2.2= 4 sin C)，貝 諾+謝+器的值是 tan 0 |tan 0| =1 + 1 1 = 1. 7t cos 0. 第12頁共9頁 tan a= 因?yàn)锽的終邊過點(diǎn)（x, 1）, 1 所以 tan =-, x 又 tan 0= x,所以 x2 = 1,所以 x= 1. 3*1 cos2 a 2 co資 Ita net 16化簡： si na si na 1, G為第一象限角； & 5, 為第二象限角； 解：原式 一 -5,。為第二象限角； -1，a為第四象限角。 當(dāng) x = 1 時(shí), sin 0= cos 0= 當(dāng) x = 1 時(shí), sin 0= cos 0=