14高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之十四 第十四章極限與導(dǎo)數(shù)
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1、2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之十四 第十四章 極限與導(dǎo)數(shù) 一、 基礎(chǔ)知識(shí) 1.極限定義:(1)若數(shù)列{un}滿足,對(duì)任意給定的正數(shù)ε,總存在正數(shù)m,當(dāng)n>m且n∈N時(shí),恒有|un-A|<ε成立(A為常數(shù)),則稱(chēng)A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限,記為,另外=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A,稱(chēng)右極限。類(lèi)似地表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。 2.極限的四則運(yùn)算:如果f(x)=a, g(x)=b,那么[f(x)g(x)]=ab, [f(x)?g(x)]=ab, 3.連續(xù):如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義,且f(x)存在,
2、并且f(x)=f(x0),則稱(chēng)f(x)在x=x0處連續(xù)。 4.最大值最小值定理:如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5.導(dǎo)數(shù):若函數(shù)f(x)在x0附近有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)(Δx充分?。蜃兞縴也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在,則稱(chēng)f(x)在x0處可導(dǎo),此極限值稱(chēng)為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率),記作(x0)或或,即。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義,且在每一點(diǎn)可導(dǎo),則稱(chēng)它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是:f(x)在點(diǎn)x0
3、處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。 6.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)=0(c為常數(shù));(2)(a為任意常數(shù));(3)(4);(5);(6);(7);(8) 7.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:若u(x),v(x)在x處可導(dǎo),且u(x)≠0,則 (1);(2);(3)(c為常數(shù));(4);(5)。 8.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法:設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x),已知(x)在x處可導(dǎo),f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo),且(f[(x)]=. 9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì):(1)若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo),則f(x)在I上連續(xù);(2)若對(duì)一切x
4、∈(a,b)有,則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增;(3)若對(duì)一切x∈(a,b)有,則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。 10.極值的必要條件:若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,則 11.極值的第一充分條件:設(shè)f(x)在x0處連續(xù),在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo),(1)若當(dāng)x∈(x-δ,x0)時(shí),當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí),則f(x)在x0處取得極小值;(2)若當(dāng)x∈(x0-δ,x0)時(shí),當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí),則f(x)在x0處取得極大值。 12.極值的第二充分條件:設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo),在x=x0處二階可導(dǎo),且。(1)若,則f(x
5、)在x0處取得極小值;(2)若,則f(x)在x0處取得極大值。 13.羅爾中值定理:若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且f(a)=f(b),則存在ξ∈(a,b),使 [證明] 若當(dāng)x∈(a,b),f(x)≡f(a),則對(duì)任意x∈(a,b),.若當(dāng)x∈(a,b)時(shí),f(x)≠f(a),因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù),所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一個(gè)不等于f(a),不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m,則c∈(a,b),且f(c)為最大值,故,綜上得證。 14.Lagrange中值定理:若f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),則存在ξ∈(
6、a,b),使 [證明] 令F(x)=f(x)-,則F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且F(a)=F(b),所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0,即 15.曲線凸性的充分條件:設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),(1)如果對(duì)任意x∈I,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的;(2)如果對(duì)任意x∈I,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱(chēng)上凸函數(shù)為凸函數(shù),下凸函數(shù)為凹函數(shù)。 16.琴生不等式:設(shè)α1,α2,…,αn∈R+,α1+α2+…+αn=1。(1)若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù),則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)
7、+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法與例題
1.極限的求法。
例1 求下列極限:(1);(2);(3);(4)
[解](1)=;
(2)當(dāng)a>1時(shí),
當(dāng)0
8、x)2,試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。
[解] 當(dāng)x∈[0,1)時(shí),有f(x)=x(1-x)2,在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t,則x=t-1,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1),因?yàn)閠-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時(shí),有f(t)=2(t-1)?(2-t)2;同理,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),令x+1=t,則當(dāng)t∈[2,3)時(shí),有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以
所以
,所以f(x)=f(x)=f(2)=0,所以 9、f(x)在x=2處連續(xù)。
3.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。
[解] 因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則,切線的斜率為,所以切線方程為y-y0=,即。又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)(2,0),所以,所以x0=1,所以所求的切線方程為y=-(x-2),即x+y-2=0.
4.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。
例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=sin(3x+1);(2);(3)y=ecos2x;(4);(5)y=(1-2x)x(x>0且)。
[解] (1)3cos(3x+1).
(2)
(3)
(4)
(5)
5.用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。
例6 設(shè)a>0, 10、求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。
[解] ,因?yàn)閤>0,a>0,所以x2+(2a-4)x+a2>0;x2+(2a-4)x+a+<0.
(1)當(dāng)a>1時(shí),對(duì)所有x>0,有x2+(2a-4)x+a2>0,即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;(2)當(dāng)a=1時(shí),對(duì)x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0,即,所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)遞增,又f(x)在x=1處連續(xù),因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增;(3)當(dāng)00,解得x<2-a-或x>2-a+,因此,f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào) 11、遞增,在(2-a+,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增,而當(dāng)2-a- 12、極值,試求a與b的值,并指出這時(shí)f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。
[解] 因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上連續(xù),可導(dǎo),又f(x)在x1=1,x2=2處取得極值,所以,又+2bx+1,所以解得
所以.
所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),,所以f(x)在(0,1]上遞減;
當(dāng)x∈(1,2)時(shí),,所以f(x)在[1,2]上遞增;
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),,所以f(x)在[2,+∞)上遞減。
綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值,在x2=2處取得極大值。
例9 設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1],試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解 13、] 首先,當(dāng)x∈[0,π],y∈[0,1]時(shí),
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x,令g(x)=,
當(dāng)時(shí),因?yàn)閏osx>0,tanx>x,所以;
當(dāng)時(shí),因?yàn)閏osx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以;
又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù),所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。
又因?yàn)?<(1-y)x 14、
當(dāng)y=1時(shí),f(x,y)=-sinx+sinx=0;當(dāng)y=1時(shí),f(x,y)=sinx≥0.
綜上,當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí),f(x,y)取最小值0。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1.=_________.
2.已知,則a-b=_________.
3._________.
4._________.
5.計(jì)算_________.
6.若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且存在,則_________.
7.函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo),且,則_________.
8.若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0,則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)______ 15、__.
9.函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)________.
11.若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,求實(shí)數(shù)a.
12.求sin290的近似值。
13.設(shè)0
16、
7.過(guò)拋物線x2=2py上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為_(kāi)________.
8.當(dāng)x>0時(shí),比較大?。簂n(x+1) _________x.
9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_(kāi)________,最小值為_(kāi)________.
10.曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t),則S(t)的最大值為_(kāi)________.
11.若x>0,求證:(x2-1)lnx≥(x-1)2.
12.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),且>0,x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x 17、)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程,另設(shè)g(x)=kx+m,(1)用x0,f(x0),表示m;(2)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)≥f(x);(3)若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立,其中a,b為實(shí)數(shù),求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。
13.設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+,證明:xn≤1(n∈N+).
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1.設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0?只取0或1(i=1,2,…,n-1),an=1},Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù),Sn是Mn中所有元素的和,則_________.
2.若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288,則___ 18、______.
3.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),
,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集為_(kāi)________.
4.曲線與的交點(diǎn)處的切線夾角是_________.
5.已知a∈R+,函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)________.
6.已知在(a,3-a2)上有最大值,則a的取值范圍是_________.
7.當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)=恒成立,則y=lg(a2-a+3)的最小值為_(kāi)________.
8.已知f(x)=ln(ex+a)(a>0),若對(duì)任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x 19、)|+ln[]<0恒成立,則實(shí)數(shù)m取值范圍是_________.
9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函數(shù)f(x)的最大值;(2)設(shè)0
20、(2)討論gA(x)的單調(diào)性;
(3)若x1∈Ik=[k2,(k+1)2],x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2],證明:
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1.證明下列不等式:(1);
(2)。
2.當(dāng)01.
2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之十八
第十八章 組合
一、方法與例題
1.抽屜原理。
例1 設(shè)整數(shù)n≥4,a1,a2,…,an是區(qū)間(0,2n)內(nèi)n個(gè)不同的整數(shù),證明:存在集合{a1,a2,…,an}的 21、一個(gè)子集,它的所有元素之和能被2n整除。
[證明] (1)若n{a1,a2,…,an},則n個(gè)不同的數(shù)屬于n-1個(gè)集合{1,2n-1},{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屜原理知其中必存在兩個(gè)數(shù)ai,aj(i≠j)屬于同一集合,從而ai+aj=2n被2n整除;
(2)若n∈{a1,a2,…,an},不妨設(shè)an=n,從a1,a2,…,an-1(n-1≥3)中任意取3個(gè)數(shù)ai, aj, ak(ai, 22、數(shù)之差不被n整除;不妨設(shè)a1與a2之差(a2-a1>0)不被n整除,考慮n個(gè)數(shù)a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an-1。
?。┤暨@n個(gè)數(shù)中有一個(gè)被n整除,設(shè)此數(shù)等于kn,若k為偶數(shù),則結(jié)論成立;若k為奇數(shù),則加上an=n知結(jié)論成立。
ⅱ)若這n個(gè)數(shù)中沒(méi)有一個(gè)被n整除,則它們除以n的余數(shù)只能取1,2,…,n-1這n-1個(gè)值,由抽屜原理知其中必有兩個(gè)數(shù)除以n的余數(shù)相同,它們之差被n整除,而a2-a1不被n整除,故這個(gè)差必為ai, aj, ak-1中若干個(gè)數(shù)之和,同?。┛芍Y(jié)論成立。
2.極端原理。
例2 在nn的方格表的每個(gè)小方格內(nèi)寫(xiě)有一個(gè)非負(fù)整數(shù),并且在某 23、一行和某一列的交叉點(diǎn)處如果寫(xiě)有0,那么該行與該列所填的所有數(shù)之和不小于n。證明:表中所有數(shù)之和不小于。
[證明] 計(jì)算各行的和、各列的和,這2n個(gè)和中必有最小的,不妨設(shè)第m行的和最小,記和為k,則該行中至少有n-k個(gè)0,這n-k個(gè)0所在的各列的和都不小于n-k,從而這n-k列的數(shù)的總和不小于(n-k)2,其余各列的數(shù)的總和不小于k2,從而表中所有數(shù)的總和不小于(n-k)2+k2≥
3.不變量原理。
俗話說(shuō),變化的是現(xiàn)象,不變的是本質(zhì),某一事情反復(fù)地進(jìn)行,尋找不變量是一種策略。
例3 設(shè)正整數(shù)n是奇數(shù),在黑板上寫(xiě)下數(shù)1,2,…,2n,然后取其中任意兩個(gè)數(shù)a,b,擦去這兩個(gè)數(shù),并寫(xiě)上| 24、a-b|。證明:最后留下的是一個(gè)奇數(shù)。
[證明] 設(shè)S是黑板上所有數(shù)的和,開(kāi)始時(shí)和數(shù)是S=1+2+…+2n=n(2n+1),這是一個(gè)奇數(shù),因?yàn)閨a-b|與a+b有相同的奇偶性,故整個(gè)變化過(guò)程中S的奇偶性不變,故最后結(jié)果為奇數(shù)。
例4 數(shù)a1, a2,…,an中每一個(gè)是1或-1,并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0. 證明:4|n.
[證明] 如果把a(bǔ)1, a2,…,an中任意一個(gè)ai換成-ai,因?yàn)橛?個(gè)循環(huán)相鄰的項(xiàng)都改變符號(hào),S模4并不改變,開(kāi)始時(shí)S=0,即S≡0,即S≡0(mod4)。經(jīng)有限次變號(hào)可將每個(gè)ai都變成1,而始終有S≡0(mod4 25、),從而有n≡0(mod4),所以4|n。
4.構(gòu)造法。
例5 是否存在一個(gè)無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列a1, 26、箭頭,如果此時(shí)對(duì)每個(gè)頂點(diǎn),指向它的箭頭數(shù)均為偶數(shù),則命題成立。若有某個(gè)頂點(diǎn)A,指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù),則必存在另一個(gè)頂點(diǎn)B,指向它的箭頭數(shù)也為奇數(shù)(因?yàn)槔饪倲?shù)為偶數(shù)),對(duì)于頂點(diǎn)A與B,總有一條由棱組成的“路徑”連結(jié)它們,對(duì)該路徑上的每條棱,改變它們箭頭的方向,于是對(duì)于該路徑上除A,B外的每個(gè)頂點(diǎn),指向它的箭頭數(shù)的奇偶性不變,而對(duì)頂點(diǎn)A,B,指向它的箭頭數(shù)變成了偶數(shù)。如果這時(shí)仍有頂點(diǎn),指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù),那么重復(fù)上述做法,又可以減少兩個(gè)這樣的頂點(diǎn),由于多面體頂點(diǎn)數(shù)有限,經(jīng)過(guò)有限次調(diào)整,總能使和是對(duì)每個(gè)頂點(diǎn),指向它的箭頭數(shù)為偶數(shù)。命題成立。
5.染色法。
例7 能否在55方格表內(nèi)找到一條線路 27、,它由某格中心出發(fā),經(jīng)過(guò)每個(gè)方格恰好一次,再回到出發(fā)點(diǎn),并且途中不經(jīng)過(guò)任何方格的頂點(diǎn)?
[解] 不可能。將方格表黑白相間染色,不妨設(shè)黑格為13個(gè),白格為12個(gè),如果能實(shí)現(xiàn),因黑白格交替出現(xiàn),黑白格數(shù)目應(yīng)相等,得出矛盾,故不可能。
6.凸包的使用。
給定平面點(diǎn)集A,能蓋住A的最小的凸圖形,稱(chēng)為A的凸包。
例8 試證:任何不自交的五邊形都位于它的某條邊的同一側(cè)。
[證明] 五邊形的凸五包是凸五邊形、凸四邊形或者是三角形,凸包的頂點(diǎn)中至少有3點(diǎn)是原五邊形的頂點(diǎn)。五邊形共有5個(gè)頂點(diǎn),故3個(gè)頂點(diǎn)中必有兩點(diǎn)是相鄰頂點(diǎn)。連結(jié)這兩點(diǎn)的邊即為所求。
7.賦值方法。
例9 由22的方格紙去掉 28、一個(gè)方格余下的圖形稱(chēng)為拐形,用這種拐形去覆蓋57的方格板,每個(gè)拐形恰覆蓋3個(gè)方格,可以重疊但不能超出方格板的邊界,問(wèn):能否使方格板上每個(gè)方格被覆蓋的層數(shù)都相同?說(shuō)明理由。
[解] 將57方格板的每一個(gè)小方格內(nèi)填寫(xiě)數(shù)-2和1。如圖18-1所示,每個(gè)拐形覆蓋的三個(gè)數(shù)之和為非負(fù)。因而無(wú)論用多少個(gè)拐形覆蓋多少次,蓋住的所有數(shù)字之和都是非負(fù)的。另一方面,方格板上數(shù)字的總和為12(-2)+231=-1,當(dāng)被覆蓋K層時(shí),蓋住的數(shù)字之和等于-K,這表明不存在滿足題中要求的覆蓋。
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29、
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8.圖論方法。
例10 生產(chǎn)由六種顏色的紗線織成的雙色布,在所生產(chǎn)的雙色布中,每種顏色的紗線至少與其他三種顏色的紗線搭配過(guò)。證明:可以挑出三種不同的雙色布,它們包含所有的顏色。
[證明] 用點(diǎn)A1,A2,A3,A4,A5,A6表示六種顏色,若兩種顏色的線搭配過(guò),則在相應(yīng)的兩點(diǎn)之間連一條邊。由已知,每個(gè)頂點(diǎn)至少連出三條邊。命題等價(jià)于由這些邊和點(diǎn)構(gòu)成的圖中有三條邊兩兩不相鄰(即無(wú)公共頂點(diǎn))。因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)的次數(shù)≥3,所以可以找到兩條邊不相鄰,設(shè)為A1A2,A3A4。
(1)若A5 30、與A6連有一條邊,則A1A2,A3A4,A5A6對(duì)應(yīng)的三種雙色布滿足要求。
(2)若A5與A6之間沒(méi)有邊相連,不妨設(shè)A5和A1相連,A2與A3相連,若A4和A6相連,則A1A2,A3A4,A5A6對(duì)應(yīng)的雙色布滿足要求;若A4與A6不相連,則A6與A1相連,A2與A3相連,A1A5,A2A6,A3A4對(duì)應(yīng)的雙色布滿足要求。
綜上,命題得證。
二、習(xí)題精選
1.藥房里有若干種藥,其中一部分藥是烈性的。藥劑師用這些藥配成68副藥方,每副藥方中恰有5種藥,其中至少有一種是烈性的,并且使得任選3種藥恰有一副藥方包含它們。試問(wèn):全部藥方中是否一定有一副藥方至少含有4種烈性藥?(證明或否定)
2. 31、21個(gè)女孩和21個(gè)男孩參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽,(1)每一個(gè)參賽者最多解出6道題;(2)對(duì)每一個(gè)女孩和每一個(gè)男孩至少有一道題被這一對(duì)孩子都解出。求證:有一道題至少有3個(gè)女孩和至少有3個(gè)男孩都解出。
3.求證:存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n,使得可將3n個(gè)數(shù)1, 2,…, 3n排成數(shù)表
a1, a2…an
b1, b2…bn
c1, c2…cn
滿足:(1)a1+b1+c1= a2+b2+c2=…= an+bn+cn=,且為6的倍數(shù)。
(2)a1+a2+…+an= b1+b2+…+bn= c1+c2+…+cn=,且為6的倍數(shù)。
4.給定正整數(shù)n,已知克數(shù)都是正整數(shù)的k塊砝碼和一臺(tái)天平可以稱(chēng)出質(zhì)量為1 32、,2,…,n克的所有物品,求k的最小值f(n)。
5.空間中有1989個(gè)點(diǎn),其中任何3點(diǎn)都不共線,把它們分成點(diǎn)數(shù)各不相同的30組,在任何3個(gè)不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形。試問(wèn):為使這種三角形的總數(shù)最大,各組的點(diǎn)數(shù)應(yīng)分別為多少?
6.在平面給定點(diǎn)A0和n個(gè)向量a1,a2,…,an,且使a1+a2+…+an =0。這組向量的每一個(gè)排列都定義一個(gè)點(diǎn)集:A1,A2,…,An=A0,使得
求證:存在一個(gè)排列,使由它定義的所有點(diǎn)A1,A2,…,An-1都在以A0為角頂?shù)哪硞€(gè)600角的內(nèi)部和邊上。
7.設(shè)m, n, k∈N,有4個(gè)酒杯,容量分別為m,n,k和m+n+k升,允許進(jìn)行如下操作:將一個(gè) 33、杯中的酒倒入另一杯中或者將另一杯倒?jié)M為止。開(kāi)始時(shí),大杯中裝滿酒而另3個(gè)杯子卻空著,問(wèn):為使對(duì)任何S∈N,S
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