壓縮映射原理及其應用數學畢業(yè)論文

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1、 壓縮映射原理及其應用 摘 要: 本文較詳細地論述了Banach空間中的壓縮映射原理，以及它在關于一些問題的解的存在唯一性定理證明中的廣泛應用。 關鍵詞: 抽象函數,不動點,壓縮映射,抽象微分方程,隱函數存在性理 引 言: 壓縮映射原理的研究是算子方程Fx=x的求解問題，它不僅具有實 義，而且對泛函分析理論的發(fā)展起著重大作用。 我們首先介紹不動點和壓縮映射的定義以及壓縮映射原理，并在此基礎上，進一步給出一個推廣的壓縮映射原理。壓縮映射原理不僅指出了算子方程x=Fx的解的存在性和唯一性，而且給出了近似求解的方法及誤差估計，因而是很有用的。微分方程初值問題的解的存在唯一性

2、定理及畢卡(Picard)逐次逼近法就是它的特例。在Banach空間中這一問題將更為普遍。數學分析中的隱函數存在定理也是壓縮映射原理的一個特例。 一、幾個定義及壓縮映射原理 定義1 設X，Y為巴拿赫空間，算子（一般地，F是非線性的）。如果存在有界線性算子使得關系式 對于滿足的是一致成立的，則稱算子F在點處是弗力許（Frchet）可微的，并記，稱為算子F在點處的弗力許導數。 為了給出關于算子的有限增量公式（相當于中值定理），我們引入關于抽象函數的積分的概念。 設x(t)是由實數域到巴拿赫空間X的算子。這種算子通常稱為“抽象函數”。現設x(t)的定義域是區(qū)間[a，b]。將[a

3、，b]分成n個小區(qū)間，分點為 記此分劃為，及在每個小區(qū)間上任取一點，作和式 (*) 定義2 如果對任意的分劃及的任意取法，當時和式(*)都收斂（在X中范數意義下）于同一個元素，則抽象函數x(t)在[a，b]上黎蔓可積的，r稱為x(t)在[a，b]上的黎蔓積分，記為 性質1 設抽象函數x(t)黎蔓可積，則抽象函數在[a，b]上弗力許可薇，且 (**) 定義3 設X為巴拿赫空間，F為由X到X的算子，且D(F)R(F)非空。如果x*∈X滿足 F(x*)=x* 則稱x*為算子F的不動點。換句話說，不動點x*是算子方程 x=F(x

4、) (1) 的解。 定義4 設集合，如果存在常數q∈(0，1)，使得對任意的均有不等式 ||F()-F()||≤q||-|| (2) 則稱F為集合Q上的壓縮算子，q稱為壓縮系數。 定理1(壓縮映射原理) 設算子F映巴拿赫空間X中的閉集Q為自己。且F為Q上的壓縮算子，壓縮系數為q，則算子F在Q內存在唯一的不動點。若為Q中任意一點，作序列 （3） 則序列且。并有誤差估計 (4) 證明：由于FQ故設利用算子F的壓縮性，可依次得到:

5、 （5） 現在估計。利用(5)式可得到 即 （6） 由此可知{}是柯西點列，由X的完備性知存在使得又因Q是閉集故 現在證明是算子F的不動點，由算子F在Q上的壓縮性知其在Q上連續(xù)。事實上，如果則由式(2)知F(于是在式(3)中令n。即得 再證的唯一性。設若另有一不動點則 由于q故上式只能在時成立于是x=至于估計式（4）的證明只需在式（6）中令p。證畢。 壓縮映射原理最常用的兩種特殊情形是Q=X及Q=--

6、--X中的閉球。對于后者，如下列推論所述 推論1設F為閉球上的壓縮算子，壓縮系數為q，R（F）且 （7） 則F在中有唯一不動點且序列（3）收斂于，收斂速度為式（4），初始近似可在中任取。 證明 ： 只要證F映為自己。如果x即則。 二、推廣的壓縮映射原理 設算子F映集合Q為自己。對任一自然數n，算子F的n次冪定義為:當x時令如果已經定義，則令 定理2 設算子F映閉集Q為自己且對某一自然數k算子為Q上的壓縮算子則F在Q中存在唯一的不動點逼近序列（3）收斂于初始近似為任意。 證明 ： 當k=1時即為定理1?，F

7、設k。考察算子G=，根據定理1，G在Q上有唯一的不動點，因為算子F與G在Q上可交換，故有 G（F（））=F（G（ 此即表明F（也是G的不動點。但G的不動點是唯一的，故F（即也是F的不動點。下證唯一。如果另有，滿足，則。但G的不動點是唯一的，故=。證畢。 三、壓縮映射原理的應用 在微分方程，積分方程以及其它各類方程的理論中，解的存在性唯一性以及近似解的收斂性等都是很重要的問題。為了證明一個微分方程,積分方程或其它類型的方程存在解。我們可以將它變成求某一映射的不動點。現在以大家熟悉的一階常微分方程 (8) 為例來說明這一點。求微分方程（8）滿足初始條件的解與求解積

8、分方程 等價。為了求解積分方程（9），我們可以根據f（x，y）所滿足解析條件適當地取一個度量空間，并在這個度量空間中作映射， 于是方程（9）的解就轉化為求使它滿足。也就是求出這樣的，它經映射T作用后仍變?yōu)?，這種稱為映射T的不動點。因此求解方程（8）就變成求映射T的不動點。 考察微分方程 (10) 其中f(x，y)在整

9、個平面內連續(xù)，此外還設f(x，y)關于y滿足李普希茨條件： 則通過點微分方程（10）有一條且只有一條積分曲線。 證明 ： 問題（10）等價于求解下面的積分方程 我們取使用表示在區(qū)間上的連續(xù)函數組成的空間，在中定義算子(映射)F: 則 因，由壓縮映射原理，存在唯一的連續(xù)函數y(x)，使 由此可以看出，y(t)還是連續(xù)可微的，于是y=y(t)便是微分方程(10)通過的積分曲線。但只定義在上，重復利用壓縮映射原理，可以將它延拓到整個數軸上。 四、巴拿赫空間中的微分方程 對于微分方程初值問題的解的各種存在唯一定理，利用壓縮映射原理，可以給出一種很簡單的證明。下面我們在巴

10、拿赫空間中討論這一問題，這樣做具有普遍性，卻并不增加證明的復雜性。 設x(t)為從實數域到某一巴拿赫空間X的抽象函數.我們要討論的是非線性微分方程 (11) 其中F(t,x)是關于兩個變元的非線性算子,實變量,而x是X的元素.F的值域也在X中.的意義與通常理解的相同: 現在假設F為已知,所謂微分方程(11)的初值問題是指求x(t),它滿足(11)及初始條件 (12) 其中。 定理3 設當x為固定且時F(t，x)在上連續(xù)，而當及時有 (13)

11、 (14) 則在[0，a]上初值問題(11)，(12)存在唯一解x(t)，且（當時）。 證明： 所討論的問題等價于積分方程 (15) 事實上，設x(t)是初值問題(11)，(12)的解，則可將x(t)代入方程(15)，再從0到t積分，考慮到條件(12)，即得式（15），反之設x(t)滿足方程（15），注意到當時抽象函數F(s，x(s))連續(xù)，這是因為 又根據x(t)的連續(xù)及F(t，x)對t的連續(xù)性，當且時上式右端的兩項均趨于零。根據式(**)即知 表明x(t)是問題(11)(12)的解。因此，初值問題(11)(12)等價于求方

12、程(15)的解。 記在[0，a]上連續(xù)，在X中取值的抽象函數x(t)的全體所構成的巴拿赫空間為，其范數定義為 考察在中的閉球 則非線性算子 映為自己。這是因為 其中用到了不等式(13)及a的定義。同時，是上的壓縮算子，這是因為由條件（14）知 其中q=al<1（由a之定義）。于是利用壓縮映射原理，方程（15）在球中存在唯一解x(t)。定理得證。 這一定理的不足之處是初值問題（11），（12）的解僅確定在[0，a]上而不是在[0，b]上。對于算子F(t，x)附加以較強條件時可以彌補這個缺陷。 定理4 設算子F(t,x)對每一固定的x,關于連續(xù)且滿足李普希茨

13、條件: 則初值問題(11)、（12）在[0,b]上存在唯一解. 我們給出兩種證明它們都很簡單而富有啟發(fā)性. 第一種證明 如上所述，可等價地討論積分方程（15）。 在巴拿赫空間中考察積分算子 我們有下列估計 由此又有 一般地，我們有 在[0，b]上取最大值，得到 由于當時故對于充分大的n，是中的壓縮算子。于是定理得證. 第二種證明 在巴拿赫空間中引入另一種范數 (顯然)。我們證明積分算子是這種范數下的壓縮算子。事

14、實上 乘以因子，再在[0，b]上取max，得到 故壓縮系數為。定理得證 五、一個特例----隱函數存在定理 定理5 設函數在帶狀域 ， 中處處連續(xù),且處處有關于y的偏導數.如果還存在常數m和M,滿足 ， m

15、分中值定理，存在滿足 由于，所以令，則有0>[M]，國防工業(yè)出

16、版社，1986； [7]葉懷安，《泛函分析》[M]，安徽教育出版社，1984； [8]程其襄等，<〈實變函數與泛函分析基礎〉>[M]，高教出版社，1984； [9]張鳴歧，<〈應用泛函分析引論〉>[M]，北京理工大學出版社，1989。 Abstract: This paper expound the fact compression of Banach shine upon principle ， and about store it in in detail。 Keywords: Abstract function; Do not move a bit; Compress and shine upon; Abstract differential equation; Having theorem of implicit function 10