定積分的計(jì)算和積分不等式數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

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1、本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 定積分的計(jì)算和積分不等式 定積分的計(jì)算和積分不等式 摘要：本文首先介紹了定積分的幾種計(jì)算方法：牛頓—萊布尼茲公式，分部積分法，換元積分法，積分值的估計(jì)。其次再介紹了積分不等式的幾種證明：用微分學(xué)的方法證明積分不等式，利用被積函數(shù)的不等式證明積分不等式，在不等式兩端取變限積分證明新的不等式，利用積分性質(zhì)證明不等式，利用積分中值定理證明不等式。 關(guān)鍵字：定積分；牛頓—萊布尼茲公式；分部積分法；換元積分法 The Definite Integral Compute and I

2、ntegral Inequality Abstract: In this paper, firstly, mainly introduced a few kinds computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of inte

3、gral invariant: using the method of differential calculus to prove integral invariant; making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value

4、theorem to prove integral invariant. Key word: Definite integral; Newton-Leibniz; definite integration by parts; integration by substitution. 引言 數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)中一門重要的基礎(chǔ)課，定積分的計(jì)算和積分不等式無疑是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的方面。定積分的思想源遠(yuǎn)流長，古希臘德謨克利特的“數(shù)學(xué)原子論”、阿基米德的“窮竭法”、劉徽的“割圓術(shù)”都是積分思想的雛形，并且用這些方法求出了不少幾何形體的面積和體積；然而這些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不

5、具有一般性，也不是以嚴(yán)密的理論為基礎(chǔ)的。隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，借助于生產(chǎn)力空前發(fā)展的強(qiáng)大推動(dòng)，出現(xiàn)了開普勒的“同維無窮小方法”，卡瓦列利的“不可分量法”、費(fèi)馬的“分割求和方法”，到17世紀(jì)終于發(fā)生了由量變到質(zhì)變的飛躍。牛頓與萊布尼茲揭示了微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系——微積分基本定理，從而產(chǎn)生了威力無比的微積分，使數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)跨入了變量數(shù)學(xué)，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元。這就是定積分的背景。 定積分的概念及微積分基本公式，不僅是數(shù)學(xué)史上，而且是科學(xué)思想史上的重要里程碑?，F(xiàn)在定積分已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)等領(lǐng)域。在高等數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)、其他的知識(shí)領(lǐng)域以及人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中具有

6、普遍的意義，很多問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與定積分中求“和的極限”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一樣的。我們使定積分真正成為解決許多實(shí)際問題的有力工具，促進(jìn)了積分學(xué)的迅速發(fā)展。定積分的計(jì)算和積分不等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，定積分的計(jì)算方法豐富多彩，許多積分不等式具有重要的應(yīng)用價(jià)值。所以我們要研究定積分的計(jì)算和積分不等式的目的就是：1．學(xué)會(huì)用定積分解決問題，進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)定積分的必要性。2.掌握定積分的常用計(jì)算方法，如變限的定積分的概念，微積分的基本定理和換元積分法及分部積分法等。3.了解積分不等式的常用的證明方法。4.了解定積分相關(guān)的知識(shí)的綜合應(yīng)用。 定積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中。許多問題都可以

7、歸結(jié)為計(jì)算定積分的問題。在定積分中，不僅概念多，而且定理，公式亦處處可見，因此對(duì)定理，公式要深入的把握。因此，定積分的計(jì)算是很重要的。在計(jì)算中，如能直接應(yīng)用公式，則將會(huì)既簡捷，又準(zhǔn)確，起到事半功倍的作用。在本文中，本人首次嘗試對(duì)其中一個(gè)定理進(jìn)行證明以及一些計(jì)算，下面我們就定積分的計(jì)算和積分不等式此論題進(jìn)行討論。 一、定積分的計(jì)算 (一)、牛頓——萊布尼茲公式 1、定理[4]（牛頓——萊布尼茲公式）：若函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)F ，即=， x∈[a,b]，則f在[a,b]上可積，且 =- 這稱為牛頓——萊布尼茲公式，它也常寫成=| 注（i）牛頓——萊布尼茲公式簡稱N

8、—L公式，它是微積分的核心定理，最初分別由牛頓與萊布尼茲在17世紀(jì)下半葉獨(dú)立得到，柯西在19世紀(jì)初給出精確敘述與證明，黎曼在19世紀(jì)中葉給予完善，達(dá)布在1875年給出現(xiàn)在這種表達(dá)形式。 （ii）N—L公式的證明可由Riemann積分的定義及微分中值定理（作用在F上）可推得。 例1 說明“使用”牛頓-萊布尼茲公式為何產(chǎn)生下列錯(cuò)誤？ （1）==2 ； （2）==0 . 解 （1）中被積函數(shù)無界、不可積； （2）中被積函數(shù)在間斷點(diǎn)x =處極限存在，故可積，但是在x =處有無窮間斷點(diǎn)，因此不合公式條件。 例2 計(jì)算 誤解：可以證明= 則由微積分基本公式得：==0 分析：因

9、為 =>0 所以 >0 顯然上述結(jié)論是錯(cuò)誤的。 原因：原函數(shù)=在[0，2]上有間斷點(diǎn)X=1。 正確的解法：令 則在[0，2]上連續(xù)且= 所以，由上述定理3知 =-=+ 0 -0 = 例3 利用定積分求下列極限 = J （1-1） 解 這類問題的解題思想，是要把所求極限化為某個(gè)函數(shù)f ( x )在某一區(qū)間[a ,b]上的積分和的極限。 然后利用牛頓——萊布尼茨公式計(jì)算J = 的值。 由（1-1）式中的根式不是一個(gè)和式，而是一個(gè)連乘積，因此可望通過求對(duì)數(shù)后化為累加形式，為此記

10、 不難看出，是函數(shù)在區(qū)間[0，1]上對(duì)應(yīng)于n等分分割，并取 ，i =1,2,… n 的一個(gè)積分和。 由于 在[0，1]上連續(xù)，且存在原函數(shù) ， 故由定理知道[0，1]，且有 。 于是就可求得 . 注：上面也可看作在[1，2]上的一個(gè)積分和，或者，是在[2，3]上的一個(gè)積分和，…亦即 …。 (二)、定積分換元積分法和分部積分法 1、定理[4]（定積分換元積分法）：若函數(shù)f在[a ,b]上連續(xù)，在[α ,β ]上有連續(xù)可微，且滿足= a， = b，a ≤≤b，t∈[α ,β ]，則有定積分換元公式： =. 注（i）定積分換元積分公式由復(fù)合

11、函數(shù)微分法及N—L公式可得。 (ii)定積分換元積分法實(shí)際上是不定積分第二換元積分法的直接應(yīng)用，只不過使用時(shí)有較大差別：在這里換元之后變量不需回代，但積分限要跟著更換（在去掉根號(hào)的情形下須注意函數(shù)的符號(hào)）。 (iii)對(duì)應(yīng)于不定積分中的第一換元法（即湊微分法），在這里可以不加變動(dòng)地直接應(yīng)用，而且積分限也不需作更改（即仍然采用原來的積分變量）。 （iv）（注意：文中以下提到的C是連續(xù)函數(shù)的集合，R是Riemann可積函數(shù)的集合，在此說明。不另外提示。） [α ,β]可減弱為∈R[α ,β]。進(jìn)一步，定積分換元積分公式中的f ∈[a ,b]可減弱為f ∈[a ,b]，但若的條件稍許加強(qiáng)（證

12、明較為復(fù)雜），則有以下的命題成立： 若f ∈[a ,b]，：[α ,β][a ,b]是一一映射而且還滿足=，=，∈[a ,b]， 那么有=. 證 設(shè)a < b,α<β（即為增函數(shù)）。對(duì)任何分割 通過令，i=1,2,…,n得到對(duì)[a ,b]的一個(gè)分割. 由于在[α ,β]上一致連續(xù)，故當(dāng)時(shí)必有 ，i=1,2,…,n，作積分和； 令，并記. 由于，使，i=1,2,…,n， 因此有 . 于是，由假設(shè)，可知 另一方面，當(dāng)設(shè)，時(shí)，由在[α ,β]上一致連續(xù)，，，使時(shí)，恒有 ，i=1,2,…,n. 于是又有

13、 . 由此可見， 即 例4 計(jì)算 解1 令，得。 有 . 解2 令，得 ，有。 解3 令，得，有. 小結(jié) 例4的三種解法借助于換元積分法，巧妙地運(yùn)用了對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的公式進(jìn)行恒等變形，從而實(shí)現(xiàn)了被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化。 例5 設(shè)函數(shù)和在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)。若滿足條件(常數(shù)) 且是偶函數(shù)，證明：并由此計(jì)算積分 (此題是1995年考研試題(三)中的第八題。) 證 因?yàn)楹瘮?shù)和在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)，得 其中，將代入下式： . 因此， 證明成立。 那么根據(jù)上述題目已知，我們?cè)谥泻苋菀装l(fā)

14、現(xiàn)，就是上述的，就是上述的，所以由我們所證的 可得 由上面的結(jié)論可知 ， 那么 即 . 所以 ， 代入 . 得 . 再來看 = = 2 所以 ==. 例6 證明：（1），； （2）若f 在[0,1]上連續(xù)，且滿足，，k=0,1,…,n-1, 則有 . 證 （1）利用換元積分法，可得 （2）首先，由條件可知 ；又由積分第一中值定理，，使得 ； 再由上面（1），又得 . 這就證得 . 2、定理（定積分分部積分法）[4]：若、為[

15、a ,b]上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分部積分公式： . 注 （i）分部積分可由乘積微分法則及N-L公式直接證之。 （ii）分部積分公式可連續(xù)使用n次，即利用數(shù)學(xué)歸納法及分部積分公式可得下面的命題：若u、v具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么有 (n=1,2,3,…)。 例7 設(shè)f 在[a ,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且f (a) = f (b) =0。證明： （1）； （2）. 證 （1）利用分部積分法，可得 移項(xiàng)后即得結(jié)論成立。 （2）一種證法是直接利用（1）的結(jié)論： 其中

16、的 . 例8 設(shè)f 連續(xù)，f (1) = 1, .試求：. 解 令 2x - t = u, 則 于是有 兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 再令x=1可得. 3、用定積分換元積分法與分部積分法推得的某些特殊結(jié)論：[1] (1)、若f (x) 為以 p為周期的連續(xù)周期函數(shù)，則有 （2）、若，則 （3）、若，則； （4）、若，則； （5）、沃利斯（Wallis）公式： ； （6

17、）、帶積分余項(xiàng)的泰勒公式：若f (x) 在[a ,b]上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么，[,]有 ， 即，稱此為泰勒公式的積分余項(xiàng). 例9 （0≤ε<1） 解 == == == == = == 例10 . 解 依據(jù)結(jié)論[10]：若f(x)在區(qū)間單調(diào)、連續(xù)，其反函數(shù)為。且。則 。 令 ， 得 ， ， 有 小結(jié)：借助于反函數(shù)的性質(zhì)求定積分，可以直接代入公式而得到。 例11 計(jì)算. a >0,

18、 b >0 . 解 因?yàn)? 令 ， 所以 . 這個(gè)變量代換的定積分，注意到被積式是正、余弦的齊次式，倒也不算多難。但是回頭看一下，便會(huì)發(fā)現(xiàn)：被積函數(shù)中，積分變量的取值并無限制。為什么積分區(qū)間只能取[0，]，豈不大大的限制了它的適用范圍！細(xì)看一下，這樣限制區(qū)間，完全是因變量代換（）所致。為擴(kuò)大范圍，先利用變量代換，則時(shí)，，時(shí)， . 所以 這樣，就可把[0，]上的積分化成兩個(gè)[0，]上的積分 即有 故 . 此式還反映了被積函數(shù)關(guān)于的對(duì)稱性，利用，互換，積分值不變。故在[，]上的積分與在[0，]上的積分相同。又因與周期為，

19、于是原積分在任意區(qū)間上的積分都不難求出。 (三)、積分值估計(jì)[3] 有些函數(shù)雖然可積，但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表達(dá)。或說這種函數(shù)的積分“積不出”，無法應(yīng)Newton-Leibniz公式計(jì)算，只能用其他方法對(duì)積分值進(jìn)行估計(jì)，或近似計(jì)算。另一種情況是，被積函數(shù)沒有明確給出，只知道他的結(jié)構(gòu)或某些性質(zhì)，希望對(duì)積分值給出某種估計(jì)。 （1）利用Darboux和估計(jì)積分值 若，表示積分的下、上Darboux和，那么積分存在時(shí)，有估計(jì). 例12 求A，B，使得要求（北京師范1984） 解 將區(qū)間[0，1] n等分，利用的單調(diào)性，每個(gè)小區(qū)間上，端點(diǎn)到達(dá)上、下確界 因此 ，

20、這時(shí) ， 要使 ，只要取， 于是 ， . （2）利用變形求估計(jì)及估計(jì)的應(yīng)用 若f (x) 在[a ,b]上可積，一般來說我們可以通過各種變形來對(duì)積分之值進(jìn)行估計(jì)。例如用變量替換、分部積分、中值公式、Taylor公式等，使積分邊成易于估計(jì)的形式。另外被積函數(shù)放大、縮小，區(qū)間放大和縮小也是獲得估計(jì)的重要方法。 例13 證明.（蘇聯(lián)高校競(jìng)賽1976） 證 令作變換 在中作變換， . 于是 . 在內(nèi)，被積函數(shù) . 個(gè)別點(diǎn)不影響積分值。由例13知。 若f (x) ，g

21、 (x) 在[,]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，則 . 若f (x) ，g (x) 在[,]上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，， 則反復(fù)利用分部積分法可得.此式給出了一個(gè)重要的變形。 二、積分不等式 在積分不等式中，證明的難度較大，技巧性較強(qiáng)，涉及知識(shí)面較廣的問題，本文在高等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)，給出了證明積分不等式的幾種基本方法。我們把聯(lián)系兩個(gè)以上的定積分的不等式，稱為積分不等式。關(guān)于積分不等式，有不少著名的結(jié)果，我們將在這里只介紹證明積分不等式的幾種基本方法以及計(jì)算。 (一)、用微分學(xué)的方法證明積分不等式[11] 例14 設(shè) f (x) 在[0，1]上可微，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，0<<1， f (0)=0。試

22、證： >。（上海交大1980前） 證 問題在于證明>1。 令 ， 利用Cauchy中值定理 (0<ξ<1) (0<η<ξ<1) (二)、利用被積函數(shù)的不等式證明積分不等式[9] 例15 試證 （蘇聯(lián)高校競(jìng)賽 1977） （2-1） 分析 令 t=， . 令 t=，. 欲證的

23、不等式化為 . （2-2） 為此只要證明,當(dāng)時(shí) . （2-3） 注意 ， （2-3）式兩端可改寫成（同名函數(shù)） . （2-4） 因?yàn)樵趦?nèi)，單調(diào)遞增，要證明（2-4）， 只要證明 （2-5） 但因 ， 故 . 原題獲證。 (三)、在不

24、等式兩端取變限積分證明新的不等式[12] 例16 證明：x>0時(shí)，.（吉林大學(xué) 1982） 證 已知 （x>0，只有時(shí)等號(hào)才成立）。 在此式兩端同時(shí)取[0,x]上的積分，得 (x>0). 再次取[0,x]上的積分，得 (x>0). 第三次取[0,x]上的積分，得 (x>0). 即 (x>0). 繼續(xù)在[0,x]上積分兩次，可得

25、 ≤,(0<) 證 不等式的左邊=-==，右邊=， 令 =,在[n, m]上是可積函數(shù)，由定理8有： ≥ 0+≥ 0 此式是一個(gè)恒大于0的二次三項(xiàng)不等式， 滿足 = 4- 4= -≤0, ≥0 , m - n ≥ 0 (五)、利用積分中值定理證明不等式[13] 定理 若函數(shù) f (x) 在[a ,b]上可積，且存在原函數(shù)則至少存在一點(diǎn)∈[a,b]使得 = 例18 證明不等式+>+1 證 不等式變形為-1>-， 左邊:-1==== 右邊: - ===。 注意到<<12, 1<<5<，因此有+>+1 例19

26、利用積分中值定理證明： （2-6） 分析 如果由積分值公式來估計(jì)定積分的值,只能得出 (2-7) 其中M與m分別是在[a ,b]上的最大值與最小值，顯然這是一個(gè)很粗略的估計(jì)，如果改由中值公式來估計(jì)，設(shè)，,則有 （2-8） 一般說來,估計(jì)式(2-8)比(2-7)較為精細(xì). 證 這里使用估計(jì)式(2-8),取,, 算出 , , 由此看到，（2-

27、6）的右部不等式得證；而左部不等式尚差稍許，為此可用以下方法來彌補(bǔ)： ， 這就可以證得（2-6）的左部不等式也成立。 證明積分不等式是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到豐富的技術(shù)手法；在此，我們充分利用微積分的知識(shí)來證明不等式，使一些復(fù)雜的不等式的證明得到更加簡潔的證明，也使得一些不等式的證明變得一題多解，更加說明微積分在我們證明不等式中具有舉足輕重的作用。 例20 證明不等式≤ 證 ∵≥0，故≥0 即 +2+≥0 上式左端為2的二次三項(xiàng)式，故其判別式不大于0， 即 4-4≤0 得 ≤. 例21 已知函數(shù) (x∈R, x≠,n

28、∈N+)的最小值為,最大值為， 記 ,求證：. 證明 因?yàn)? x≠ ，所以 y ≠ 1, 則 △=≥0 即 ≤0 ≤ y ≤ 所以 所以 所以不等式成立。 例22 設(shè)在[a ,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，證明Euler求和公式： （2-9） 此地表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，表函數(shù)在( a ,b]上各整數(shù)點(diǎn)處的值之和。 證 分不同情況證。 若 ，則，此時(shí)，（2-9）式的右端也將等于0， 這是因?yàn)榘捶植糠e分法有

29、 所以公式成立。 若，記 （2-10） 其中 （2-11） （2-12） 因?yàn)? 代入（2-12）式后得 （2-13） 將（2-11）式和（2-13）式代入（2-10）式中，就可得到（2-9）式。 結(jié)束語 科學(xué)研究跨入了新世紀(jì)的門檻,我們看到,數(shù)學(xué)學(xué)科一方面在回顧學(xué)科發(fā)展歷程,另一方面也在展望學(xué)科的發(fā)展前景。數(shù)學(xué)分析中的定積分計(jì)算和積分不等式的

30、學(xué)習(xí)研究方法主要通過典型例題分析和知識(shí)點(diǎn)的概括來完成，也會(huì)適當(dāng)?shù)倪x取一些競(jìng)賽題和考研題進(jìn)行分析。我們要從數(shù)學(xué)分析的典型問題中學(xué)習(xí)解題方法，歸納出新的方法和技巧。 定積分計(jì)算中的換元法與分部積分法是計(jì)算定積分的兩個(gè)基本方法。在使用定積分的換元法時(shí)，首先要注意這種方法對(duì)于變量代換函數(shù)的要求應(yīng)該得到滿足，否則，就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果；其次要注意的是，當(dāng)作了變量代換引入新的積分變量時(shí)，定積分的積分上限與積分下限也必須隨之作相應(yīng)的變換，即所謂“換元須同時(shí)換限”。運(yùn)用定積分的換元積分法與分部積分法可以得到一些與被積函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的積分公式及一些重要積分的積分值，它們是十分有用的，應(yīng)該熟練掌握。在此基礎(chǔ)上我們?cè)?/p>

31、進(jìn)一步研究其深層的意義，我們把有些雖然可積但原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表達(dá)的函數(shù)，或者無法應(yīng)用Newton—Leibniz公式計(jì)算的函數(shù)，運(yùn)用定積分的積分值估計(jì)的方法進(jìn)行計(jì)算。 致 謝 本文是在 教授的悉心指導(dǎo)下完成的，他淵博的知識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目蒲凶黠L(fēng)、認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度是我們畢業(yè)生學(xué)習(xí)的榜樣。從論文的修改到定稿，歐老師都付出了大量的精力和心血，給以我很大的幫助。沒有他的精心指導(dǎo)和幫助，本文是不可能順利完成的。至此論文完成之際，向歐老師致以誠摯的謝意！ 同時(shí)也要感謝在我大學(xué)四年學(xué)習(xí)生活中，數(shù)學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師對(duì)我的關(guān)心、教育和培養(yǎng)。 參考文獻(xiàn) [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分

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