高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理 新人教A版

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1、 第六章 第7節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 [基礎(chǔ)訓(xùn)練組] 1.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577597) 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>2n+1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(   ) A.2           B.3 C.5 D.6 解析:B [∵n=1時(shí),21=2,21+1=3,2n>2n+1不成立; n=2時(shí),22=4,22+1=5,2n>2n+1不成立; n=3時(shí),23=8,23+1=7,2n>2n+1成立. ∴n的第一個(gè)取值n0=3.] 2.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577598)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少應(yīng)取(  ) A.

2、7 B.8 C.9 D.10 解析:B [1+++…+=>,整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至少應(yīng)取8.] 3.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577599)對(duì)于不等式

3、.] 4.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577600)凸n多邊形有f(n)條對(duì)角線,則凸(n+1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n+1)為(  ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 解析:C [邊數(shù)增加1,頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè),它與和它不相鄰的n-2個(gè)頂點(diǎn)連接成對(duì)角線,原來的一條邊也成為對(duì)角線,因此,對(duì)角線增加n-1條.] 5.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577601)用數(shù)學(xué)歸納法證明:“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)”,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為(  ) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 解析:B [n=k+1時(shí)

4、,左端為(k+2)(k+3)…[(k+1)+(k-1)][(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)[2(2k+1)], ∴應(yīng)乘2(2k+1).] 6.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577602)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”,當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=k(k∈N*)命題為真時(shí),進(jìn)而需證n= ________ 時(shí),命題亦真. 解析:n為正奇數(shù),假設(shè)n=k成立后,需證明的應(yīng)為n=k+2時(shí)成立. 答案:k+2 7.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577603)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,則f(k+

5、1)與f(k)的遞推關(guān)系式是 __________ . 解析:∵f(k)=12+22+…+(2k)2, ∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 8.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577604)用數(shù)學(xué)歸納法證明 …> (k>1),則當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)乘上_______, 這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是______________________________________. 解析:因?yàn)榉帜傅墓顬?,所以乘上去的第一個(gè)因式是,最

6、后一個(gè)是,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有+1=2k-2k-1=2k-1項(xiàng). 答案:…2k-1 9.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577605)平面上有n個(gè)圓,每兩圓交于兩點(diǎn),每三圓不過同一點(diǎn),求證這n個(gè)圓分平面為n2-n+2個(gè)部分. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),n2-n+2=1-1+2=2,而一圓把平面分成兩部分,所以n=1命題成立. (2)設(shè)n=k時(shí),k個(gè)圓分平面為k2-k+2個(gè)部分,則n=k+1時(shí),第k+1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn),這2k個(gè)交點(diǎn)分第k+1個(gè)圓為2k段,每一段都將原來所在的平面一分為二,故增加了2k個(gè)平面塊,共有(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2個(gè)部分. ∴對(duì)n=k+

7、1也成立. 由(1)(2)可知,這n個(gè)圓分割平面為n2-n+2個(gè)部分. 10.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577606)已知數(shù)列{xn}滿足x1=,xn+1=,n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論. 解:由x1=及xn+1=, 得x2=,x4=,x6=, 由x2>x4>x6猜想:數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=1時(shí),已證命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即x2k>x2k+2, 易知xk>0, 那么x2k+2-x2k+4=-= =>0, 即x2(k+1)>x2(k+1)+2. 也就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 結(jié)合(1)和(

8、2)知命題成立. [能力提升組] 11.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577607)平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域,則f(n)的表達(dá)式為(  ) A.n+1 B.2n C. D.n2+n+1 解析:C [1條直線將平面分成1+1個(gè)區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個(gè)區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個(gè)區(qū)域;……,n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=個(gè)區(qū)域.] 12.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577608)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N*,f(n)都能被m整除,則m的最大值為(  ) A.18 B.3

9、6 C.48 D.54 解析:B [由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值為36.當(dāng)n=1時(shí),可知猜想成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),猜想成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除;當(dāng)n=k+1時(shí), f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=(2k+7)3k+9+36(k+5)3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值為36.] 13.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577609)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上增添的代數(shù)式是 ________ . 解析:

10、∵當(dāng)n=k時(shí),左側(cè)=1+2+3+…+k2, 當(dāng)n=k+1時(shí),左側(cè)=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2, ∴當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上增添(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 答案:(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 14.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577610)(2018梅州市一模)數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,證明Sn<n- ln. 解:(1)法一:an+1-1=-1=, 所以==-1+, 所以是首項(xiàng)為-2,公差為-1的等差數(shù)列, 所以=-

11、n-1,所以an=. 法二:a2=,a3=,a4=,猜測an=. 下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明: ①當(dāng)n=1時(shí),由題目已知可知a1=,命題成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N)時(shí)成立,即ak=, 那么當(dāng)n=k+1,ak+1===, 也就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 綜上所述,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)證明:設(shè)F(x)=ln(x+1)-x(x>0), 則F′(x)=-1=<0(x>0). 函數(shù)F(x)為(0,+∞)上的減函數(shù),所以F(x)<F(0)=0,即ln(x+1)<0(x>0), 從而ln <,1-<1-ln,an=1-<1-ln(n+2)+ln(n+1), ∴Sn<(1-ln 3+ln 2)+(1-ln 4+ln 3)+…+[1-ln (n+2)+ln (n+1)], ∴Sn

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