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1、
仿真模擬練
(限時(shí)120分鐘,滿分150分)
一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分)
1.(2017山西三區(qū)八校聯(lián)考,理1)已知集合A={x|x2+4x-12<0},B={x|2x>2},則A∩B=( )
A.{x|x<6} B.{x|12,得x>1,則B={x|x>1},
所以A∩B={x|1
2、B.-1 C.i D.-i
答案 D
解析 1-aia+i2 017=-i(a+i)a+i2 017=-i2 017=-(i4)504i=-i.故選D.
3.(2017安徽黃山市二模,理5)在區(qū)間[0,8]上隨機(jī)取一個(gè)x的值,執(zhí)行如圖的程序框圖,則輸出的y≥3的概率為( )
A.13 B.12 C.23 D.34
答案 B
解析 由題意,0≤x≤6,2x-1≥3,∴2≤x≤6.
6
3、)
A.1 B.2π3 C.4π3 D.8π3
答案 D
解析 由三視圖可得底面圓的半徑為3+1=2,圓錐的高為5-1=2,∴原圓錐的體積為13π222=8π3.故選D.
5.在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠:“遠(yuǎn)看巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈”.這首古詩描述的這個(gè)寶塔古稱浮屠,本題說它一共有7層,每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍,共有381盞燈,問塔頂有幾盞燈?你算出頂層有( )盞燈.
A.2 B.3 C.5 D.6
答案 B
解析 設(shè)第七層有a盞燈,由題意知第七層至第一層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個(gè)以a為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,∴由等比數(shù)
4、列的求和公式可得a(1-27)1-2=381,解得a=3,∴頂層有3盞燈,故選B.
6.(2017遼寧沈陽三模,理8)在如圖所示的矩形中隨機(jī)投擲30 000個(gè)點(diǎn),則落在曲線C下方(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的正態(tài)曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( )
附:正態(tài)變量在區(qū)間(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)取值的概率分別是0.683,0.954,0.997.
A.4 985 B.8 185
C.9 970 D.24 555
答案 B
解析 在矩形中,曲線C下方的面積為0.683+12(0.954-0.683)=0.818 5,矩形面積為3,
∴落在
5、曲線C下方的點(diǎn)的概率為0.818 53,落在曲線C下方的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為30 0000.818 53=8 185,故選D.
7.(2017安徽黃山市二模,理3)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),則S5=( )
A.31 B.42 C.37 D.47
答案 D
解析 ∵an+1=Sn+1(n∈N*),∴Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*),變形為Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*),∴數(shù)列{Sn+1}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為3,公比為2.則S5+1=324,解得S5=47.故選D.
8.(2017河南鄭州一中質(zhì)檢一,理7)設(shè)a=π 0sin
6、 xdx,則二項(xiàng)式ax-1x6展開式的常數(shù)項(xiàng)是( )
A.160 B.20 C.-20 D.-160
答案 D
解析 ∵a=π 0sin xdx=-cos x|π0=2,
∴ax-1x6=2x-1x6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r26-rC6rx3-r,
令3-r=0,得r=3,故展開式的常數(shù)項(xiàng)是-8C63=-160,故選D.
9.(2017山西省際名校高考押題,文9)已知平面區(qū)域D=(x,y)x-4y+3≤0,3x+5y-25≤0,x≥1,,Z=yx+2.若命題“?(x,y)∈D,Z≥m”為真命題,則實(shí)數(shù)m的最大值為( )
A.2215 B.27 C.13 D.14
7、
答案 B
解析 由題意命題“?(x,y)∈D,Z≥m”為真命題即求Z的最小值,平面區(qū)域如圖:
Z=yx+2表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)(-2,0)連接直線的斜率,
所以與過點(diǎn)N的n直線斜率最小,由x-4y+3=0,3x+5y-25=0,得到N(5,2),所以最小值為25+2=27,
所以實(shí)數(shù)m≤27,所以m的最大值為27,故選B.
10.設(shè)點(diǎn)M,N為圓x2+y2=9上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|MN|=42,若點(diǎn)P為線段3x+4y+15=0(xy≥0)上一點(diǎn),則|PM+PN|的最大值為( )
A.4 B.6 C.8 D.12
答案 D
解析 由已知得|OM|=|ON|=3,則|MN|2=|O
8、N-OM|2=|ON|2+|OM|2-2OMON=32,
得2OMON=14.|PM+PN|=|PO+OM+PO+ON|=|2PO+OM+ON|,
而|OM+ON|=|OM|2+|ON|2+2OMON
=9+9-14=2.
如圖,由圖可知,當(dāng)P在點(diǎn)(5,0)處,且向量2PO與向量(OM+ON)同向共線時(shí),|PM+PN|有最大值為12.故選D.
11.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=3f(x),x∈[0,2)時(shí),f(x)=2x2-2x,x∈[0,1),-213x-43,x∈[1,2),x∈[-4,-2)時(shí),f(x)≥t2-73t恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( ) ?導(dǎo)
9、學(xué)號16804260?
A.12,3 B.-∞,12∪(3,+∞)
C.13,2 D.-∞,13∪[2,+∞)
答案 C
解析 ∵f(x+2)=3f(x),∴f(x+4)=3f(x+2)=3f(x),若x∈[-4,-2),則x+4∈[0,2),
∴f(x)=13[2(x+4)2-2(x+4)],x∈[-4,-3),-2313x+83,x∈[-3,-2),
即f(x)=23x+722-16,x∈[-4,-3),-2313x+83,x∈[-3,-2),
∴f(x)在[-4,-3)上的最小值為f-72=-16,f(x)在[-3,-2)上的最小值為f-83=-23,
∴f(x)在[-4
10、,-2)上的最小值為-23.
∵-23≥t2-73t,解得13≤t≤2.故選C.
12.已知F1,F2分別是橢圓mx2+y2=m(0
11、
∴4s+s≥133,由4s+s=133,解得s=43或s=3(舍).
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知,當(dāng)s有最大值為a+c=43時(shí),t2+ss有最小值為43,
即1+c=43,得c=13.∴橢圓的離心率e=ca=13.故選B.
二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分)
13.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為y軸,拋物線上一點(diǎn)(x0,2)到焦點(diǎn)的距離為3,則拋物線方程為 .
答案 x2=4y
解析 由題意可知拋物線方程為x2=2py,拋物線上一點(diǎn)(x0,2)到焦點(diǎn)的距離為3,可得p2=1,解得p=2,所求的拋物線方程為x2=4y.
14.(2017遼寧沈陽三模,理15)某班共
12、46人,從A,B,C,D,E五位候選人中選班長,全班每人只投一票,且每票只選一人.投票結(jié)束后(沒人棄權(quán)):若A得25票,B得票數(shù)占第二位,C,D得票同樣多,得票最少的E只得4票,那么B得票的票數(shù)為 .
答案 7
解析 ∵A得25票,E只得4票,
∴B,C,D共得46-25-4=17(票),
∵C,D得票同樣多,要大于4票,
∴若C,D是5票,則B是7票,
若C,D是6票,則B是5票,不滿足條件.
若C,D是7票,則B是3票,不滿足條件.
若C,D是8票,則B是1票,不滿足條件.
故滿足條件的B是7票.故答案為7.
15.(2017安徽黃山市二模,理7改編)在矩形AB
13、CD中,AC=2,現(xiàn)將△ABC沿對角線AC折起,使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)B的位置,得到三棱錐B-ACD,則三棱錐B-ACD的外接球的表面積是 .
答案 4π
解析 如圖所示,在三棱錐B-ACD中,△ABC和△ACD是有公共斜邊AC的直角三角形,
故取AC中點(diǎn)O,則有OB=OA=OC=OD,∴O是三棱錐B-ACD的外接球的球心,半徑R=OA=1,
則三棱錐B-ACD的外接球的表面積是4πR2=4π,故答案為4π.
16.(2017山西三區(qū)八校聯(lián)考,理15)定義在R上的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足f(x)
14、ex的解集為 . ?導(dǎo)學(xué)號16804263?
答案 {0}∪(1,+∞)
解析 ∵f(x)f(x+3)=-1,∴f(x+3)=-1f(x),
∴f(x+6)=-1f(x+3)=f(x),即f(x)的周期為6.
∵f(2 015)=-e,∴f(2 015)=f(-1)=-e,
∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴f(1)=e,
當(dāng)f(x)≠0時(shí),令g(x)=f(x)ex,g(x)=f(x)-f(x)ex,
∵f(x)1,
15、∴不等式f(x)
16、cos Asin C-sin C,∴2cos Asin C=sin C.
∵sin C≠0,∴cos A=12.由A∈(0,π),可得A=π3.
(2)∵在銳角三角形ABC中,a=3,
由(1)可得A=π3,B+C=2π3,
∴由正弦定理可得:bsinB=csinC=332=2,
∴c+b=2sin C+2sin B=2sin B+2sin2π3-B=3sin B+3cos B=23sinB+π6,
∵B∈π6,π2,可得B+π6∈π3,2π3,
∴sinB+π6∈32,1,
可得b+c=23sinB+π6∈(3,23).
18.(2017陜西渭南二模,理19)(12分)在一
17、次愛心捐款活動(dòng)中,小李為了了解捐款數(shù)額是否和居民自身的經(jīng)濟(jì)收入有關(guān),隨機(jī)調(diào)查了某地區(qū)的100個(gè)捐款居民每月平均的經(jīng)濟(jì)收入.在捐款超過100元的居民中,每月平均的經(jīng)濟(jì)收入沒有達(dá)到2 000元的有60個(gè),達(dá)到2 000元的有20個(gè);在捐款不超過100元的居民中,每月平均的經(jīng)濟(jì)收入沒有達(dá)到2 000元的有10個(gè).
(1)在下面表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否超過100元和居民每月平均的經(jīng)濟(jì)收入是否達(dá)到2 000元有關(guān)?
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量居民中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1個(gè)居民,共抽取3次,記被抽取的3個(gè)居民中經(jīng)濟(jì)收入達(dá)到2
18、 000元的人數(shù)為X,求P(X=2)和期望EX的值.
每月平均經(jīng)濟(jì)收
入達(dá)到2 000元
每月平均經(jīng)濟(jì)收入
沒有達(dá)到2 000元
合計(jì)
捐款超過
100元
捐款不超
過100元
合計(jì)
參考數(shù)據(jù)
當(dāng)K2≤2.706時(shí),無充分證據(jù)判定變量A,B有關(guān)聯(lián),可以認(rèn)為兩變量無關(guān)聯(lián);
當(dāng)K2>2.706時(shí),有90%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);
當(dāng)K2>3.841時(shí),有95%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);
當(dāng)K2>6.635時(shí),有99%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián).
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+
19、d),其中n=a+b+c+d.
解 (1)由題意可知,填表如下;
每月平均經(jīng)濟(jì)收
入達(dá)到2 000元
每月平均經(jīng)濟(jì)收入
沒有達(dá)到2 000元
合計(jì)
捐款超過
100元
20
60
80
捐款不超
過100元
10
10
20
合計(jì)
30
70
100
計(jì)算K2=100(6010-1020)280207030≈4.762,對照臨界值得4.762>3.841,
∴有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否超過100元和居民每月平均的經(jīng)濟(jì)收入是否達(dá)到2 000元有關(guān).
(2)抽取自身經(jīng)濟(jì)收入超過2 000元居民的頻率為0.3,
將頻率視為概率,由題意知
20、X的可能取值有0,1,2,3,
則X~B3,310,
∴P(X=2)=C3231027101=1891 000,
X的期望為E(X)=np=3310=0.9.
19.
(2017山東濰坊一模,理17)(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90,AB=2CD,BC=3CD,△APB是等邊三角形,且側(cè)面APB⊥底面ABCD,E,F分別是PC,AB的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面DEF.
(2)求平面DEF與平面PCD所成的二面角(銳角)的余弦值.
(1)證明 連接AC,交DF于O,連接OF,
∵AB∥CD,∠ABC=90,AB=
21、2CD,E,F分別是PC,AB的中點(diǎn).
∴CDBF,∴四邊形CDFB是平行四邊形,∴DF∥BC,
∴O是AC中點(diǎn),∴OE∥PA.
∵PA?平面DEF,OE?平面DEF,
∴PA∥平面DEF.
(2)解 ∵在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90,
△APB是等邊三角形,且側(cè)面APB⊥底面ABCD,F是AB的中點(diǎn),∴DF⊥AF,PF⊥平面ABCD,
以F為原點(diǎn),FA為x軸,DF為y軸,FP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)BC=3CD=3,則D(0,-3,0),C(-1,-3,0),P(0,0,3),E-12,-32,32,F(0,0,0),FD=
22、(0,-3,0),FE=-12,-32,32,PC=(-1,-3,-3),PD=(0,-3,-3),設(shè)平面DEF的法向量n=(x,y,z),
則nFD=-3y=0,nFE=-12x-32y+32z=0,
取z=1,得n=(3,0,1),
設(shè)平面PCD的法向量m=(a,b,c),
則mPC=-a-3b-3c=0,mPD=-3b-3c=0,
取b=1,得m=(0,1,-1),
cos=mn|m||n|=-122=-24,∴平面DEF與平面PCD所成的二面角(銳角)的余弦值為24.
20.(2017山東,理21)(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:x2a2+y2b
23、2=1(a>b>0)的離心率為22,焦距為2.
(1)求橢圓E的方程.
(2)如圖,動(dòng)直線l:y=k1x-32交橢圓E于A,B兩點(diǎn),C是橢圓E上一點(diǎn),直線OC的斜率為k2,且k1k2=24,M是線段OC延長線上一點(diǎn),且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半徑為|MC|,OS,OT是☉M的兩條切線,切點(diǎn)分別為S,T,求∠SOT的最大值并求取得最大值時(shí)直線l的斜率.
解 (1)由題意知e=ca=22,2c=2,所以a=2,b=1,因此橢圓E的方程為x22+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程x22+y2=1,y=k1x-32,
得(4k12+2)x2-43k
24、1x-1=0,
由題意知Δ>0,且x1+x2=23k12k12+1,x1x2=-12(2k12+1).
所以|AB|=1+k12|x1-x2|=21+k121+8k121+2k12.
由題意可知圓M的半徑r為
r=23|AB|=2231+k121+8k122k12+1.
由題設(shè)知k1k2=24,所以k2=24k1,
因此直線OC的方程為y=24k1x.
聯(lián)立方程x22+y2=1,y=24k1x1,
得x2=8k121+4k12,y2=11+4k12,
因此|OC|=x2+y2=1+8k121+4k12.
由題意可知sin ∠SOT2=rr+|OC|=11+|OC|r,
而
25、|OC|r=1+8k121+4k122231+k121+8k121+2k12
=3241+2k121+4k121+k12,
令t=1+2k12,則t>1,1t∈(0,1),
因此|OC|r=32t2t2+t-1=3212+1t-1t2
=321-1t-122+94≥1,
當(dāng)且僅當(dāng)1t=12,即t=2時(shí)等號成立,此時(shí)k1=22,所以sin ∠SOT2≤12,因此∠SOT2≤π6.
所以∠SOT最大值為π3.
綜上所述:∠SOT的最大值為π3,取得最大值時(shí)直線l的斜率為k1=22. ?導(dǎo)學(xué)號16804264?
21.(2017河南六市聯(lián)考二模,理21)(12分)已知函數(shù)f(x)=e
26、xsin x-cos x,g(x)=xcos x-2ex(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)?x1∈0,π2,?x2∈0,π2使得不等式f(x1)+g(x2)≥m成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若x>-1,求證:f(x)-g(x)>0.
(1)解 ∵f(x1)+g(x2)≥m,∴f(x1)≥m-g(x2),
∴f(x1)min≥[m-g(x2)]min,∴f(x1)min≥m-g(x2)max,
當(dāng)x∈0,π2時(shí),f(x)=excos x+(ex+1)sin x>0,函數(shù)f(x)在0,π2上單調(diào)遞增,∴f(x)min≥f(0)=-1.
由已知g(x)=cos x-xsin x-
27、2ex,
∵x∈0,π2,
∴0≤cos x≤1,0≤xsin x≤π2,2ex≥2e,∴g(x)≤0,
∴函數(shù)g(x)在0,π2上單調(diào)遞減,
∴g(x)max≥g(0)=-2,
∴-1≥m+2,∴m≤-1-2,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1-2].
(2)證明 當(dāng)x>-1,要證f(x)-g(x)>0,只要證f(x)>g(x),
只要證exsin x-cos x>xcos x-2ex,
即證ex(sin x+2)>(x+1)cos x,
由于sin x+2>0,x+1>0,
只要證exx+1>cosxsinx+2.
令h(x)=exx+1(x>-1),∴h(x)=x
28、ex(x+1)2,
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
∴h(x)min=h(0)=1.
令k=cosxsinx+2,其可看作點(diǎn)A(sin x,cos x)與點(diǎn)B(-2,0)連線的斜率,
∴直線AB的方程為y=k(x+2),由于點(diǎn)A在圓x2+y2=1上,∴直線AB與圓相交或相切,
當(dāng)直線AB與圓相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí),直線AB的斜率取得最大值為1,
∴當(dāng)x=0時(shí),k=22<1=h(0),當(dāng)x≠0時(shí),h(x)>1≥k,
綜上所述,當(dāng)x>-1,f(x)-g(x)>0. ?導(dǎo)學(xué)號16804265?
22.選
29、修4—4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
(2017河南六市聯(lián)考二模,22)(10分)在極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為ρ2=31+2sin2θ,點(diǎn)R22,π4.
(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo);
(2)設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn),以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長的最小值,及此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo).
解 (1)由于x=ρcos θ,y=ρsin θ,曲線C的方程為ρ2=31+2sin2θ,轉(zhuǎn)化成x23+y2=1.
點(diǎn)R的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為R(2,2).
(2)設(shè)P(3cos α,sin
30、 α),由題意不妨設(shè)Q(2,sin α),
則|PQ|=2-3cos α,|QR|=2-sin α,
所以|PQ|+|QR|=4-2sinα+π3.
當(dāng)α=π6時(shí),(|PQ|+|QR|)min=2,矩形的最小周長為4,點(diǎn)P32,12.
23.選修4—5 不等式選講
(2017河南六市聯(lián)考二模,23)(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a∈R.
(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)≥6-|2x-5|;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤4的解集為[-1,7],且兩正數(shù)s和t滿足2s+t=a,求證:1s+8t≥6.
(1)解 當(dāng)a=2時(shí),不等式f(x)≥6-|2x-5|,可化為|x-
31、2|+|2x-5|≥6.
①當(dāng)x≥2.5時(shí),不等式可化為x-2+2x-5≥6,∴x≥133;
②當(dāng)2≤x<2.5時(shí),不等式可化為x-2+5-2x≥6,
∴x∈?;
③當(dāng)x<2時(shí),不等式可化為2-x+5-2x≥6,∴x≤13.
綜上所述,不等式的解集為-∞,13∪133,+∞.
(2)證明 不等式f(x)≤4的解集為[a-4,a+4]=[-1,7],
∴a=3,∴1s+8t=131s+8t(2s+t)=1310+ts+16st≥6,當(dāng)且僅當(dāng)s=12,t=2時(shí)取等號.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 仿真模擬練 理
