黑龍江省哈爾濱市重點高中2022屆高三上學期第一次階段考試 數(shù)學（理）試題【含答案】

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1、2019級高三上學期階段考試 數(shù)學試題（理） 試題說明：1、本試題滿分150分，答題時間150分鐘。 2、 請將答案填寫在答題卡上，考試結(jié)束后只交答題卡。 1、 選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每道題4個選項中只有一個符合題目要求） 1. 已知集合，，則 A. B. C. D. 2. 設數(shù)是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是 A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 曲線在點處的切線方程為 A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，則實數(shù)m的值為 A. 9 B. 7 C. 1

2、7 D. 21 5. 如圖，這是某校高三年級甲、乙兩班在上學期的5次數(shù)學測試的班級平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是 A. 甲班的數(shù)學成績平均分的平均水平高于乙班 B. 甲班的數(shù)學成績的平均分比乙班穩(wěn)定 C. 甲班的數(shù)學成績平均分的中位數(shù)高于乙班 D. 甲、乙兩班所有學生這5次數(shù)學測試的總平均分是103 6. 設函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是 A. 的一個對稱中心為 B. 的圖象關于直線對稱 C. 的一個零點為 D. 在單調(diào)遞減 7. 現(xiàn)將5張連號的電影票分給甲乙等5個人，每人一張，且甲乙分得的電影票連號，則共有不同分法的種數(shù)為 A. 12 B. 24 C. 4

3、8 D. 60 8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為 A. 2 B. C. D. 9. 中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了 A. 192里 B. 96里 C. 48里 D. 24里 10. 已知A，B是球O的球面上兩點，，C為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為，則球O的表面積為 A. B. C. D. 11. 已知點A是拋物

4、線的對稱軸與準線的交點，點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上且滿足，若m取最大值時，點P恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為 A. B. C. D. 12. 已知數(shù)列滿足，，若前n項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是 A. 60 B.62 C. 63 D. 65 2、 填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 13. 設，則z的虛部為 14. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則 15. 已知A、B、C為的三內(nèi)角，且角A為銳角，若，則的最小值為． 16. 如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，，AD與CE交于點若，則的值是．

5、 三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答） 17. 在中，角所對應的邊分別為，且滿足，． 求的面積； 若，求a的值． 18. 正項等比數(shù)列的前n項和為，，若，且點在函數(shù)的圖象上． 求，通項公式； 記，求的前n項和. 19. 如圖，在正方體中，E為的中點． Ⅰ求證：平面； Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值． 20. 在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓：的左焦點為，且點在上 求橢圓的方程； 設直線l同時與橢圓和

6、拋物線：相切，求直線l的方程． 21. 已知函數(shù)其中a為參數(shù)． 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 若對任意都有成立，求實數(shù)a的取值集合； 證明：其中為自然對數(shù)的底數(shù)． 22. 已知曲線C：，直線l：為參數(shù)，點P的坐標為． 寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； 若直線l與曲線C相交于A、B兩點，求的值．  參考答案 1.【答案】D 【解答】 解：集合，， ． 故選D ． 2.【答案】B 【解答】 解：由條件，所以， 設公差為d，則，解得， 又數(shù)列單調(diào)遞增，所以， 所以， 故選B． 3.【答案】A 【解答】

7、 解：， ，則切線斜率， 在點處的切線方程為：，即． 故選A． 4.【答案】B 【解答】 解：根據(jù)題意得，因為， 所以，得． 故選：B． 5.【答案】D 【解答】 解：由題意可得甲班的平均分的平均水平是， 中位數(shù)是103， 方差是； 乙班的平均分的平均水平是， 中位數(shù)是101， 方差是， 則A，B，C正確； 因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算， 故D錯誤． 故選D． 6.【答案】D 【解析】解：函數(shù)， 令，求得，故A正確； 令，求得，是最值，故B正確； 令，求得，故C正確； 當，，故在單調(diào)遞增，故D錯誤， 故選：D．

8、 由題意利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論． 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題． 7.【答案】C 【解答】 解：根據(jù)題意，分3步進行分析： 將電影票分成4組，其中1組是2張連在一起，有4種分組方法， 將連在一起的2張票分給甲乙，考慮其順序有種情況， 將剩余的3張票全排列，分給其他三人，有種分法， 則共有種不同分法． 故選：C． 8.【答案】C 【解答】 解：當時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，， 當時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，， 當時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，， 當時，不滿足進行循環(huán)的條件， 故輸出結(jié)果為：，

9、 故選：C． 9.【答案】B 【解析】 【解答】 解：由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列， 由題意和等比數(shù)列的求和公式可得， 解得， 第此人二天走里， 第二天走了96里， 故選B． 10.【答案】B 【解答】 解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐的體積最大， 設球O的半徑為R，此時， 故，則球O的表面積為， 故選：B． 11.【答案】B 【解答】 解：如圖，過P作準線的垂線，垂足為N， 則由拋物線的定義可得， ， ， 設PA的傾斜角為，則， 當m取得最大值時，最小，此時直線PA與拋物線相切， 設直線PA的

10、方程為，代入， 可得，即， ，， 求得切點坐標， 雙曲線的實軸長為， 雙曲線的離心率為． 故選B． 12.【答案】C 【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列，中滿足，即+1， 變形可得， 又由，則數(shù)列是首項為4，公比為的等比數(shù)列，則， ， 則8+ 當時，單調(diào)遞增,<2021,>2021故滿足不等式的最小整數(shù)為63． 故選：C． 13.【答案】 【解答】 解： ， 即z的虛部為． 14.【答案】 【解答】 解：根據(jù)題意，時，，則， 又由函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則． 故選B． 15.【答案】 【解答】 解：，角A為銳角， ，， ， ， 當

11、且僅當，即時，取等號， 故的最小值為． 故答案為． 16.【答案】 【解答】 解：設， ， ，， ， ， ， ， ，， ． 又=，=, BD=CD,== 故答案為： 17.【答案】解：因為， ，， 又由， 得，， 解法1：對于，又， 或， 由余弦定理得， 解法2：，又， 由余弦定理得，． 【解析】本題主要考查了解三角形的問題．涉及了三角函數(shù)中的倍角公式、余弦定理和三角形面積公式等，屬于基礎題． 利用二倍角公式利用求得cosA，進而求得sinA，進而根據(jù)求得bc的值，進而根據(jù)三角形面積公式求得答案． 解法，1，根據(jù)bc和的值

12、求得b和c，進而根據(jù)余弦定理求得a的值． 解法2，根據(jù)bc和的值，利用求出答案． 18.解：由題意，設等比數(shù)列的公比為，則， 化簡整理，得，解得舍去，或， ，，，點在函數(shù)的圖象上， ，． 由得，， ． 19.【答案】解：Ⅰ由正方體的性質(zhì)可知，中，且， 四邊形是平行四邊形，， 又平面，平面，平面E. Ⅱ以A為原點，AD、AB、分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 設正方體的棱長為a，則0，，0，，0，，a，， ，，， 設平面的法向量為，則，即， 令，則，，， 設直線與平面所成角為，則，， 故直線與平面所成角的正弦值為． 【解析】本題考查空間中線

13、面的位置關系和線面夾角問題，熟練掌握線面平行的判定定理和利用空間向量求線面夾角是解題的關鍵，考查學生的空間立體感和運算能力，屬于基礎題． Ⅰ根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得，再利用線面平行的判定定理即可得證； Ⅱ以A為原點，AD、AB、分別為x、y和z軸建立空間直角坐標系，設直線與平面所成角為，先求出平面的法向量，再利用，以及空間向量數(shù)量積的坐標運算即可得解． 20.【答案】解：因為橢圓的左焦點為，所以， 點代入橢圓，得，即， 所以 所以橢圓的方程為． 直線l的斜率顯然存在， 設直線l的方程為， 由，消去y并整理得， 因為直線l與橢圓相切， 所以 整理得 由，消去y并

14、整理得 因為直線l與拋物線相切，所以 整理得 綜合，解得或 所以直線l的方程為或． 【解析】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化． 因為橢圓的左焦點為，所以，點代入橢圓，得，由此能求出橢圓的方程． 設直線l的方程為，由，得因為直線l與橢圓相切，所以由此能求出直線l的方程． 21.【答案】解：，， ，， 當時，恒成立， 在上單調(diào)遞增； 當時，令，得， 時，，單調(diào)遞減， 時，，單調(diào)遞增； 綜上：時，在上遞增，無減區(qū)間， 當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

15、對恒成立， ， 當時，由知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增， 當時，，不符合題意； 當時，由知． 令，則， 令，則， a 1 0 極大值 ， 又， 的唯一解為， 實數(shù)a的取值集合為． 證明：要證， 兩邊取對數(shù)，只要證， ，，，， 即要證， 令，則只要證，， 由知當時， 在上單調(diào)遞增， ，即， ． 令， ， 在上單調(diào)遞增， ，即， ． 綜上可得，得證，即原不等式得證． 【解析】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法、導數(shù)性質(zhì)的合理運用，屬于難題． 求出，，再討論a的取值范圍，從而

16、求出其單調(diào)區(qū)間； 按和分類討論，適當構(gòu)造函數(shù)通過求導討論最值即可得解 分析原不等式，要證，即證，令，則只要證，，利用的結(jié)論證明右邊不等式，構(gòu)造函數(shù)證明左邊不等式即可． 22.【答案】解：由曲線C：的方程可得其參數(shù)方程為：為參數(shù)； 由直線l：為參數(shù)，消參t可得， 即直線l的普通方程為：； 法聯(lián)立直線l與橢圓的方程：，整理可得：，解得，，代入直線l的方程可得，， 所以設，， 所以； 法將直線l的標準的參數(shù)方程代入橢圓中可得：，整理可得：， ，，可得，同號， 所以． 【解析】由橢圓的參數(shù)方程的求法及橢圓的方程可得C的參數(shù)方程，將t消去可得直線l的普通方程； 法將直線l的普通方程與橢圓的普通方程聯(lián)立求出交點的坐標，進而求出的值． 法用直線l的標準的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程可得t的二次方程，求出兩根之和及兩根之積，由兩根之積大于0可得，的符合相同，進而可得的值． 本題考查橢圓及直線的普通方程與參數(shù)方程之間的互化，及求直線與橢圓的交點弦長的求法，屬于中檔題．