六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)素材奧數(shù) 行程問(wèn)題通用版

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1、1、為什么說(shuō)行程問(wèn)題可以說(shuō)是難度最大的奧數(shù)專題？ 類型多：行程分類細(xì)，變化多，工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個(gè)類型重點(diǎn)不一，因此沒(méi)有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可以抓 題目難：理解題目、動(dòng)態(tài)演繹推理——靜態(tài)知識(shí)容易學(xué)，動(dòng)態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力 跨度大：從三年級(jí)到六年級(jí)都要學(xué)行程——四年的跨度，需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來(lái)加深理解、夯實(shí)基礎(chǔ) 2、那么想要學(xué)好行程問(wèn)題，需要掌握哪些要訣呢？ 要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是"學(xué)透"基本公式 要訣二：無(wú)規(guī)律的題目有"攻略"，一畫(huà)（畫(huà)圖法）二抓（比例法、方程法） 3、 行程模塊中包含哪些知

2、識(shí)點(diǎn)，有何解題技巧？例題講解？ 行程問(wèn)題包含多人行程、二次相遇、多次相遇、火車(chē)過(guò)橋、流水行船、環(huán)形跑道、鐘面行程、走走停停、接送問(wèn)題、發(fā)車(chē)問(wèn)題、電梯行程等 更新目錄： 多人行程的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 二次相遇的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 追及問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 火車(chē)過(guò)橋的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 流水行

3、船的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 環(huán)形跑道的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 鐘面行程的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 走走停停的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 接送問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 發(fā)車(chē)問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一）

4、 例題及答案（二） 電梯行程的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 獵狗追兔的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 平均速度的要點(diǎn)及解題技巧 例題及答案（一） 例題及答案（二） 奧數(shù)行程：多人行程的要點(diǎn)及解題技巧 行程問(wèn)題無(wú)論怎么變化，都離不開(kāi)“三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系”： 　　這三個(gè)量是：路程(s)、速度(v)、時(shí)間(t) 三個(gè)關(guān)系： 1.簡(jiǎn)單行程：路程=速度

5、時(shí)間 　　2.相遇問(wèn)題：路程和=速度和時(shí)間 　　3.追擊問(wèn)題：路程差=速度差時(shí)間 　　牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問(wèn)題還是有很多方法可循的。 　　如“多人行程問(wèn)題”，實(shí)際最常見(jiàn)的是“三人行程” 　　例：有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？ 　　分析：這個(gè)三人行程的問(wèn)題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)“3分鐘”的時(shí)間。 　　第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間

6、里，甲、丙的路程和為（40+36）3=228（米） 　　第一個(gè)追擊：這228米是由于在開(kāi)始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過(guò)程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228（38-36）=114（分鐘） 　　第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程 　　所以花圃周長(zhǎng)為（40+38）114=8892（米） 　　我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問(wèn)題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使解題思路更加清晰。 總之，行程問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個(gè)量”之間的“三個(gè)關(guān)系”，解決行程問(wèn)題并非難事！ 奧數(shù)行程：多人行程例題及答案（一） 多人行程---這

7、類問(wèn)題主要涉及的人數(shù)為3人，主要考察的問(wèn)題就是求前兩個(gè)人相遇或追及的時(shí)刻，第三個(gè)人的位置，解題的思路就是把三人問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。 例1.甲乙丙三人同時(shí)從東村去西村，甲騎自行車(chē)每小時(shí)比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小時(shí)到達(dá)西村后立刻返回。在距西村30公里處和乙相聚，問(wèn)：丙行了多長(zhǎng)時(shí)間和甲相遇？ 　　答案一： 　　設(shè)乙每小時(shí)行x公里，則甲為x+12，丙為x-15+12=x-3 　　3.5*12=(x+12)*2 　　x=9甲為21公里，丙為6公里， 　　21*3.5*2/(21+6）=5.44小時(shí) 　　丙行了5.44小時(shí)和甲相遇 　　答案二： 　　在距西村

8、30公里處和乙相聚，則甲比乙多走60公里， 　　而甲騎自行車(chē)每小時(shí)比乙快12公里， 　　所以，甲乙相聚時(shí)所用時(shí)間是60/12=5小時(shí)， 　　所以甲從西村到和乙相聚用了5-3.5=1.5小時(shí)， 　　所以，甲速是：30/1.5=20公里/小時(shí)， 　　所以，丙速是：20-15=5公里/小時(shí)， 　　東村到西村的距離是：20*3.5=70公里， 　　所以，甲丙相遇時(shí)間是：(2*70)/(20+5)=5.6小時(shí) 　　例2.難度：高難度 　　甲、乙、丙三輛車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車(chē)的速度分別為60千米／時(shí)和48千米／時(shí)。有一輛迎面開(kāi)來(lái)的卡車(chē)分別在他們出發(fā)后6時(shí)、7時(shí)、8時(shí)先后與甲

9、、乙、丙三輛車(chē)相遇。求丙車(chē)的速度。 　　【解答】 　　解題思路：（多人相遇問(wèn)題要轉(zhuǎn)化成兩兩之間的問(wèn)題，咱們的相遇和追擊公式也是研究的兩者。另外ST圖也是很關(guān)鍵） 　　第一步：當(dāng)甲經(jīng)過(guò)6小時(shí)與卡車(chē)相遇時(shí)，乙也走了6小時(shí)，甲比乙多走了660-486=72千米；（這也是現(xiàn)在乙車(chē)與卡車(chē)的距離） 　　第二步：接上一步，乙與卡車(chē)接著走1小時(shí)相遇，所以卡車(chē)的速度為72-481=24 　　第三步：綜上整體看問(wèn)題可以求出全程為：（60+24）6=504或（48+24）7=504 　　第四步：收官之戰(zhàn)：5048-24=39（千米） 　　注意事項(xiàng)：畫(huà)圖時(shí)，要標(biāo)上時(shí)間，并且多人要同時(shí)標(biāo)，以防思路錯(cuò)亂！

10、 　　例3.難度：高難度 　　李華步行以每小時(shí)4千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米外的冬令營(yíng)報(bào)到。0.5小時(shí)后，營(yíng)地老師聞?dòng)嵡皝?lái)迎接，每小時(shí)比李華多走1.2千米，又經(jīng)過(guò)了1.5小時(shí)，張明從學(xué)校騎車(chē)去營(yíng)地報(bào)到。結(jié)果3人同時(shí)在途中某地相遇。問(wèn)：張明每小時(shí)行駛多少千米？ 　　【解答】 　　老師出發(fā)時(shí)和李華相距20.4-40.5=18.4千米，再過(guò)18.4（4+4+1.2）=2小時(shí)相遇，相遇地點(diǎn)距學(xué)校24+2=10千米，張明行駛的時(shí)間為0.5小時(shí)，因此張明的速度為100.5=20千米/時(shí)。 奧數(shù)行程：多人行程例題及答案（二） 　　行程問(wèn)題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個(gè)模塊，在小升初考試和各

11、大奧數(shù)杯賽中都能見(jiàn)到行程問(wèn)題的身影。多人行程---這類問(wèn)題主要涉及的人數(shù)為3 人，主要考察的問(wèn)題就是求前兩個(gè)人相遇或追及的時(shí)刻，第三個(gè)人的位置，解題的思路就是把三人問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。 　　例1.AB兩地相距30千米，甲乙丙三人同時(shí)從A到B，而且要求同時(shí)到達(dá)?，F(xiàn)在有兩輛自行車(chē)，但不許帶人，但可以將自行車(chē)放在中途某處，后來(lái)的人可以接著騎。已知騎自行車(chē)的平均速度為每小時(shí)20千米，甲步行的速度是每小時(shí)5千米，乙和丙每小時(shí)4千米，那么三人需要多少小時(shí)可以同時(shí)到達(dá)？ 　　【解答】因?yàn)橐冶叫兴俣认嗟?，所以他們兩人步行路程和騎車(chē)路程應(yīng)該是相等的。對(duì)于甲因?yàn)樗叫兴俣瓤煲恍?，所以騎車(chē)路程

12、少一點(diǎn)，步行路程多一些。 　　現(xiàn)在考慮甲和乙丙步行路程的距離。甲多步行1千米要用1/5小時(shí)，乙多騎車(chē)1千米用1/20小時(shí)，甲多用1/5-1/20=3/20小時(shí)。 　　甲步行1千米比乙少用1/4-1/5=1/20小時(shí)。，所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的：1/20/（3/20=1/3. 　　這樣設(shè)乙丙步行路程為3份，甲步行4份。如下圖安排： 　　這樣甲騎車(chē)行騎車(chē)的3/5，步行2/5. 　　所以時(shí)間為：30*3/5/20+30*2/5/5=3.3小時(shí)。 　　例2.有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走3

13、8米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？ 　　【解答】這個(gè)三人行程的問(wèn)題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)“3分鐘”的時(shí)間。 　　第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為（40+36）3=228（米） 　　第一個(gè)追擊：這228米是由于在開(kāi)始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過(guò)程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228（38-36）=114（分鐘） 　　第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程 　　所以花圃周長(zhǎng)為（40+38）114=8892（米） 　　我們把這樣

14、一個(gè)抽象的三人行程問(wèn)題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使解題思路更加清晰。 　　總之，行程問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個(gè)量”之間的“三個(gè)關(guān)系”，解決行程問(wèn)題并非難事！ 奧數(shù)行程：二次相遇的要點(diǎn)及解題技巧 　　一、概念： 　　兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的發(fā)展，必然面對(duì)面地相遇，這類問(wèn)題叫做相遇問(wèn)題。 　　二、特點(diǎn)： 　　它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。 　　小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問(wèn)題，一般是指相遇問(wèn)題。 　　三、類型： 　　相遇問(wèn)題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相

15、遇時(shí)間，求速度。 　　四、三者的基本關(guān)系及公式： 　　它們的基本關(guān)系式如下： 　　總路程=（甲速+乙速）相遇時(shí)間 　　相遇時(shí)間=總路程（甲速+乙速） 　　另一個(gè)速度=甲乙速度和-已知的一個(gè)速度 奧數(shù)行程：二次相遇例題及答案（一） 　　答題思路點(diǎn)撥：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距離，主要抓住第二次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍。 　　例1.甲乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，它們各自到達(dá)對(duì)方車(chē)站后立即返回，在距A地42千米處相遇。請(qǐng)問(wèn)A

16、、B兩地相距多少千米？ 　　A.120 B.100 C.90 D.80 　　【解答】A。解析：設(shè)兩地相距x千米，由題可知，第一次相遇兩車(chē)共走了x，第二次相遇兩車(chē)共走了2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即542=x-54+42，得出x=120。 　　例2.兩汽車(chē)同時(shí)從A、B兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（ ）千米 　　A.200 B.150 C.120 D.100 　　【解答】D

17、。解析：第一次相遇時(shí)兩車(chē)共走一個(gè)全程，第二次相遇時(shí)兩車(chē)共走了兩個(gè)全程，從A城出發(fā)的汽車(chē)在第二次相遇時(shí)走了522=104千米，從B城出發(fā)的汽車(chē)走了52+44=94千米，故兩城間距離為（104+96）2=100千米。 　　繞圈問(wèn)題： 　　例3.在一個(gè)圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過(guò)6分鐘甲到B點(diǎn)，又過(guò)10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（ ）？ 　　A．24分鐘 B．26分鐘 C．28分鐘 D．30分鐘 　　【解答】C。解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。也就是說(shuō)，兩人16分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次

18、相遇用了8分鐘，所以兩人共走半圈，即從A到B是半圈，甲從A到B用了8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要142=28分鐘。也是一個(gè)倍數(shù)關(guān)系。 奧數(shù)行程：二次相遇例題及答案（二） 　　例1.兩輛汽車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，一輛汽車(chē)每小時(shí)行56千米，另一輛汽車(chē)每小時(shí)行63千米，經(jīng)過(guò)4小時(shí)后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級(jí)程度） 　　【解答】?jī)奢v汽車(chē)從同時(shí)相對(duì)開(kāi)出到相遇各行4小時(shí)。一輛汽車(chē)的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是它行駛的路程；另一輛汽車(chē)的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是這輛汽車(chē)行駛的路程。兩車(chē)行駛路程之和，就是兩地距離。 　　564=224（千米） 　　634=252（千米） 　　2

19、24+252=476（千米） 　　綜合算式： 　　564+634 　　=224+252 　　=476（千米） 　　答：甲乙兩地相距476千米。 　　例2.兩列火車(chē)同時(shí)從相距480千米的兩個(gè)城市出發(fā)，相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行駛40千米，乙車(chē)每小時(shí)行駛42千米。5小時(shí)后，兩列火車(chē)相距多少千米？（適于五年級(jí)程度） 　　解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車(chē)5小時(shí)共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車(chē)5小時(shí)共行的路程，所得就是兩車(chē)的距離。 　　480-（40+42）5 　　=480-825 　　=480-410 　　=70（千米） 　　答：5小時(shí)后兩列火車(chē)相距70千米。

20、 　　例3.兩列火車(chē)從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)對(duì)面開(kāi)來(lái)，第一列火車(chē)每小時(shí)行駛60千米，第二列火車(chē)每小時(shí)行駛55千米。兩車(chē)相遇時(shí)，第一列火車(chē)比第二列火車(chē)多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級(jí)程度） 　　解：兩車(chē)相遇時(shí)，兩車(chē)的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車(chē)行駛的速度不同，第一列火車(chē)每小時(shí)比第二列火車(chē)多行（60-55）千米。由此可求出兩車(chē)相遇的時(shí)間，進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離。 　?。?0+55）[20（60-55）] 　　=115[205] 　　=460（千米） 　　答：甲、乙兩地間的距離為460千米。 奧數(shù)行程：追及問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧 　　一、多人相遇

21、追及問(wèn)題的概念及公式 　　多人相遇追及問(wèn)題，即在同一直線上，3個(gè)或3個(gè)以上的對(duì)象之間的相遇追及問(wèn)題。 　　所有行程問(wèn)題都是圍繞""這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題的本質(zhì)也是這三個(gè)量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化．由此還可以得到如下兩條關(guān)系式： 　　多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解。 　　二、多次相遇追及問(wèn)題的解題思路 　　所有行程問(wèn)題都是圍繞""這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個(gè)公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解． 　　多次相遇與全程的關(guān)系 　　

22、1.兩地相向出發(fā)： 　　第1次相遇，共走1個(gè)全程； 　　第2次相遇，共走3個(gè)全程； 　　第3次相遇，共走5個(gè)全程； 　　…………，………………； 　　第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程； 　　注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。 　　2.同地同向出發(fā)： 第1次相遇，共走2個(gè)全程； 第2次相遇，共走4個(gè)全程； 第3次相遇，共走6個(gè)全程； …………，………………； 第N次相遇，共走2N個(gè)全程； 3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

23、 多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程 多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差 奧數(shù)行程：追及問(wèn)題例題及答案（一） 　　例1.一條街上，一個(gè)騎車(chē)人和一個(gè)步行人相向而行，騎車(chē)人的速度是步行人的3倍，每個(gè)隔10分鐘有一輛公交車(chē)超過(guò)一個(gè)行人。每個(gè)隔20分鐘有一輛公交車(chē)超過(guò)一個(gè)騎車(chē)人，如果公交車(chē)從始發(fā)站每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車(chē)，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車(chē)？ 　　A.10 B.8 C.6 D.4 　　【解答】 　　我們知道這個(gè)題目出現(xiàn)了2個(gè)情況，就是 　　（1）汽車(chē)與騎自行車(chē)的人的追擊問(wèn)題， 　　（2）汽車(chē)與行人的追擊問(wèn)題 　　追擊問(wèn)題中的一個(gè)顯著的

24、公式就是路程差＝速度差時(shí)間 　　我們知道這里的2個(gè)追擊情況的路程差都是汽車(chē)的間隔發(fā)車(chē)距離。是相等的。因?yàn)槲覀円蟮氖顷P(guān)于時(shí)間所以可以將汽車(chē)的間隔距離看作單位1. 　　那么根據(jù)追擊公式 　　(1)(V汽車(chē)－V步行)=1/10 　　(2)(V汽車(chē)－3V步行)=1/20 　　(1)3－(2)=2V汽車(chē)＝3/10-1/20很快速的就能解得V汽車(chē)＝1/8答案顯而易見(jiàn)是8 　　例2.小明在商場(chǎng)的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分鐘到達(dá)二樓，小芳用了8分鐘到達(dá)一樓。如果我們把一個(gè)箱子放在一樓的第一個(gè)階梯上問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間可以到達(dá)二樓？ 　　

25、【解答】跟上面一題一樣。這個(gè)題目也是2個(gè)行程問(wèn)題的比較 　?。?）小明跟扶梯之間是方向相同 　　(1)(V小明＋V扶梯)=1/2 　?。?）小芳跟扶梯的方向相反 　　(2)(V小芳－V扶梯)=1/8 　　(1)-2(2)=3V扶梯＝1/4可見(jiàn)扶梯速度是1/12答案就顯而易見(jiàn)了。 　　總結(jié)：在多個(gè)行程問(wèn)題模型存在的時(shí)候。我們利用其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消?？梢院茌p松的一步求得結(jié)果！ 奧數(shù)行程：追及問(wèn)題例題及答案（二） 例1.上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車(chē)從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車(chē)去追他，在離家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追

26、小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米。問(wèn)這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？ 【解答】先畫(huà)出示意圖圖37-1如下（圖37-1中A點(diǎn)表示爸爸第一次追上小明的地方，B點(diǎn)表示他第二次追上小明的地方）。從圖37-1上看出，在相 同時(shí)間（從第一次追上到第二次追上）內(nèi)，小明從A點(diǎn)到B點(diǎn)，行完（8-4=）4千米；爸爸先從A點(diǎn)到家，再?gòu)募业紹點(diǎn)，行完（8+4=）12千米。可見(jiàn)， 爸爸的速度是小明的（124=）3倍。從而，行完同樣多的路程（比如從家到A點(diǎn)），小明所用的時(shí)間就是爸爸的3倍。 由于小明從家出發(fā)8分鐘后爸爸去追他，并且在A點(diǎn)追上，所以，小明從家到A點(diǎn)比爸爸多用8分鐘。這樣

27、可以算出，小明從家到A所用的時(shí)間為 8（3-1）3=12（分） 8（3-1）3X2=24（分） 例2.A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車(chē)從B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問(wèn)：當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙追上甲幾次？ 【解答】由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80=20（分鐘）內(nèi)所走的路程恰等于線段 FA的長(zhǎng)度再加上線段AE的長(zhǎng)度，即等于甲在（80+100）分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=18020），則BF的

28、長(zhǎng)為AF的9倍， 所以，甲從A到B，共需走80（1+9）=800（分鐘），乙第一次追上甲時(shí)，所用的時(shí)間為100分鐘，且與甲的路程差為一個(gè)AB全程.從第一次追上甲 時(shí)開(kāi)始，乙每次追上甲的路程差就是兩個(gè)AB全程，因此，追及時(shí)間也變?yōu)?00分鐘，所以，在甲從A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100分 鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘. 奧數(shù)行程：火車(chē)過(guò)橋的要點(diǎn)及解題技巧 　　一、什么是過(guò)橋問(wèn)題？ 　　火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題是行程問(wèn)題的一種，也有路程、速度與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)還涉及車(chē)長(zhǎng)、橋長(zhǎng)等問(wèn)題。基本數(shù)量關(guān)系是火車(chē)速度時(shí)間=車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng) 　　二、關(guān)于火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題的三種題型：

29、 　?。?）基本題型：這類問(wèn)題需要注意兩點(diǎn)：火車(chē)車(chē)長(zhǎng)記入總路程；重點(diǎn)是車(chē)尾：火車(chē)與人擦肩而過(guò)，即車(chē)尾離人而去。 　　如：火車(chē)通過(guò)一條長(zhǎng)1140米的橋梁用了50秒，火車(chē)穿過(guò)1980米的隧道用了80秒，求這列火車(chē)的速度和車(chē)長(zhǎng)。（過(guò)橋問(wèn)題） 　　一列火車(chē)通過(guò)800米的橋需55秒，通過(guò)500米的隧道需40秒。問(wèn)該列車(chē)與另一列長(zhǎng)384、每秒鐘行18米的列車(chē)迎面錯(cuò)車(chē)需要多少秒鐘？（火車(chē)相遇） 　?。?）錯(cuò)車(chē)或者超車(chē)：看哪輛車(chē)經(jīng)過(guò)，路程和或差就是哪輛車(chē)的車(chē)長(zhǎng) 　　如：快、慢兩列火車(chē)相向而行，快車(chē)的車(chē)長(zhǎng)是50米，慢車(chē)的車(chē)長(zhǎng)是80米，快車(chē)的速度是慢車(chē)的2倍，如果坐在慢車(chē)的人見(jiàn)快車(chē)駛過(guò)窗口的時(shí)間是5秒，那

30、么，坐在快車(chē)的人見(jiàn)慢車(chē)駛過(guò)窗口的時(shí)間是多少？ 　?。?）綜合題：用車(chē)長(zhǎng)求出速度；雖然不知道總路程，但是可以求出某兩個(gè)時(shí)刻間兩人或車(chē)之間的路程關(guān)系 　　如：鐵路旁有一條小路，一列長(zhǎng)為110米的火車(chē)以每小時(shí)30千米的速度向南駛?cè)ィ?點(diǎn)時(shí)追上向南行走的一名軍人，15秒后離他而去，8點(diǎn)6分迎面遇到一個(gè)向北走的農(nóng)民，12秒后離開(kāi)這個(gè)農(nóng)民。問(wèn)軍人與農(nóng)民何時(shí)相遇？ 奧數(shù)行程：火車(chē)過(guò)橋的例題及答案（一） 　　例1.一列火車(chē)長(zhǎng)150米，每秒鐘行19米。全車(chē)通過(guò)長(zhǎng)800米的大橋，需要多少時(shí)間？ 　　【解答】列車(chē)過(guò)橋，就是從車(chē)頭上橋到車(chē)尾離橋止。車(chē)尾經(jīng)過(guò)的距離=車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)，車(chē)尾行駛這段路程所用的時(shí)

31、間用車(chē)長(zhǎng)與橋長(zhǎng)和除以車(chē)速。 　　解：（800+150）19=50（秒） 　　答：全車(chē)通過(guò)長(zhǎng)800米的大橋，需要50秒。 　　例2.一列火車(chē)長(zhǎng)200米，以每秒8米的速度通過(guò)一條隧道，從車(chē)頭進(jìn)洞到車(chē)尾離洞，一共用了40秒。這條隧道長(zhǎng)多少米？ 　　【解答】先求出車(chē)長(zhǎng)與隧道長(zhǎng)的和，然后求出隧道長(zhǎng)?；疖?chē)從車(chē)頭進(jìn)洞到車(chē)尾離洞，共走車(chē)長(zhǎng)+隧道長(zhǎng)。這段路程是以每秒8米的速度行了40秒。 　　解：（1）火車(chē)40秒所行路程：840=320（米） 　?。?）隧道長(zhǎng)度：320-200=120（米） 　　答：這條隧道長(zhǎng)120米。 　　例3.一列火車(chē)長(zhǎng)119米，它以每秒15米的速度行駛，小華以每秒2米的速

32、度從對(duì)面走來(lái)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘后火車(chē)從小華身邊通過(guò)？ 　　【解答】本題是求火車(chē)車(chē)頭與小華相遇時(shí)到車(chē)尾與小華相遇時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間。依題意，必須要知道火車(chē)車(chē)頭與小華相遇時(shí)，車(chē)尾與小華的距離、火車(chē)與小華的速度和。 　　解：（1）火車(chē)與小華的速度和：15+2=17（米/秒） 　?。?）相距距離就是一個(gè)火車(chē)車(chē)長(zhǎng)：119米 　?。?）經(jīng)過(guò)時(shí)間：11917=7（秒） 　　答：經(jīng)過(guò)7秒鐘后火車(chē)從小華身邊通過(guò)。 奧數(shù)行程：火車(chē)過(guò)橋的例題及答案（二） 　　例1.某列車(chē)通過(guò)250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過(guò)210米的鐵橋用23秒，該列車(chē)與另一列長(zhǎng)320米，速度為每小時(shí)行64.8千米的火車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí)需要（ ）秒。

33、　　【解答】火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題 　　公式：(車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng))/火車(chē)車(chē)速=火車(chē)過(guò)橋時(shí)間 　　速度為每小時(shí)行64.8千米的火車(chē)，每秒的速度為18米/秒， 　　某列車(chē)通過(guò)250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過(guò)210米的鐵橋用23秒，則該火車(chē)車(chē)速為：(250-210)/(25-23)=20米/秒 　　路程差除以時(shí)間差等于火車(chē)車(chē)速. 　　該火車(chē)車(chē)長(zhǎng)為：20*25-250=250(米) 　　或20*23-210=250(米) 　　所以該列車(chē)與另一列長(zhǎng)320米，速度為每小時(shí)行64.8千米的火車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí)需要的時(shí)間為 　　(320+250)/(18+20)=15(秒) 　　例2.一列火車(chē)長(zhǎng)160m，勻速行駛，首先

34、用26s的時(shí)間通過(guò)甲隧道（即從車(chē)頭進(jìn)入口到車(chē)尾離開(kāi)口為止），行駛了100km后又用16s的時(shí)間通過(guò)乙隧道，到達(dá)了某車(chē)站，總行程100.352km。求甲、乙隧道的長(zhǎng)？ 　　【解答】設(shè)甲隧道的長(zhǎng)度為xm 　　那么乙隧道的長(zhǎng)度是（100.352-100）（單位是千米?。?1000-x＝（352-x) 　　那么 　　(x+160)/26=(352-x+160)/16 　　解出x＝256 　　那么乙隧道的長(zhǎng)度是352-256=96 　　火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題的基本公式 　?。ɑ疖?chē)的長(zhǎng)度+橋的長(zhǎng)度）/時(shí)間＝速度 　　例3.甲、乙兩人分別沿鐵軌反向而行，此時(shí)，一列火車(chē)勻速地向甲迎面駛來(lái)，列車(chē)在甲身旁

35、開(kāi)過(guò)，用了15秒，然后在乙身旁開(kāi)過(guò)，用了17秒，已知兩人的步行速度都是3.6千米/小時(shí)，這列火車(chē)有多長(zhǎng)？ 　　【解答】從題意得知，甲與火車(chē)是一個(gè)相遇問(wèn)題，兩者行駛路程的和是火車(chē)的長(zhǎng).乙與火車(chē)是一個(gè)追及問(wèn)題，兩者行駛路程的差是火車(chē)的長(zhǎng)，因此，先設(shè)這列火車(chē)的速度為χ米/秒，兩人的步行速度3.6千米/小時(shí)＝1米/秒，所以根據(jù)甲與火車(chē)相遇計(jì)算火車(chē)的長(zhǎng)為(15χ＋115)米，根據(jù)乙與火車(chē)追及計(jì)算火車(chē)的長(zhǎng)為(17χ-117)米，兩種運(yùn)算結(jié)果火車(chē)的長(zhǎng)不變，列得方程為 　　15χ＋115＝17χ-117 　　解得：χ＝16 　　故火車(chē)的長(zhǎng)為1716-117＝255米 奧數(shù)行程：流水行船的要點(diǎn)及解

36、題技巧 一、什么叫流水行船問(wèn)題 船在水中航行時(shí)，除了自身的速度外，還受到水流的影響，在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和行程，研究水流速度與船只自身速度的相互作用問(wèn)題，叫作流水行船問(wèn)題。 二、流水行船問(wèn)題中有哪三個(gè)基本量？ 流水行船問(wèn)題是行程問(wèn)題中的一種，因此行程問(wèn)題中的速度、時(shí)間、路程三個(gè)基本量之間的關(guān)系在這里也當(dāng)然適用． 三、流水行船問(wèn)題中的三個(gè)基本量之間有何關(guān)系？ 流水行船問(wèn)題還有以下兩個(gè)基本公式： 順?biāo)俣?船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速.（2

37、） 這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過(guò)的路程.水速，是指水在單位時(shí)間里流過(guò)的路程.順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單位時(shí)間里所行的路程。 根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式（l）可以得到： 水速=順?biāo)俣?船速， 船速=順?biāo)俣?水速。 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速。 這就是說(shuō)，只要知道了船在靜水中的速度，船的實(shí)際速度和水速這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)量。 另外

38、，已知船的逆水速度和順?biāo)俣?，根?jù)公式（1）和公式（2），相加和相減就可以得到： 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）2， 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）2。 奧數(shù)行程：流水行船的例題及答案（一） 　　例1.一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港，然后調(diào)頭逆流向上到達(dá)中游的乙港，共用了12小時(shí)。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小時(shí)2千米，從甲港到乙港相距18千米。則甲、丙兩港間的距離為（ ） A.44千米 B.48千米 C.30千米 D.36千米 【答案】A。解析：順流速度－逆流速度=2水流速度，

39、又順流速度=2逆流速度，可知順流速度=4水流速度=8千米/時(shí)，逆流速度=2水流速度=4千米/時(shí)。設(shè)甲、丙兩港間距離為X千米，可列方程X8+（X－18）4=12解得X=44。 　例2.一艘輪船在兩碼頭之間航行。如果順?biāo)叫行?小時(shí)，如果逆水航行需11小時(shí)。已知水速為每小時(shí)3千米，那么兩碼頭之間的距離是多少千米？ A.180 B.185 C.190 D.176 【答案】D。解析：設(shè)全程為s，那么順?biāo)俣葹?，逆水速度為，由（順?biāo)俣?逆水速度）/2=水速，知道－=6，得出s=176。 【知識(shí)點(diǎn)撥】我們知道，船順?biāo)?/p>

40、航行時(shí)，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn)，同時(shí)整個(gè)水面又按水流動(dòng)的速度在前進(jìn)，因此船順?biāo)叫械膶?shí)際速度（簡(jiǎn)稱順?biāo)俣龋┚偷扔诖俸退俚暮?，即? 順?biāo)俣?船速+水速 同理：逆水速度=船速-水速 可推知：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2；水速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2 奧數(shù)行程：流水行船的例題及答案（二） 　　例1.甲、乙兩港間的水路長(zhǎng)208千米，一只船從甲港開(kāi)往乙港，順?biāo)?小時(shí)到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水13小時(shí)到達(dá)，求船在靜水中的速度和水流速度。 　　【分析】根據(jù)題意，要想求出船

41、速和水速，需要按上面的基本數(shù)量關(guān)系先求出順?biāo)俣群湍嫠俣?，而順?biāo)俣群湍嫠俣瓤砂葱谐虇?wèn)題的一般數(shù)量關(guān)系，用路程分別除以順?biāo)?、逆水所行時(shí)間求出。 　　解： 　　順?biāo)俣龋?088=26（千米/小時(shí)） 　　逆水速度：20813=16（千米/小時(shí)） 　　船速：（26+16）2=21（千米/小時(shí)） 　　水速：（26—16）2=5（千米/小時(shí)） 　　答：船在靜水中的速度為每小時(shí)21千米，水流速度每小時(shí)5千米。 　　例2.某船在靜水中的速度是每小時(shí)15千米，它從上游甲地開(kāi)往下游乙地共花去了8小時(shí)，水速每小時(shí)3千米，問(wèn)從乙地返回甲地需要多少時(shí)間？ 　　【分析】要想求從乙地返回甲地需要多少

42、時(shí)間，只要分別求出甲、乙兩地之間的路程和逆水速度。 　　解： 　　從甲地到乙地，順?biāo)俣龋?5+3=18（千米/小時(shí)）， 　　甲乙兩地路程：188=144（千米）， 　　從乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小時(shí)）， 　　返回時(shí)逆行用的時(shí)間：14412＝12（小時(shí)）。 　　答：從乙地返回甲地需要12小時(shí)。 　　例3.甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了5小時(shí).現(xiàn)在有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí)12千米，這機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？ 　　【分析】要求帆船往返兩港的時(shí)間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時(shí)間和與

43、時(shí)間差分別是35小時(shí)與5小時(shí)，用和差問(wèn)題解法可以求出逆流航行和順流航行的時(shí)間.并能進(jìn)一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎(chǔ)上再用和差問(wèn)題解法求出水速。 　　解： 　　輪船逆流航行的時(shí)間：（35+5）2=20（小時(shí)）， 　　順流航行的時(shí)間：（35—5）2=15（小時(shí)）， 　　輪船逆流速度：36020=18（千米/小時(shí)）， 　　順流速度：36015=24（千米/小時(shí)）， 　　水速：（24—18）2=3（千米/小時(shí)）， 　　帆船的順流速度：12＋3＝15（千米/小時(shí)）， 　　帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小時(shí)）， 　　帆船往返兩港所用時(shí)間： 　　36015＋3609＝2

44、4+40=64（小時(shí)）。 　　答：機(jī)帆船往返兩港要64小時(shí)。 奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的要點(diǎn)及解題技巧 一、什么是環(huán)形跑道問(wèn)題？ 環(huán)形跑道問(wèn)題特殊場(chǎng)地行程問(wèn)題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決多人多次相遇與追擊問(wèn)題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。 二、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用： 路程和=相遇時(shí)間速度和 路程差=追及時(shí)間速度差 三、解環(huán)形跑道問(wèn)題的一般方法： 環(huán)形跑道問(wèn)題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而

45、行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次．這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的例題及答案（一） 　　環(huán)形跑道問(wèn)題特殊場(chǎng)地行程問(wèn)題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決多人多次相遇與追擊問(wèn)題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。下面通過(guò)幾道例題來(lái)幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關(guān)知識(shí)。 例1.甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米？

46、【解答】設(shè)乙的速度是x米/分0.1米/秒=6米/分8x+8x+86=4005x=1221228400=2....176那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是176米 例2.二人沿一周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時(shí)同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時(shí)二人都要擊掌。問(wèn)第十五次擊掌時(shí)，甲走多長(zhǎng)時(shí)間乙走多少路程？ 【解答】甲走完10圈走了10*400=4000米他們每擊掌一次，甲走一圈(畫(huà)畫(huà)圖就會(huì)明白的)，則15*400=6000米總共走了6000+4000=10000米10000/400=25分

47、鐘因?yàn)榧滓宜邥r(shí)間想同所以乙走了25/7*400≈1428米 例3.林玲在450米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑一圈，已知他前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米，那么他后一半路程跑了多少秒？ 【解答】總共用時(shí)為450（5+4）＝50秒后半程用時(shí)＝（225-450）5+50＝55秒 例4.某人在360米的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米，則他后一半路程跑了多少秒？ 【解答】44秒因?yàn)楣不?0秒的時(shí)間（（80/2）-360/2）/5+80/2=44 例5.一條環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，小青每分鐘跑2

48、60米，小蘭每分鐘跑210米，兩人同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少分鐘兩人相遇（不用解方程） 【解答】小青每分鐘比小蘭多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分鐘 例6.兩人在環(huán)形跑道上跑步，兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇 【解答】（4+3）45=315米——環(huán)形跑道的長(zhǎng)（相遇問(wèn)題求解） 315（4-3）=315秒——（追及問(wèn)題求解） 答：315秒后兩人再次相遇. 奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的例題及答案（二） 　　環(huán)形跑道問(wèn)題特殊

49、場(chǎng)地行程問(wèn)題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決多人多次相遇與追擊問(wèn)題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。下面通過(guò)幾道例題來(lái)幫助大家鞏固環(huán)形跑道的相關(guān)知識(shí)。 例1.甲、乙兩人同時(shí)從400米的環(huán)形路跑道的一點(diǎn)A背向出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是（ ）。 A.166米 B.176米 C.224米 D.234米 【解答】甲、乙兩人三次相遇，共行了三個(gè)全程，即是3╳400=1200（米）。根據(jù)題意，

50、甲乙兩人的速度和為1200/8=150（米/分） 因?yàn)榧滓覂扇说拿糠炙俣炔顬?.1╳60=6（米/分），所以甲的速度為（150+6）/2=78（米/分） 甲8分鐘行的路程為78╳8=624（米），離開(kāi)原點(diǎn)624-400=224米，因?yàn)?24>400/2，所以400-224=176（米）即為答案。 例2.乙兩車(chē)同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，沿周長(zhǎng)6千米的圓形跑道以相反的方向行駛。甲車(chē)每小時(shí)行駛65千米，乙車(chē)每小時(shí)行駛55千米。一旦兩車(chē)迎面相遇，則乙車(chē)立刻調(diào)頭；一旦甲車(chē)從后面追上乙車(chē)，則甲車(chē)立刻調(diào)頭，那么兩車(chē)出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離點(diǎn)有多少米？(每一次甲車(chē)追

51、上乙車(chē)也看作一次相遇) 【解答】第一次是一個(gè)相遇過(guò)程，相遇時(shí)間為：6（65+55）=0.05小時(shí)，相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)：550.05=2.75千米．然后乙車(chē)調(diào)頭，成為追及過(guò)程，追及時(shí)間為：6（65-55）=0.6小時(shí)，乙車(chē)在此過(guò)程中走的路程為：550.6=33千米，即5圈又3千米，那么這時(shí)距離A點(diǎn)3-2.75=0.25千米．此時(shí)甲車(chē)調(diào)頭，又成為相遇過(guò)程，同樣方法可計(jì)算出相遇地點(diǎn)距離A點(diǎn)0.25+2.75=3千米，然后乙車(chē)掉頭，成為追及過(guò)程，根據(jù)上面的計(jì)算，乙車(chē)又要走5圈又3千米，所以此時(shí)兩車(chē)又重新回到了A點(diǎn)，并且行駛的方向與最開(kāi)始相同．所以，每4次相遇為一個(gè)周期，而114=2…3，所

52、以第11次相遇的地點(diǎn)與第3次相遇的地點(diǎn)是相同的，與A點(diǎn)的距離是3000米。 奧數(shù)行程：鐘面行程問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧 一、什么是鐘面行程問(wèn)題？ 鐘面行程問(wèn)題是研究鐘面上的時(shí)針和分針關(guān)系的問(wèn)題，常見(jiàn)的有兩種：⑴研究時(shí)針、分針成一定角度的問(wèn)題，包括重合、成一條直線、成直角或成一定角度；⑵研究有關(guān)時(shí)間誤差的問(wèn)題． 在鐘面上每針都沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，但因速度不同總是分針追趕時(shí)針，或是分針超越時(shí)針的局面，因此常見(jiàn)的鐘面問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解． 二、鐘面問(wèn)題有哪幾種類型？ 第一類是追及問(wèn)題（注意時(shí)針?lè)轴橁P(guān)系的時(shí)候往往有

53、兩種情況）；第二類是相遇問(wèn)題（時(shí)針?lè)轴樣肋h(yuǎn)不會(huì)是相遇的關(guān)系，但是當(dāng)時(shí)針?lè)轴樑c某一刻度夾角相等時(shí)，可以求出路程和）；第三種就是走不準(zhǔn)問(wèn)題，這一類問(wèn)題中最關(guān)鍵的一點(diǎn)：找到表與現(xiàn)實(shí)時(shí)間的比例關(guān)系。 三、鐘面問(wèn)題有哪些關(guān)鍵問(wèn)題？ ①確定分針與時(shí)針的初始位置； ②確定分針與時(shí)針的路程差； 四、解答鐘面問(wèn)題有哪些基本方法？ ①分格方法： 時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1／12分格。 ②度數(shù)

54、方法： 從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60度，即1/2度。 奧數(shù)行程：鐘面行程問(wèn)題的例題及答案（一） 　　例1：從5時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后，時(shí)針與分針第一次成了直線？ 5時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向右下方，此時(shí)兩者之間間隔為25個(gè)小格(表面上每個(gè)數(shù)字之間為5個(gè)小格)，如果要成直線，則分針要超過(guò)時(shí)針30個(gè)小格，所以在此時(shí)間段內(nèi)，分針一共比時(shí)針多走了55個(gè)小格。由每分鐘分針比時(shí)針都走11/12個(gè)小格可知，此段時(shí)間為55/(11/12

55、)=60分鐘，也就是經(jīng)過(guò)60分鐘時(shí)針與分針第一次成了直線。 例2：從6時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合？ 6時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正下方，兩者之間間隔為30個(gè)小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/(11/12)=360/11分鐘。 例3：在8時(shí)多少分，時(shí)針與分針垂直？ 8時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向左下方，兩者之間間隔為40個(gè)小格。如果要兩者垂直，有兩種情況，一個(gè)是第一次垂直，此時(shí)兩者間隔為15個(gè)小格(分針落后時(shí)針)，也就是分針比時(shí)針多走了25

56、個(gè)小格，此段時(shí)間為25/(11/12)=300/11分鐘；另一次是第二次垂直，此時(shí)兩者間隔仍為15個(gè)小格(但分針超過(guò)時(shí)針)，也就是分針比時(shí)針多走了55個(gè)小格，此段時(shí)間為55/(11/12)=60分鐘，時(shí)間變?yōu)?時(shí)，超過(guò)了題意的8時(shí)多少分要求，所以在8時(shí)300/11分時(shí)，分針與時(shí)針垂直。 由上面三個(gè)例題可以看出，求解此類問(wèn)題(經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，分針與時(shí)間成多少夾角)時(shí)，采用上述方法是非常方便、簡(jiǎn)單、快捷的，解題過(guò)程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是抓住分針比時(shí)針多走了多少個(gè)小格，而不論兩者分別走了多少個(gè)小格。

57、 奧數(shù)行程：鐘面行程問(wèn)題的例題及答案（二） 　　例1：從9點(diǎn)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分，在幾點(diǎn)鐘，時(shí)針與分針第一次成直線？ 　　9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走15個(gè)小格，此段時(shí)間為15/(11/12)=180/11分鐘。 　　例2：一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需要多少分鐘？ 　　9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要分針追上時(shí)針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走45個(gè)小格，此段時(shí)間為45/(11/1

58、2)=540/11分鐘。 　　例3：時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過(guò)多少分鐘可以成一條直線？ 　　時(shí)針和分針重合，也就是兩者間隔為0個(gè)小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/(11/12)=360/11分鐘。 奧數(shù)行程：走走停停的要點(diǎn)及解題技巧 　　一、行程問(wèn)題里走走停停的題目應(yīng)該怎么做 1.畫(huà)出速度和路程的圖。 2.要學(xué)會(huì)讀圖。 3.每一個(gè)加速減速、勻速要分清楚，這有利于你的解題思路。 4.要注意每一個(gè)行程之間的聯(lián)系。 二、學(xué)好

59、行程問(wèn)題的要訣 行程問(wèn)題可以說(shuō)是難度最大的奧數(shù)專題。 類型多：行程分類細(xì)，變化多，工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個(gè)類型重點(diǎn)不一，因此沒(méi)有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可以抓 題目難：理解題目、動(dòng)態(tài)演繹推理——靜態(tài)知識(shí)容易學(xué)，動(dòng)態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力 跨度大：從三年級(jí)到六年級(jí)都要學(xué)行程——四年的跨度，需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來(lái)加深理解、夯實(shí)基礎(chǔ) 那么想要學(xué)好行程問(wèn)題，需要掌握哪些要訣呢？ 要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是"學(xué)透"基本公式 要訣二：無(wú)規(guī)律的題目有"攻略"，一畫(huà)（畫(huà)圖法）二抓（比例

60、法、方程法） 競(jìng)賽考試中的行程題涉及到很多中數(shù)學(xué)方法和思想（比如：假設(shè)法、比例、方程）等的熟練運(yùn)用，而這些方法和思想，都是小學(xué)奧數(shù)中最為經(jīng)典并能考察孩子思維的專項(xiàng)。 奧數(shù)行程：走走停停的例題及答案（一） 　　例1.甲乙兩人同時(shí)從一條800環(huán)形跑道同向行駛，甲100米/分，乙80米/分，兩人每跑200米休息1分鐘，甲需多久第一次追上乙？ 【解答】這樣的題有三種情況：在乙休息結(jié)束時(shí)被追上、在休息過(guò)程中被追上和在行進(jìn)中被追上。很顯然首先考慮在休息結(jié)束時(shí)的時(shí)間最少，如果不行再考慮在休息過(guò)程中被追上，最后考慮行進(jìn)中被追上。其中在休息結(jié)束時(shí)或者休息過(guò)程中被追上的情況必須考慮

61、是否是在休息點(diǎn)追上的。 由此首先考慮休息800200－1＝3分鐘的情況。甲就要比乙多休息3分鐘，就相當(dāng)于甲要追乙800＋803＝1040米，需要1040（100－80）＝52分鐘，52分鐘甲行了52100＝5200米，剛好是在休息點(diǎn)追上的滿足條件。行5200米要休息5200200－1＝25分鐘。 因此甲需要52＋25＝77分鐘第一次追上乙。 例2.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿剑酌棵肱?米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒．那么，甲追上乙需要多少秒？

62、【解答】這是傳說(shuō)中的“走走停?！钡男谐虇?wèn)題。 這里分三種情況討論休息的時(shí)間，第一、如果在行進(jìn)中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息結(jié)束的時(shí)候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息過(guò)程中且又沒(méi)有休息結(jié)束，那么甲比乙多休息的時(shí)間，就在這5～10秒之間。顯然我們考慮的順序是首先看是否在結(jié)束時(shí)追上，又是否在休息中追上，最后考慮在行進(jìn)中追上。 有了以上的分析，我們就可以來(lái)解答這個(gè)題了。我們假設(shè)在同一個(gè)地點(diǎn)，甲比乙晚出發(fā)的時(shí)間在200/7＋5＝235/7和200/7＋10＝270/7的之間，在以后的行程中，甲就要比乙少用這么多時(shí)間，由于甲行100米比乙少用100/

63、5－100/7＝40/7秒。 繼續(xù)討論，因?yàn)?70/740/7不是整數(shù)，說(shuō)明第一次追上不是在乙休息結(jié)束的時(shí)候追上的。因?yàn)樵谶@個(gè)范圍內(nèi)有240/740/7＝6是整數(shù)，說(shuō)明在乙休息的中追上的。即甲共行了6100＋200＝800米，休息了7次，計(jì)算出時(shí)間就是800/7＋75＝149又2/7秒。 注：這種方法不適于休息點(diǎn)不同的題，具有片面性。 例3.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿剑酌棵肱?米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒．那么，甲追上乙需要多少秒？ 這

64、里分三種情況討論休息的時(shí)間，第一、如果在行進(jìn)中追上，甲比乙多休息10秒，第二，如果在乙休息結(jié)束的時(shí)候追上，甲比乙多休息5秒，第三，如果在休息過(guò)程中且又沒(méi)有休息結(jié)束，那么甲比乙多休息的時(shí)間，就在這5～10秒之間。顯然我們考慮的順序是首先看是否在結(jié)束時(shí)追上，又是否在休息中追上，最后考慮在行進(jìn)中追上。 有了以上的分析，我們就可以來(lái)解答這個(gè)題了。我們假設(shè)在同一個(gè)地點(diǎn)，甲比乙晚出發(fā)的時(shí)間在200/7＋5＝235/7和200/7＋10＝270/7的之間，在以后的行程中，甲就要比乙少用這么多時(shí)間，由于甲行100米比乙少用100/5－100/7＝40/7秒。 繼續(xù)討論，因?yàn)?7

65、0/740/7不是整數(shù)，說(shuō)明第一次追上不是在乙休息結(jié)束的時(shí)候追上的。因?yàn)樵谶@個(gè)范圍內(nèi)有240/740/7＝6是整數(shù)，說(shuō)明在乙休息的中追上的。即甲共行了6100＋200＝800米，休息了7次，計(jì)算出時(shí)間就是800/7＋75＝149又2/7秒。 奧數(shù)行程：接送問(wèn)題的例題及答案（一） 　　例1：如果A、B兩地相距10千米，一個(gè)班有學(xué)生45人，由A地去B地，現(xiàn)在有一輛馬車(chē)，車(chē)速是人步行的3倍，馬車(chē)每次可以 乘坐9人，在A地先將第一批學(xué)生送到B地，其余的學(xué)生同時(shí)向B地前進(jìn)；車(chē)到B地后立即返回，在途中與步行的學(xué)生相遇后，再接9名學(xué)生前往B地，余下的學(xué)

66、生繼續(xù)向B地前進(jìn)...多次往返后，當(dāng)全體學(xué)生到達(dá)B地時(shí)，馬車(chē)共行了多少千米？ 【解答】10*(1+2/3*3/4*2+1/3*3/4*2+1/6*3/4*2+1/8*3/4*2)=10*47/16=235/8千米 　　例2：某工廠每天早晨都派小汽車(chē)接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時(shí)提前一小時(shí)出發(fā)，步行去工廠，走了一段時(shí)間后遇到來(lái)接他的汽車(chē)，他上車(chē)后汽車(chē)立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)入工廠大門(mén)時(shí)，他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到10分鐘，問(wèn)專家在路上步行了多長(zhǎng)時(shí)間才遇到汽車(chē)？(設(shè)人和汽車(chē)都作勻速運(yùn)動(dòng)，他上車(chē)及調(diào)頭時(shí)間不記) 　　【解答】設(shè)專家從家中出發(fā)后走到M處（如圖1）與小汽車(chē)相遇。由于正常接送必須從B→A→B，而現(xiàn)在接送是從B→M→B恰好提前10分鐘；則小汽車(chē)從 M→A→M剛好需10分鐘；于是小汽車(chē)從M→A只需5分鐘。這說(shuō)明專家到M處遇到小汽車(chē)時(shí)再過(guò)5分鐘，就是以前正常接送時(shí)在家的出發(fā)時(shí)間，