《高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用學業(yè)質(zhì)量標準檢測 新人教A版選修11》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用學業(yè)質(zhì)量標準檢測 新人教A版選修11(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第三章 導數(shù)及其應用
時間120分鐘,滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.設(shè)正弦函數(shù)y=sin x在x=0和x=附近的瞬時變化率為k1、k2,則k1、k2的大小關(guān)系為( A )
A.k1>k2 B.k1<k2
C.k1=k2 D.不確定
[解析] y=sin x,y′=cos x,∴k1=cos 0=1,k2=cos=0,k1>k2.
2.y=xα在x=1處切線方程為y=-4x,則α的值為( B )
A.4 B.-4
C.1 D.-1
2、
[解析] y′=(xα)′=αxα-1,
由條件知,y′|x=1=α=-4.
3.函數(shù)y=x2cos x的導數(shù)為( A )
A.y′=2xcos x-x2sin x B.y′=2xcos x+x2sin x
C.y′=x2cosx-2xsin x D.y′=xcosx-x2sin x
[解析] y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2·(cos x)′=2xcos x-x2sin x.
4.函數(shù)y=12x-x3的單調(diào)遞增區(qū)間為( C )
A.(0,+∞) B.(-∞,-2)
C.(-2,2) D.(2,+∞)
[解析] y′=12-3x2=3(4-x
3、2)=3(2+x)(2-x),令y′>0,得-2<x<2,故選C.
5.(2016·福建寧德市高二檢測)曲線f(x)=在x=e處的切線方程為( A )
A.y= B.y=e
C.y=x D.y=x-e+
[解析] f′(x)=,∴f′(e)==0,
∴曲線在x=e處的切線的斜率k=0.
又切點坐標為(e,),∴切線方程為y=.
6.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3時取得極值,則a=( D )
A.2 B.3
C.4 D.5
[解析] f ′(x)=3x2+2ax+3,由條件知,x=-3是方程f ′(x)=0的實數(shù)根,∴a=5.
4、
7.三次函數(shù)f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則m的取值范圍是( C )
A.m<0 B.m<1
C.m≤0 D.m≤1
[解析] f ′(x)=3mx2-1,由題意知3mx2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,當m=0時,-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立;當m≠0時,由題意得m<0,綜上可知m≤0.
8.已知拋物線y=-2x2+bx+c在點(2,-1)處與直線y=x-3相切,則b+c的值為( C )
A.20 B.9
C.-2 D.2
[解析] 由題意得y′|x=2=1,又y′=-4x+b,
∴-4×2+b=1,∴b=9,
又點(2
5、,-1)在拋物線上,
∴c=-11,∴b+c=-2,故選C.
9.三次函數(shù)當x=1時,有極大值4;當x=3時,有極小值0,且函數(shù)過原點,則此函數(shù)是( B )
A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x
[解析] 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
∵函數(shù)圖象過原點,∴d=0.f ′(x)=3ax2+2bx+c,
由題意得,,即,解得,
∴f(x)=x3-6x2+9x,故應選B.
10.(2016·山西大同高二月考)某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品,若該商品零售價定為P元,銷
6、售量為Q,則銷售量Q(單位:件)與零售價P(單位:元)有如下關(guān)系Q=8 300-170P-P2,則最大毛利潤為(毛利潤=銷售收入-進貨支出)( D )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
[解析] 設(shè)毛利潤為L(P),由題意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,所以L′(P)=-3P2-300P+11 700.令L′(P)=0,解得P=30或-130(舍).此時L(30)=23 000,因為在P=30附近的左側(cè)L′(P)>0,右側(cè)L′(P)<0.所以
7、L(30)是極大值也是最大值.
11.(2016·山東滕州市高二檢測)已知f′(x)是函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是( C )
[解析] ∵x=-2時, f(x)取得極小值,∴在點(-2,0)左側(cè),f′(x)<0,∴xf′(x)>0,在點(-2,0)右側(cè)f′(x)>0,∴xf′(x)<0,故選C.
12.(2016·山西晉城月考)已知f(x)=x3-3x,過點A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,則實數(shù)m的取值范圍是( D )
A.(-1,1) B
8、.(-2,3)
C.(-1,2) D.(-3,-2)
[解析] 設(shè)切點為(t,t3-3t),f′(x)=3x2-3,則切線方程為y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t,整理得y=(3t2-3)x-2t3.把A(1,m)代入整理,得2t3-3t2+m+3=0?、?因為過點A可作三條切線,所以①有三個解.記g(t)=2t3-3t2+m+3,則g′(t)=6t2-6t=6t(t-1),所以當t=0時,極大值g(0)=m+3,當t=1時,極小值g(1)=m+2.要使g(t)有三個零點,只需m+3>0且m+2<0,即-3<m<-2.
二、填空題(本大題共4個小題,每小題5
9、分,共20分,將正確答案填在題中橫線上)
13.若函數(shù)f(x)=x3-f′(1)x2+2x-5,則f′(2)= .
[解析] ∵f′(x)=3x2-2f′(1)x+2,
∴f′(1)=3-2f′(1)+2,∴f′(1)=.
因此f′(2)=12-4f′(1)+2=.
14.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+cx+d有極值,則c的取值范圍為 c< .
[解析] ∵f ′(x)=x2-x+c且f(x)有極值,
∴f ′(x)=0有不等的實數(shù)根,即Δ=1-4c>0.
解得c<.
15.已知函數(shù)f(x)=x3-x2-x+m在[0,1]上的最小值為,則實數(shù)m的值為__2
10、__.
[解析] f′(x)=x2-2x-1,
令f′(x)<0,得1-<x<1+,
∴f(x)在(1-,1+)上單調(diào)遞減,即f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,∴f(x)min=f(1)=-1-1+m=,解得m=2.
16.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點,則a的取值范圍是__a<-1__.
[解析] ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.
當a≥0時,y不可能有極值點,故a<0.
由ex+a=0,得ex=-a,∴x=ln(-a).
∴x=ln(-a)即為函數(shù)的極值點.
∴l(xiāng)n(-a)>0,即ln(-a)>ln1.
11、
∴a<-1.
三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f ′(x)=g′(x),f(5)=30.求g(4).
[解析] 由f(2x+1)=4g(x),
得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.
于是有
由f ′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c,③
由f(5)=30,得25+5a+b=30.④
由①③可得a=c=2,由④得b=-5,
再由②得d=-,∴g(x)=x2+2x-.
12、
故g(4)=16+8-=.
18.(本題滿分12分)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,求實數(shù)a的值.
[解析] 設(shè)直線與曲線y=x3的切點坐標為(x0,y0),
由題意得,
解得x0=0或x0=.
當x0=0時,切線的斜率k=0,
∴切線方程為y=0.
由,得ax2+x-9=0.
Δ=()2+36a=0,
解得a=-.
當x0=時,k=,
其切線方程為y=(x-1).
由,得ax2-3x-=0.
Δ=(-3)2+9a=0,解得a=-1.
綜上可知a=-1或a=-.
19.(本題滿分12分)(2016·安徽合肥高二檢測)
13、已知函數(shù)f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的極值.
[解析] ∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,
∴f′(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)
=8(2x-a)(3x-a),
令f′(x)=0,得x1=,x2=.
(1)當a>0時,<,則隨著x的變化,
f′(x)、 f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,)
(,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
∴當a=時,函數(shù)取得
14、極大值f()=;
當x=時,函數(shù)取得極小值f()=0.
(2)當a<0時,<,則隨著x的變化,
f′(x)、 f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,)
(,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
∴當x=時,函數(shù)取得極大值f()=0;
當x=時,函數(shù)取得極小值f()=.
綜上所述,當a>0時,函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f()=,在x=處取得極小值f()=0;
當a<0時,函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f()=0在x=處取得極小值f()=.
15、20.(本題滿分12分)(2017·全國Ⅲ文,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當a<0時,證明f(x)≤--2.
[解析] (1)解:f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=+2ax+2a+1=.
若a≥0,則當x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
若a<0,則當x∈(0,-)時,f′(x)>0.
當x∈(-,+∞)時,f′(x)<0.
故f(x)在(0,-)上單調(diào)遞增,在(-,+∞)上單調(diào)遞減.
(2)證明:由(1)知,當a&
16、lt;0時,f(x)在x=-處取得最大值,最大值為f(-)=ln(-)-1-.
所以f(x)≤--2等價于ln(-)-1-≤--2,
即ln(-)++1≤0.
設(shè)g(x)=ln x-x+1,
則g′(x)=-1.
當x∈(0,1)時,g′(x)>0;
當x∈(1,+∞)時,g′(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
故當x=1時,g(x)取得最大值,最大值為g(1)=0.
所以當x>0時,g(x)≤0.
從而當a<0時,ln(-)++1≤0,
即f(x)≤--2.
21.(本題滿分12分)(2017·
17、;全國Ⅰ文,21)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范圍.
[解析] (1)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞),
f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,則f(x)=e2x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
②若a>0,則由f′(x)=0得x=lna.
當x∈(-∞,lna)時,f′(x)<0;
當x∈(lna,+∞)時,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減.
在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.
③若a<0,則由f′(x)=0
18、得x=ln(-).
當x∈(-∞,ln(-))時,f′(x)<0;
當x∈(ln(-),+∞)時,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,ln(-))上單調(diào)遞減,
在(ln(-),+∞)上單調(diào)遞增.
(2)解:①若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x)≥0.
②若a>0,則由(1)得,當x=lna時,f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a2lna,
從而當且僅當-a2lna≥0,即a≤1時,f(x)≥0.
③若a<0,則由(1)得,當x=ln(-)時,f(x)取得最小值,
最小值為f(ln(-))=a2[-ln(-)],從而當且僅當a2[-ln
19、(-)]≥0,即a≥-2e時,f(x)≥0.
綜上,a的取值范圍是[-2e,1].
22.(本題滿分12分)某造船公司年最高造船量是20艘,已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3700x+45x2-10x3(單位:萬元),成本函數(shù)為C(x)=460x+5000(單位:萬元),又在經(jīng)濟學中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).
(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);(提示:利潤=產(chǎn)值-成本)
(2)問年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大?
(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么?
20、[解析] (1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N+,且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N+,且1≤x≤19).
(2)P′(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),
∵x>0,∴P′(x)=0時,x=12,
∴當0<x<12時,P′(x)>0,當x>12時,P′(x)<0,
∴x=12時,P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘時,可使公司造船的年利潤最大.
(3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305.
所以,當x≥1時,MP(x)單調(diào)遞減,
所以單調(diào)減區(qū)間為[1,19],且x∈N+.
MP(x)是減函數(shù)的實際意義是:隨著產(chǎn)量的增加,每艘船的利潤與前一艘比較,利潤在減少.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375