江蘇高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書：第2部分 八大難點(diǎn)突破 難點(diǎn)2　立體幾何中的探索性與存在性問題 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 難點(diǎn)二　 立體幾何中的探索性與存在性問題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第65頁) 數(shù)學(xué)科考試大綱指出，通過考試，讓學(xué)生提高多種能力，其中空間想象能力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力．要在立體幾何學(xué)習(xí)中形成．立體幾何中的探索性與存在性問題實(shí)質(zhì)是對(duì)線面平行與垂直性質(zhì)定理的考查． 探究性與存在性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性與存在性問題既能夠考查學(xué)生的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力． 1．對(duì)命題條件的探索 探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條

2、件是什么．對(duì)命題條件的探索常采用以下三種方法： (1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再給出證明； (2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性； (3)把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索出命題成立的條件． 【例1】　如圖1，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90，BC＝CD＝AD，E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90. 在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394092】 圖1 [解]　在梯形ABCD中，AB與CD不平行．如圖，延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M(M∈平面PAB)，點(diǎn)

3、M即為所求的一個(gè)點(diǎn)． 理由如下： 由已知，知BC∥ED，且BC＝ED， 所以四邊形BCDE是平行四邊形， 從而CM∥EB. 又EB?平面PBE，CM?平面PBE， 所以CM∥平面PBE. (說明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP＝PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)) [思路分析]　證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法(若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；(2)證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；

4、(3)證明兩個(gè)平面垂直，首先考慮直線與平面垂直，也可以簡(jiǎn)單記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法與空間中的平行關(guān)系的證明類似，掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類題的關(guān)鍵． [點(diǎn)評(píng)]　這類探索性題型通常是找命題成立的一個(gè)充分條件，所以解這類題采用下列二種方法：(1)通過各種探索嘗試給出條件；(2)找出命題成立的必要條件，也證明充分性． 2．對(duì)命題結(jié)論的探索 探索結(jié)論，即在給定的條件下命題的結(jié)論是什么．對(duì)命題結(jié)論的探索，常從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論是什么，另外還有探索的結(jié)論是否存在．求解時(shí)，常假設(shè)結(jié)論存在，再尋找與條件相容還是矛盾的結(jié)論． 【例2】　如圖2，在四棱錐

5、P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. 圖2 (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說明理由． [解]　(1)證明：因?yàn)镻C⊥平面ABCD， 所以PC⊥DC. 又因?yàn)镈C⊥AC，且PC∩AC＝C， 所以DC⊥平面PAC. (2)證明：因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC， 所以AB⊥AC. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC. (3)棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF. 理由如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF. 又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA. 又因?yàn)镻A?平面CEF，且EF?平面CEF， 所以PA∥平面CEF. [點(diǎn)評(píng)]　對(duì)于立體幾何的探索性與存在性問題一般都是條件開放性的探究問題，采用的方法一般是執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，運(yùn)用方程的思想或向量的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題解決．如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件，或出現(xiàn)了矛盾，則不存在．