《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第8章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第8章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案 理 北師大版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系
[考綱傳真] (教師用書獨具)1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩平行直線間的距離.
(對應(yīng)學(xué)生用書第132頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
①對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2.
②當(dāng)直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1∥l2.
(2
2、)兩條直線垂直
①如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2,則有l(wèi)1⊥l2?k1k2=-1.
②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2.
2.兩條直線的交點的求法
直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù)),則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解.
3.三種距離
P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點之間的距離|P1P2|
d=
點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離
d=
平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離
d=
4.線段的中點
3、坐標(biāo)公式
若點P1,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段P1P2的中點M的坐標(biāo)為(x,y),
則
[知識拓展] 三種常見的直線系方程
(1)平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
(2)垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程:Bx-Ay+λ=0.
(3)過兩條已知直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直線A2x+B2y+C2=0).
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”)
(1)當(dāng)直線
4、l1和l2斜率都存在時,一定有k1=k2?l1∥l2.( )
(2)如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于-1.( )
(3)點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為.( )
(4)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù)),若直線l1⊥l2,則A1A2+B1B2=0.( )
(5)若點P,Q分別是兩條平行線l1,l2上的任意一點,則P,Q兩點的最小距離就是兩條平行線的距離.( )
(6)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解,則兩直線相交.( )
[答案] (1) (2) (3) (
5、4)√ (5)√ (6)√
2.(教材改編)已知點(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a等于( )
A. B.2-
C.-1 D.+1
C [由題意得=1,即|a+1|=,
又a>0,∴a=-1.]
3.已知直線l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:x-2y=0.若l1⊥l2,則實數(shù)a的值為________.
2 [由=-2,得a=2.]
4.已知點P(-1,1)與點Q(3,5)關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程為________.
x+y-4=0 [線段PQ的中點坐標(biāo)為(1,3),直線PQ的斜率k1=1,∴直線l的斜率k2=-1,∴直線l
6、的方程為x+y-4=0.]
5.直線l1:x-y+6=0與l2:3x-3y+2=0的距離為________.
[直線l1可化為3x-3y+18=0,則l1∥l2,所以這兩條直線間的距離d==.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第133頁)
兩條直線的平行與垂直
(1)設(shè)a∈R,則“a=1”是“直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
(2)若直線l1:(a-1)x+y-1=0和直線l2:3x+ay+2=0垂直,則實數(shù)a的值為( )
A. B.
7、
C. D.
(1)A (2)D [(1)當(dāng)a=1時,顯然l1∥l2,
若l1∥l2,則a(a+1)-21=0,
所以a=1或a=-2.
所以a=1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件.
(2)由已知得3(a-1)+a=0,解得a=.]
[規(guī)律方法] 1.已知兩直線的斜率存在,判斷兩直線平行、垂直的方法
(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等;
(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于-1.
2.由一般式判定兩條直線平行、垂直的依據(jù)
若直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則①l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且A1
8、C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0);②l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
易錯警示:當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時,若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx廣東揭陽一模)若直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行,則m的值為( )
A.7 B.0或7
C.0 D.4
(2)(20xx安徽池州月考)已知b>0,直線(b2+1)x+ay+2=0與直線x-b2y-1=0互相垂直,則ab的最小值等于________.
(1)B (
9、2)2 [(1)∵直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行,
∴m(m-1)=3m2,∴m=0或7,
經(jīng)檢驗,都符合題意.故選B.
(2)由題意知a≠0.∵直線(b2+1)x+ay+2=0與直線x-b2y-1=0互相垂直,∴-=-1,
ab=(a>0),ab≥=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=1時取等號,
∴ab的最小值等于2.]
兩條直線的交點與距離問題
(1)求經(jīng)過兩條直線l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交點,且與直線2x-y-1=0垂直的直線方程為________.
【導(dǎo)學(xué)號:79140268】
(2)直線l過點P(-1,2)且到點A(2
10、,3)和點B(-4,5)的距離相等,則直線l的方程為________.
(1)x+2y-7=0 (2)x+3y-5=0或x=-1 [(1)由得
∴l(xiāng)1與l2的交點坐標(biāo)為(1,3).
設(shè)與直線2x-y-1=0垂直的直線方程為x+2y+c=0,
則1+23+c=0,∴c=-7.
∴所求直線方程為x+2y-7=0.
(2)法一:當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由題意知=,
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-,
∴直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,也符
11、合題意.
法二:當(dāng)AB∥l時,有k=kAB=-,直線l的方程為
y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
當(dāng)l過AB中點時,AB的中點為(-1,4),
∴直線l的方程為x=-1.
故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.]
[規(guī)律方法] 1.求過兩直線交點的直線方程的方法
求過兩直線交點的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程.
2.處理距離問題的兩大策略
(1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求.
(2)動點到兩定點距離相等,一般不直接利用兩點間距離公式處理,而是轉(zhuǎn)化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上,從而簡
12、化計算.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx河北省“五個一名校聯(lián)盟”質(zhì)檢)若直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則l1與l2間的距離為( )
A. B.
C. D.
(2)已知點P(4,a)到直線4x-3y-1=0的距離不大于3,則a的取值范圍為________.
(1)B (2)[0,10] [(1)因為l1∥l2,所以=≠,所以解得a=-1,所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,所以l1與l2之間的距離d==,故選B.
(2)由題意得,點P到直線的距離為=.
∴≤3,即|15-3a|≤15,
解得0≤a≤10,所以a的取值范圍是
13、[0,10].]
對稱問題
(1)過點P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,則直線l的方程為________.
(2)平面直角坐標(biāo)系中直線y=2x+1關(guān)于點(1,1)對稱的直線l方程是________.
(1)x+4y-4=0 (2)y=2x-3 [(1)設(shè)l1與l的交點為A(a,8-2a),則由題意知,點A關(guān)于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,把B點坐標(biāo)代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即點A(4,0)在直線l上,
所以由兩點式得直線l的方程為x+4y-4=0.
(2
14、)法一:在直線l上任取一點P′(x,y),其關(guān)于點(1,1)的對稱點P(2-x,2-y)必在直線y=2x+1上,∴2-y=2(2-x)+1,即2x-y-3=0.
因此,直線l的方程為y=2x-3.
法二:由題意,l與直線y=2x+1平行,設(shè)l的方程為2x-y+c=0(c≠1),則點(1,1)到兩平行線的距離相等,
∴=,解得c=-3.
因此所求直線l的方程為y=2x-3.
法三:在直線y=2x+1上任取兩個點A(0,1),B(1,3),則點A關(guān)于點(1,1)對稱的點M(2,1),點B關(guān)于點(1,1)對稱的點N(1,-1).由兩點式求出對稱直線MN的方程為=,即y=2x-3.]
15、1.在題(2)中“將結(jié)論”改為“求點A(1,1)關(guān)于直線y=2x+1的對稱點”,則結(jié)果如何?
[解] 設(shè)點A(1,1)關(guān)于直線y=2x+1的對稱點為A′(a,b),
則AA′的中點為,
所以解得
故點A(1,1)關(guān)于直線y=2x+1的對稱點為.
2.在題(2)中“關(guān)于點(1,1)對稱”改為“關(guān)于直線x-y=0對稱”,則結(jié)果如何?
[解] 在直線y=2x+1上任取兩個點A(0,1),B(1,3),則點A關(guān)于直線x-y=0的對稱點為M(1,0),點B關(guān)于直線x-y=0的對稱點為N(3,1),
根據(jù)兩點式,得所求直線的方程為=,即x-2y-1=0.
[規(guī)律方法] 常見對稱問題的求解方
16、法
(1)中心對稱
①點P(x,y)關(guān)于Q(a,b)的對稱點P′(x′,y′)滿足
②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.
(2)軸對稱
①點A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(B≠0)的對稱點A′(m,n),則有
即轉(zhuǎn)化為垂直與平方問題.
②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.
[跟蹤訓(xùn)練] (1)已知點A(1,3)關(guān)于直線y=kx+b對稱的點是B(-2,1),則直線y=kx+b在x軸上的截距是________.
【導(dǎo)學(xué)號:79140269】
(2)(20xx河北五校聯(lián)考)直線ax+y+3a-1=0恒過定點M,則直線2x+3y-6=0
17、關(guān)于M點對稱的直線方程為( )
A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0
C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0
(1) (2)D [(1)由題意得線段AB的中點在直線y=kx+b上,直線AB與直線y=kx+b垂直,故解得k=-,b=.所以直線y=kx+b的方程即為y=-x+.令y=0,即-x+=0,解得x=,故直線y=kx+b在x軸上的截距為.
(2)由ax+y+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令可得x=-3,y=1,∴M(-3,1),M不在直線2x+3y-6=0上,設(shè)直線2x+3y-6=0關(guān)于M點對稱的直線方程為2x+3y+c=0(c≠-6),則=,解得c=12或c=-6(舍去),∴所求方程為2x+3y+12=0,故選D.]