高三文科數(shù)學(xué)通用版二輪復(fù)習(xí):第1部分 專題4 突破點(diǎn)9 空間幾何體表面積或體積的求解 Word版含解析

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題四立體幾何建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系 掃一掃,各專題近五年全國(guó)考點(diǎn)分布高考點(diǎn)撥立體幾何專題是高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一,常以“兩小一大”呈現(xiàn),小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關(guān)的體積)內(nèi)容,一大題??伎臻g幾何體位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”、“空間中的平行與垂直關(guān)系”兩大角度進(jìn)行典例剖析,引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能突破點(diǎn)9空間幾何體表面積或體積的求解提煉1求解幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體,可直接利用公式計(jì)算(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體,可采用割補(bǔ)法求解;對(duì)于某些三棱錐,有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換

2、法求解(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí),注意圓柱的軸截面是矩形,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用提煉2球與幾何體的外接與內(nèi)切(1)正四面體與球:設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ,由正四面體本身的對(duì)稱性,可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同,則內(nèi)切球的半徑ra,外接球的半徑Ra.圖101(2)正方體與球:設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,O為其對(duì)稱中心,E,F(xiàn),H,G分別為AD,BC,B1C1,A1D1的中點(diǎn),J為HF的中點(diǎn),如圖101所示正方體的內(nèi)切球:截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓,故其內(nèi)切球的半徑為OJ;正方體的棱切球:截面圖為正方形EFHG的外接圓,故其棱切球的半徑為OG

3、;正方體的外接球:截面圖為矩形ACC1A1的外接圓,故其外接球的半徑為OA1.回訪1幾何體的表面積或體積1. (20xx全國(guó)甲卷)如圖102是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()圖102A20B.24C.28 D.32C由三視圖可知圓柱的底面直徑為4,母線長(zhǎng)(高)為4,所以圓柱的側(cè)面積為22416,底面積為224;圓錐的底面直徑為4,高為2,所以圓錐的母線長(zhǎng)為4,所以圓錐的側(cè)面積為248.所以該幾何體的表面積為S164828.2(20xx全國(guó)卷)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖103,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()圖103A.B.C.D

4、.D由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分,如圖所示,截去部分是一個(gè)三棱錐設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則三棱錐的體積為V1111,剩余部分的體積V213.所以,故選D.3(20xx全國(guó)卷)如圖104,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1 cm),圖中粗線畫(huà)出的是某零件的三視圖,該零件由一個(gè)底面半徑為3 cm,高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為()圖104A.B.C.D.C由三視圖可知幾何體是如圖所示的兩個(gè)圓柱的組合體其中左面圓柱的高為4 cm,底面半徑為2 cm,右面圓柱的高為2 cm,底面半徑為3 cm,則組合體的體積V122432

5、2161834(cm3),原毛坯體積V232654(cm3),則所求比值為.回訪2球與幾何體的外接與內(nèi)切4(20xx全國(guó)卷)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐OABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A36 B.64C.144 D.256C如圖,設(shè)球的半徑為R,AOB90,SAOBR2.VOABCVCAOB,而AOB面積為定值,當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí),VOABC最大,當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí),體積VOABC最大為R2R36,R6,球O的表面積為4R2462144.故選C.5(20xx全國(guó)卷)如圖105,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的

6、正方體容器,容器高8 cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm,如果不計(jì)容器厚度,則球的體積為()圖105A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3A如圖,作出球的一個(gè)截面,則MC862(cm),BMAB84(cm)設(shè)球的半徑為R cm,則R2OM2MB2(R2)242,R5,V球53(cm3)6(20xx全國(guó)卷)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC2,則此棱錐的體積為()A. B.C. D.A由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是ABC,O是SC的中點(diǎn),因此三棱錐SABC的高是

7、三棱錐OABC高的2倍,所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍在三棱錐OABC中,其棱長(zhǎng)都是1,如圖所示,SABCAB2,高OD,VSABC2VOABC2.熱點(diǎn)題型1幾何體的表面積或體積題型分析:解決此類題目,準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提,套用公式是關(guān)鍵,求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀,再套用公式求解(1)(20xx全國(guó)乙卷)如圖106,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是,則它的表面積是()圖106A17B.18C.20 D.28(2)(20xx全國(guó)丙卷)如圖107,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為

8、()圖107A1836 B.5418C.90 D.81(1)A(2)B(1)由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的,得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R,則R3R3,解得R2.因此它的表面積為4R2R217.故選A.(2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱,其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形,另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形,則表面積為(333633)25418.故選B.1求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問(wèn)題,可以多角度、多方位地考慮,熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積,等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分

9、割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟(1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解變式訓(xùn)練1(1)(20xx平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖108所示,則該幾何體的體積為()A. B.5C.5 D.圖108(2)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖109所示,則此幾何體的表面積是()圖109A90 cm2 B.129 cm2C.132 cm2 D.138 cm2 (3)(名師押題)如圖1010,從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD A1B1C1D

10、1中分離出來(lái)由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水,那么最多能盛的水的體積為_(kāi)cm3.圖1010(1)D(2)D(3)36(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體,一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成,故該幾何體的體積為V212112122.(2)該幾何體如圖所示,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6 cm,4 cm,3 cm,直三棱柱的底面是直角三角形,邊長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,5 cm,所以表面積S2(4643)36339939138(cm2)(3)最多能盛多少水,實(shí)際上是求三棱錐C1CD1B1的體積又V三棱錐C1CD1B1V三棱錐CB1C1D1636(cm3),所以用圖示中這樣一個(gè)裝置

11、來(lái)盛水,最多能盛36 cm3體積的水熱點(diǎn)題型2球與幾何體的切、接問(wèn)題題型分析:與球有關(guān)的表面積或體積求解,其核心本質(zhì)是半徑的求解,這也是此類問(wèn)題求解的主線,考生要時(shí)刻謹(jǐn)記先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征,然后確定其外接球的球心,進(jìn)而確定球的半徑,最后代入公式求值即可;也可利用球的性質(zhì)球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解(1)(20xx南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖1011所示,其中正視圖是正三角形,則該幾何體的外接球的表面積為()圖1011A.B.C.D.(2)(20xx全國(guó)丙卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若AB

12、BC,AB6,BC8,AA13,則V的最大值是()A4 B.C.6 D.(1)D(2)B(1)法一由三視圖可知,該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC,其中HS是三棱錐的高,由三視圖可知HS2,HAHBHC2,故H為ABC外接圓的圓心,該圓的半徑為2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐SABC外接球的球心O在直線HS上,連接OB.設(shè)球的半徑為R,則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|,由球的截面性質(zhì)可得ROB,解得R,所以所求外接球的表面積為4R24.故選D.法二由三視圖可知,該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC,其中HS是三棱錐的高,由側(cè)視圖可知HS2,由正視圖和側(cè)視圖可得HAHBHC2

13、.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上,延長(zhǎng)SH交球面于點(diǎn)P,則SP就是球的直徑,由點(diǎn)A在球面上可得SAAP.又SH平面ABC,所以SHAH.在RtASH中,SA4.設(shè)球的半徑為R,則SP2R,在RtSPA中,由射影定理可得SA2SHSP,即4222R,解得R,所以所求外接球的表面積為4R24.故選D.(2)由題意得要使球的體積最大,則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R.因?yàn)锳BC的內(nèi)切圓半徑為2,所以R2.又2R3,所以R,所以Vmax3.故選B.解決球與幾何體的切、接問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系,這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來(lái)確定對(duì)

14、于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體,主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系;而對(duì)于多面體,應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過(guò)球心的截面,把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來(lái)變式訓(xùn)練2(1)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上,若AB3,AC1,BAC60,AA12,則該三棱柱的外接球的體積為()【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952037】A. B.C. D.20(2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖1012(網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1),若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上,則球O的表面積是_圖1012(1)B(2)20(1)設(shè)A1B1C1的外心為O1,ABC的外心為O2,連接O1O2

15、,O2B,OB,如圖所示由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)在ABC中,由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC3212231cos 607,所以BC.由正弦定理可得ABC外接圓的直徑2r2O2B,所以r.而球心O到截面ABC的距離dOO2AA11,設(shè)直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半徑為R,由球的截面性質(zhì)可得R2d2r2122,故R,所以該三棱柱的外接球的體積為VR3.故選B.(2)由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐,如圖所示,其底面ABCD是長(zhǎng)、寬分別為4和2的矩形,高為2,且側(cè)面SDC與底面ABCD垂直,且頂點(diǎn)S在底面上的射影為該側(cè)面上的底面邊的中點(diǎn)由該幾何體的結(jié)構(gòu)特征知球心在過(guò)底面中心O且與底面垂直的直線上,同時(shí)在過(guò)側(cè)面SDC的外接圓圓心且與側(cè)面SDC垂直的直線上因?yàn)镾DC為直角三角形,所以球心就為底面ABCD的中心O,所以外接球的半徑為RAC,故外接球的表面積為4R220.

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