高三文科數(shù)學(xué)通用版二輪復(fù)習(xí):第1部分 專題5 突破點(diǎn)11 直線與圓 Word版含解析

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題五平面解析幾何建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系 掃一掃,各專題近五年全國(guó)考點(diǎn)分布高考點(diǎn)撥平面解析幾何是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,常以“兩小一大”呈現(xiàn),兩小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系雙曲線的圖象和性質(zhì)(有時(shí)考查拋物線的圖象和性質(zhì)),一大題常考查以橢圓(或拋物線)為背景的圖象和性質(zhì)問題基于上述分析,本專題將從“直線與圓”“圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)”“圓錐曲線中的綜合問題”三條主線引領(lǐng)復(fù)習(xí)和提升突破點(diǎn)11直線與圓提煉1圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2y2r2.(2)圓的一般方程x

2、2y2DxEyF0,其中D2E24F0,表示以為圓心,為半徑的圓提煉2求解直線與圓相關(guān)問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)三個(gè)定理:切線的性質(zhì)定理,切線長(zhǎng)定理,垂徑定理(2)兩個(gè)公式:點(diǎn)到直線的距離公式d,弦長(zhǎng)公式|AB|2(弦心距d)提煉3求距離最值問題的本質(zhì)(1)圓外一點(diǎn)P到圓C上的點(diǎn)距離的最大值為|PC|r,最小值為|PC|r,其中r為圓的半徑(2)圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是dr,最小距離是dr,其中d為圓心到直線的距離,r為圓的半徑(3)過圓內(nèi)一點(diǎn),直徑是最長(zhǎng)的弦,與此直徑垂直的弦是最短的弦回訪1圓的方程1(20xx全國(guó)卷)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_2y

3、2由題意知a4,b2,上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2),(0,2),右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2),(0,2),(4,0)三點(diǎn)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2(0m0),則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2.2(20xx山東高考)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(x2)2(y1)24設(shè)圓C的圓心為(a,b)(b0),由題意得a2b0,且a2()2b2,解得a2,b1.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.回訪2直線與圓的相關(guān)問題3(20xx全國(guó)甲卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離

4、為1,則a()AB.C. D.2A由圓x2y22x8y130,得圓心坐標(biāo)為(1,4),所以圓心到直線axy10的距離d1,解得a.4(20xx全國(guó)乙卷)設(shè)直線yx2a與圓C:x2y22ay20相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|2,則圓C的面積為_4圓C:x2y22ay20化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C:x2(ya)2a22,所以圓心C(0,a),半徑r,|AB|2,點(diǎn)C到直線yx2a即xy2a0的距離d,由勾股定理得22a22,解得a22,所以r2,所以圓C的面積為224.熱點(diǎn)題型1圓的方程題型分析:求圓的方程是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法(1)(20xx黃山一模)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱,經(jīng)過

5、點(diǎn)A(1,0),且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為12,則圓C的方程為_(2)(20xx鄭州二模)已知M的圓心在第一象限,過原點(diǎn)O被x軸截得的弦長(zhǎng)為6,且與直線3xy0相切,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱,所以圓C的圓心C在y軸上,可設(shè)C(0,b),設(shè)圓C的半徑為r,則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意,得解得所以圓C的方程為x22.(2)法一:設(shè)M的方程為(xa)2(yb)2r2(a0,b0,r0),由題意知解得故M的方程為(x3)2(y1)210.法二:因?yàn)閳AM過原點(diǎn),故可設(shè)方程為x2y2DxEy0,又被x軸截得的弦長(zhǎng)為6且圓心在第一

6、象限,則232,故D6,與3xy0相切,則,即ED2,因此所求方程為x2y26x2y0.故M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)210.求圓的方程的兩種方法1幾何法,通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù)變式訓(xùn)練1(1)已知圓M的圓心在x軸上,且圓心在直線l1:x2的右側(cè),若圓M截直線l1所得的弦長(zhǎng)為2,且與直線l2:2xy40相切,則圓M的方程為()A(x1)2y24B.(x1)2y24C.x2(y1)24 D.x2(y1)24(2)(20xx長(zhǎng)春一模)拋物線y24x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A,B兩

7、點(diǎn),其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M,則過M,A,B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)B(2)(x1)2y24(1)由已知,可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0),a2,半徑為r,得解得滿足條件的一組解為所以圓M的方程為(x1)2y24.故選B.(2)由題意知,A(1,2),B(1,2),M(1,0),AMB是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則線段AB是所求圓的直徑,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24.熱點(diǎn)題型2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系題型分析:直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容,解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法(1)(20xx全國(guó)丙卷)已知直線l:xy60與圓x2y212交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l

8、的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),則|CD|_.4如圖所示,直線AB的方程為xy60,kAB,BPD30,從而BDP60.在RtBOD中,|OB|2,|OD|2.取AB的中點(diǎn)H,連接OH,則OHAB,OH為直角梯形ABDC的中位線,|OC|OD|,|CD|2|OD|224.(2)(20xx開封一模)如圖131,已知圓G:(x2)2y2r2是橢圓y21的內(nèi)接ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點(diǎn)(1)求圓G的半徑r;(2)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),證明:直線EF與圓G相切圖131解(1)設(shè)B(2r,y0),過圓心G作GDAB于D,BC交長(zhǎng)軸于H.由得,即y0,2分而B(2r,y

9、0)在橢圓上,y1,3分由式得15r28r120,解得r或r(舍去).5分(2)證明:設(shè)過點(diǎn)M(0,1)與圓(x2)2y2相切的直線方程為ykx1,則,即32k236k50,解得k1,k2.將代入y21得(16k21)x232kx0,則異于零的解為x.8分設(shè)F(x1,k1x11),E(x2,k2x21),則x1,x2,9分則直線FE的斜率為kEF,于是直線FE的方程為y1.即yx,則圓心(2,0)到直線FE的距離d,故結(jié)論成立.12分1直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要

10、通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn),兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式,所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式,過圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)的距離,利用勾股定理計(jì)算2弦長(zhǎng)的求解方法(1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形,把弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到直線的距離表示,l2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式:l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),x1,x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),k為直線的斜率)(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解變式訓(xùn)練2(

11、1)(20xx哈爾濱一模)設(shè)直線l:ykx1被圓C:x2y22x30截得的弦最短,則直線l的方程為_.【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952047】yx1直線l恒過定點(diǎn)M(0,1),圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24,易知點(diǎn)M(0,1)在圓C的內(nèi)部,依題意當(dāng)lCM時(shí)直線l被圓C截得的弦最短,于是k1,解得k1,所以直線l的方程為yx1.(2)(20xx泉州一模)已知點(diǎn)M(1,0),N(1,0),曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍求曲線E的方程;已知m0,設(shè)直線l1:xmy10交曲線E于A,C兩點(diǎn),直線l2:mxym0交曲線E于B,D兩點(diǎn)當(dāng)CD的斜率為1時(shí),求直線CD的方程解設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由題意,2分整理得x2y24x10,即(x2)2y23為所求.4分由題知l1l2,且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1,0),設(shè)曲線E的圓心為E,則E(2,0),線段CD的中點(diǎn)為P,則直線EP:yx2,設(shè)直線CD:yxt,由解得點(diǎn)P.7分由圓的幾何性質(zhì),|NP|CD|,而|NP|222,|ED|23,|EP|22,2232,解得t0,或t3,11分所以直線CD的方程為yx或yx3.12分

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