浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測(cè)): 專題5.4 應(yīng)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題講

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):40481729 上傳時(shí)間:2021-11-16 格式:DOC 頁數(shù):15 大?。?38.50KB
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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第04節(jié) 應(yīng)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題 【考綱解讀】 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 向量的應(yīng)用 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題. 20xx?浙江文17;理7; 20xx?浙江文22; 20xx?浙江10. 1.以考查向量的共線、數(shù)量積、夾角、模為主,基本穩(wěn)定為選擇題或填空題,難度中等以下; 2.與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合,以工具的形式進(jìn)行考查,力學(xué)方面應(yīng)用的考查較少. 3.備考重點(diǎn): (1) 理解有關(guān)概念是基礎(chǔ),掌握線性運(yùn)

2、算、坐標(biāo)運(yùn)算的方法是關(guān)鍵; (2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時(shí),注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,將共線、垂直等問題,通過建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算解題. 【知識(shí)清單】 1.平面向量在幾何中的應(yīng)用 1. 平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量,規(guī)定:0與任一向量共線. 2.共線向量定理:向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa. 3. 向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示 若,則?. 4. 設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則: (1)a·b=a1b1+a2b2. (2)a⊥ba1b1+a2b2=0. 對(duì)點(diǎn)練習(xí)

3、: 法向量為的直線,其斜率為( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】因?yàn)榉ㄏ蛄繛榈闹本€,可知與已知直線垂直的直線的斜率為,那么可知已知直線的斜率為,選A. 【考點(diǎn)深度剖析】 平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn),往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).平面向量的應(yīng)用問題,常常以平面圖形為載體,借助于向量的坐標(biāo)形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題;也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合,以工具的形式出現(xiàn). 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 平面向量在幾何中的應(yīng)用 【1-1

4、】【20xx浙江杭州二?!吭O(shè)為所在平面上一點(diǎn),且滿足.若的面積為8,則的面積為__________. 【答案】14 于是可得點(diǎn)在邊上, ,且,則 ,由, 所以 ,所以,又因?yàn)?,所以,則 【1-2】【20xx江蘇,12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45°.若, 則 . A C B O (第12題) 【答案】3 【1-3】【20xx浙江溫州中學(xué)11月】如圖,在等腰梯形中,,,,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),如果對(duì)于常數(shù),在等腰梯形的四條邊上,有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)使得成立,那

5、么的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】如下圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意得,,,根據(jù)對(duì)稱性可知,問題等價(jià)于在等腰梯形的每條邊上均有兩點(diǎn)(不含端點(diǎn))滿足, 若在上:設(shè),,其中,根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性,∴; 若在上:設(shè), 【領(lǐng)悟技法】 共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn) (1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè). (2)證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線;另外,利用向量平行證明向量所在

6、直線平行,必須說明這兩條直線不重合. 【觸類旁通】 【變式一】在中,若,則一定是( ). A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不能確定 【答案】C 【解析】由于,化簡(jiǎn)得,因此.選C. 【變式二】在平面四邊形ABCD中,滿足+=0,(-)·=0,則四邊形ABCD是(  ). A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?,所以=-=, 所以四邊形ABCD是平行四邊形,又(-)·=·=0,所以四邊形的對(duì)角線互相垂直,所以四邊

7、形ABCD是菱形. 考點(diǎn)2 平面向量的綜合應(yīng)用 【2-1】【20xx四川文】已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為,平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P,M滿足,,則的最大值是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】甴已知易得.以為原點(diǎn),直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,則設(shè)由已知,得,又 ,它表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)距離平方的,,故選B. 【2-2】【20xx湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中】已知點(diǎn),是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),且,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 所以,當(dāng)時(shí),有最大值,當(dāng)時(shí),有最小值,故選C. 【2-3】【

8、20xx江蘇,16】 已知向量 (1)若a∥b,求x的值; (2)記,求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值. 【答案】(1)(2)時(shí),fx取得最大值,為3; 時(shí),fx取得最小值,為. 【領(lǐng)悟技法】 1.涉及三角問題求解方法:(1)去除向量的包裝外衣,轉(zhuǎn)化為由三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的角的值;(2)去除向量的包裝外衣,轉(zhuǎn)化為形如: 三角函數(shù)最值,但一定要關(guān)注自變量的范圍.另外三角函數(shù)與代數(shù)函數(shù)一個(gè)很大的區(qū)別就是一般先要處理三角函數(shù)表達(dá)式,處理的結(jié)果之一就是轉(zhuǎn)化為形如:,這一點(diǎn)很重要. 2.涉及平面幾何問題,往往通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合曲線的定義及曲線與曲線的位置關(guān)系,應(yīng)用函數(shù)

9、方程思想解題. 【觸類旁通】 【變式一】已知兩點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,若,當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 【答案】C 【解析】設(shè) 則,所以, 所以,即,變形為,又因?yàn)?故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線. 【變式二】在中,角,,的對(duì)邊分別是,,,且向量與向量共線. (1)求; (2)若,,,且,求的長(zhǎng)度. 【答案】(1);(2). 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)條件中的向量共線得到,,滿足的一個(gè)式子,再進(jìn)行三角恒等變形即可求解;(2)將已知條件中的式子變形,兩邊平方利用余

10、弦定理求解. ∵,∴,∴ ,將和代入得:, ∴. 【變式三】【20xx課標(biāo)II,理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足。 (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上,且。證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) ;(2)證明見解析. 【解析】 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例:在直角坐標(biāo)平面上,O為原點(diǎn),M為動(dòng)點(diǎn),,.過點(diǎn)M作MM1⊥軸于M1,過N作NN1⊥軸于點(diǎn)N1,.記點(diǎn)T的軌跡為曲線C,點(diǎn)A(5,0)、B(1,0),過點(diǎn)A作直線交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在A與P之間). (Ⅰ)求

11、曲線C的方程; (Ⅱ)證明不存在直線,使得; (Ⅲ)過點(diǎn)P作軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S,若,證明. 易錯(cuò)分析:本題解答有兩處易于出錯(cuò),一是平向量的應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng),不能正確應(yīng)用平面向量的基本知識(shí)和基本方法;二是由于涉及較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子變形而出錯(cuò). 正確解析:(1)解:設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則M1的坐標(biāo)為 ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ∴N1的坐標(biāo)為 , ∴ 由有 (2)證:點(diǎn)A(5,0)在曲線C即橢圓的外部,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線與橢圓C無

12、交點(diǎn),所以直線斜率存在,并設(shè)為.直線的方程為. 由方程組 得 依題意,得. 當(dāng)時(shí),設(shè)交點(diǎn),PQ的中點(diǎn)為R,則 , ∴ 又BR⊥ 但不可能成立,所以不存在直線使得. (3)證明:由題有S,. 則有方程組 由(1)得: 將(2)、(5)代入(3)有 整理并將(4)、(5)代入得 易知,解得

13、 因,故,, ∴ ∴. 溫馨提醒:(1)注意熟練掌握平面向量的基本知識(shí)和基本方法,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).(2)在解答本題時(shí),注意增強(qiáng)信心,細(xì)心進(jìn)行數(shù)學(xué)式子變形,并特別注意整理得得到的一元二次方程,根的判別式大于零. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 化整為零,積零為整——分類討論思想 1.分類討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法,這種思想在簡(jiǎn)化研究對(duì)象,發(fā)展思維方面起著重要作用,因此,有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地

14、位. 所謂分類討論,就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí),當(dāng)問題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究,我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將對(duì)象區(qū)分為不同種類,然后逐類進(jìn)行研究和解決,最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解決,這一思想方法,我們稱之為“分類討論的思想”. 2.分類討論思想的常見類型  ⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的,要進(jìn)行分類討論的;  ⑵問題中的條件是分類給出的;  ⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述,必須分類討論的;  ⑷涉及幾何問題時(shí),由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的. 【典例】已知曲線上的任意點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離

15、小1, (1)求曲線的方程; (2)點(diǎn)的坐標(biāo)為,若為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值 (3)設(shè)點(diǎn)為軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作曲線的切線,直線分別與直線及軸交于,以為直徑作圓,過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為,試探究:當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論 【答案】(1);(2)的最小值為2;(3)線段的長(zhǎng)度為定值 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)拋物線的定義得出軌跡方程; (2)設(shè),將表示為(或)的函數(shù),根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出最小值; (3)設(shè)坐標(biāo)和直線的斜率,根據(jù)相切得出的關(guān)系,求出坐標(biāo)得出圓的圓心和半徑,利用切線的性質(zhì)得出的長(zhǎng). 試題解析:(1)設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),依題意,點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等,所以曲線是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線, 所以曲線的方程為 (2)設(shè),則 因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),有最小值2 當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段的長(zhǎng)度不變,為定值.

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