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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第02節(jié) 函數(shù)的定義域和值域
【考綱解讀】
考 點
考綱內(nèi)容
五年統(tǒng)計
分析預(yù)測
定義域
會求一些簡單函數(shù)的定義域
無
1.簡單函數(shù)的定義域和值域
2.備考重點:
(1) 基本初等函數(shù)的定義域、值域;
(2)含參數(shù)的定義域問題;
(3)含參數(shù)的值域問題,以分段函數(shù)為載體的值域問題需倍加關(guān)注
值域
會求一些簡單函數(shù)的值域
無
【知識清單】
函數(shù)的定義域和值域
在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的
2、y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.
對點練習(xí)1:
【20xx山東棗莊】已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意,得,解得,故選A.
對點練習(xí)2:
設(shè)函數(shù).
①若,則的最大值為______________;
②若無最大值,則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】,.
【考點深度剖析】
函數(shù)的定義域、值域是構(gòu)成函數(shù)的要素,從近幾年高考命題看,專門的考題我省尚未有,但在其他省市高考命題中屢有出現(xiàn).在研究函數(shù)圖象和性質(zhì)過程中,要嚴(yán)格遵循
3、“定義域優(yōu)先”的原則.
【重點難點突破】
考點一 函數(shù)的定義域
【1-1】【20xx全國Ⅱ卷】)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=
【答案】D
【解析】函數(shù)y=10lg x的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lg x的值域為R,排除B,故選D.
【1-2】【20xx山東理1】設(shè)函數(shù)的定義域,函數(shù)的定義域為,則
(A)(1,2) (B) (C)(-2,1) (D)[-2,1
4、)
【答案】D
【解析】試題分析:由得,由得,故,選D.
【1-3】【20xx安徽淮北一中最后一卷】已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域是__________.
【答案】(-1,1)
【1-4】已知函數(shù)的定義域是,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】定義域為,即恒成立,,故選A.
【領(lǐng)悟技法】
1.求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是:①分式的分母不能為零;②偶次方根的被開方式其值非負(fù);③對數(shù)式中真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1.
2.對于復(fù)合函數(shù)求定義域問題,若
5、已知的定義域,則復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式得到.
3.對于分段函數(shù)知道自變量求函數(shù)值或者知道函數(shù)值求自變量的問題,應(yīng)依據(jù)已知條件準(zhǔn)確找出利用哪一段求解.
4.與定義域有關(guān)的幾類問題
第一類是給出函數(shù)的解析式,這時函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍;
第二類是實際問題或幾何問題,此時除要考慮解析式有意義外,還應(yīng)考慮使實際問題或幾何問題有意義;
第三類是不給出函數(shù)的解析式,而由的定義域確定函數(shù)的定義域或由的定義域確定函數(shù)的定義域.
第四類是已知函數(shù)的定義域,求參數(shù)范圍問題,常轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決.
【觸類旁通】
【變式一】函數(shù)的定義域是( )
A.
6、B. C. D.
【答案】A
【變式二】已知函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域
【答案】
【解析】由題意可知
考點二 函數(shù)的值域
【2-1】求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;(2)y=x-;(3)y=+(x>1);(4)y=。
【解析】 (1)解法一:y=1-,
∵x2+1≥1,∴0<≤1,
∴-2≤-<0,∴y∈[-1,1).
解法二:由y=可得x2=-,
∵x2≥0,∴≤0,∴y∈[-1,1)。
(2)令t=,則x=(t≥0),
所以y=-t=-(t+1)2+1。
因為t≥0,所以當(dāng)t=0時,ymax=。
故
7、函數(shù)y的值域為.
(4)∵=∈,
∴y∈[2,+∞).
【2-2】【20xx吉林實驗中學(xué)二模】設(shè)函數(shù),表示不超過的最大整數(shù),則函數(shù)的值域為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
] ,故數(shù)的值域為
【領(lǐng)悟技法】
函數(shù)值域的求法:
利用函數(shù)的單調(diào)性:若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值.
利用配方法:形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍.
利用三角函數(shù)的有界性,如.
利用“分離常數(shù)”法:形如y= 或 (至少有一個不為零)的函數(shù),求其值域可用此法.
利用換元法:形如型,可用此法求其值域.
8、
利用基本不等式法:
導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域
2.分段函數(shù)的函數(shù)值時,應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解,有時每段交替使用求值.若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍,應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗所求自變量值域范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.
3.由判別式法來判斷函數(shù)的值域時,若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時,應(yīng)綜合函數(shù)的定義域,將擴(kuò)大的部
分剔除.
【觸類旁通】
【變式一】【20xx廣西三市一?!肯铝泻瘮?shù)中,其定義域和值域與函數(shù)的定義域和值域相同的是( )
A.
9、 B. C. D.
【答案】C
【變式二】【20xx浙江臺州模擬】已知函數(shù)f(x)=g(x)=2x-1,則f(g(2))=________,f[g(x)]的值域為________.
【答案】2,[-1,+∞).
【解析】g(2)=22-1=3,∴f(g(2))=f(3)=2,g(x)的值域為(-1,+∞),∴若-1<g(x)≤0;f[g(x)]=[g(x)]2-1∈[-1,0);若g(x)>0;f[g(x)]=g(x)-1∈(-1,+∞),∴f[g(x)]的值域是[-1,+∞).
【易錯試題常警惕】
例1.已知函數(shù),求函數(shù)的解析式.
【錯解】
10、令,則,,所以函數(shù)的解析式為.
錯解分析:錯解中錯在忽視了得取值范圍.
正確解析:令,則,,所以,
所以,所以所求函數(shù)的解析式為.
溫馨提示:用換元法時,一定要弄清新元的取值范圍.
例2.設(shè)函數(shù),若,,則關(guān)于的方程的根的個數(shù)為( )
A. B. C. D.
【錯解】當(dāng)時,,因為,,
所以,解得,所以,
當(dāng)時,由得,,解得或.
當(dāng)時,由得,.
綜上所述,方程的根有3個,故選C.
錯解分析:當(dāng)時,由得,,解得或. 不符合題意,應(yīng)舍去. 分段函數(shù)應(yīng)分段求解,但一定要注意各段的限制條件.
綜上
11、所述,方程的根有2個,故選B.
溫馨提示:求解分段函數(shù)函數(shù)問題,應(yīng)分段求解,但一定要注意各段的限制條件.
【學(xué)科素養(yǎng)提升之解題技巧篇】
分段函數(shù)的值域問題
分段函數(shù)是一個函數(shù),各段自變量范圍的并集是分段函數(shù)的定義域;各段函數(shù)值取值范圍的并集是分段函數(shù)的值域。所以解決分段函數(shù)的值域問題關(guān)注點還應(yīng)該是組成分段函數(shù)的各段函數(shù)值的取值范圍,根據(jù)已知條件尋求解題手段.
【典例】【20xx·福建卷】若函數(shù)f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),則實數(shù)a的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】因為當(dāng)x≤2時,y=-x+6≥4.
故a∈(1,2].