《浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測): 專題4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)講》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測): 專題4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)講(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第01節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)
【考綱解讀】
考 點(diǎn)
考綱內(nèi)容
5年統(tǒng)計(jì)
分析預(yù)測
1.任意角的概念、弧度制
了解角、角度制與弧度制的概念,掌握弧度與角度的換算.
無
1.三角函數(shù)的定義;
2.扇形的面積、弧長及圓心角.
3.備考重點(diǎn):
(1) 理解三角函數(shù)的定義;
(2) 掌握扇形的弧長及面積計(jì)算公式.
2.三角函數(shù)的定義
理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義.
無
【知識(shí)清單】
1.象限角及終邊相同的角
1.任意角、角的分類:
2、
①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角.
(2)終邊相同的角:
終邊與角α相同的角可寫成α+k·360°(k∈Z).
2.弧度制:
①1弧度的角:把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.
②規(guī)定:正角的弧度數(shù)為正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)為零,|α|=,l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長,r為半徑.
③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制.比值與所取的r的大小無關(guān),僅與角的大小有關(guān).
3.弧度與角度的換算:360°=2π弧度;180°=π弧度.
對(duì)點(diǎn)練習(xí):
下列與的終邊相同的
3、角的表達(dá)式中正確的是( )
A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)
【答案】C.
確.
2.三角函數(shù)的定義
1.任意角的三角函數(shù)定義:
設(shè)α是一個(gè)任意角,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么角α的正弦、余弦、正切分別是:sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=,它們都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù).
2. 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是:一全正、二正弦、三正切、四余弦
3.三角函數(shù)線
4、
設(shè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn)P,過P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos_α,sin_α),即P(cos_α,sin_α),其中cos α=OM,sin α=MP,單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,單位圓在A點(diǎn)的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T,則tan α=AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線.
三角函數(shù)線
有向線段MP為正弦線
有向線段OM為余弦線
有向線段AT為正切線
對(duì)點(diǎn)練習(xí):
【河南省林州一中20xx-20xx上學(xué)期開學(xué)】已知角終邊經(jīng)過點(diǎn),則( )
A
5、. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于,所以由三角函數(shù)的定義可得,應(yīng)選答案B.
3. 扇形的弧長及面積公式
弧長公式:l=|α|r,扇形面積公式:S扇形=lr=|α|r2.
對(duì)點(diǎn)練習(xí):
已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長為l.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧長l;
(2)已知扇形的周長為10 cm,面積是4 cm2,求扇形的圓心角;
(3)若扇形周長為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?
【答案】(1) (cm).(2)圓心角為.(3)l=10,α=2.
【解析】(1)α=60
6、76;= rad,∴l(xiāng)=α·R=×10=(cm).
【考點(diǎn)深度剖析】
高考對(duì)任意角三角函數(shù)定義的考查要求較低,均是以小題的形式進(jìn)行考查,一般難度不大,要求學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)利用坐標(biāo)法定義任意角三角函數(shù)的背景和目的.縱觀近幾年的高考試題,主要考查以下兩個(gè)方面:一是直接利用任意角三角函數(shù)的定義求其三角函數(shù)值;二是根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義確定終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo).
【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】
考點(diǎn)1 象限角及終邊相同的角
【1-1】已知角α=45°,
(1)在-720°~0°范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β;
(2)設(shè)集合,判斷兩集合的關(guān)
7、系.
【答案】(1)β=-675°或β=-315°.(2).
【解析】(1)所有與角α有相同終邊的角可表示為:
β=45°+k×360°(k∈Z),
則令-720°≤45°+k×360°<0°,
得-765°≤k×360°<-45°,解得-≤k<-,
從而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.
(2)因?yàn)镸={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z}表示的是終邊落在四
8、個(gè)象限的平分線上的角的集合;
而集合N={x|x=(k+1)×45°,k∈Z}表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合,從而.
【1-2】若且,則角θ的終邊所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【1-3】終邊在直線y=x上的角的集合為________.
【答案】{α|α=kπ+,k∈Z}
【解析】終邊在直線y=x上的角的集合為{α|α=kπ+,k∈Z}.
【1-4】若角是第二象限角,試確定,的終邊所在位置.
【答案】角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上,的終邊在第一象限或第三象限.
9、【解析】∵角是第二象限角,∴ ,
(1),
∴ 角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上.
綜上所述,的終邊在第一象限或第三象限.
【領(lǐng)悟技法】
1.對(duì)與角α終邊相同的角的一般形式α+k·360°(k∈Z)的理解;(1)k∈Z;(2)α任意角;(3)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同.
2.利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角
3.已知角α的終邊位置,確定形如kα,π±α等形式的角終邊的方法:先表示角α的范圍,再寫出kα、π±α等
10、形式的角范圍,然后就k的可能取值討論所求角的終邊位置
【觸類旁通】
【變式一】如圖,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為P0(,-),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為( )
【答案】C
當(dāng)t=0時(shí),d=,排除A、D;當(dāng)t=時(shí),d=0,排除B.
考點(diǎn)2 三角函數(shù)的定義
【2-1】已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m,-3),且cos α=-,則m等于( )
A.- B. C.-4 D.4
【答案】C
【解析】由題意可知,cos α==-,
又m<0,解得m=-4.
【2-2】已知
11、角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P,則tan α=( )
A. B.± C. D.±
【答案】B
【解析】由|OP|2=x2+=1,得x=±,tan α=±.
【2-3】已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(t,t2+1)(t>0),則tan α的最小值為( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)已知條件得tan α==t+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),tan α取得最小值2.
【2-4】已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則角α的最小正值為( )
A.
12、 B. C. D.
【答案】D
【領(lǐng)悟技法】
1.已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后利用三角函數(shù)的定義求解.
2.已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角,也可直接寫出角α的三角函數(shù)值.
【觸類旁通】
【變式一】已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3
13、]
【答案】A
【解析】 ∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.
∴∴-2<a≤3.故選A.
【變式二】已知角α的終邊在直線y=-3x上,求10sin α+的值.
【答案】0
【解析】設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P(k,-3k),
則r==|k|.
當(dāng)k>0時(shí),r=k,
∴sin α==-,==,
∴10sin α+=-3+3=0;
當(dāng)k<0時(shí),r=-k,
∴sin α==,
==-,
∴10sin α+=3-3=0.
綜上,10sin α+=0.
考點(diǎn)3 扇形的弧長及面積公式
【3-1】【黑龍江省齊齊哈
14、爾八中8月月考】若扇形的圓心角,弦長,則弧長__________ .
【答案】
【解析】畫出圖形,如圖所示.
設(shè)扇形的半徑為rcm,由sin60°=,得r=4cm,
∴l(xiāng)==×4= cm.
【3-2】已知扇形周長為40,當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí),才使扇形面積最大?
【答案】 當(dāng)r=10,θ=2時(shí),扇形面積最大
【領(lǐng)悟技法】(1)弧度制下l=|α|·r,S=lr,此時(shí)α為弧度.在角度制下,弧長l=,扇形面積S=,此時(shí)n為角度,它們之間有著必然的聯(lián)系.
(2)在解決弧長、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形.
【觸類旁通】
15、
【變式一】一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長,則其圓心角的弧度數(shù)為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【變式二】一扇形的圓心角為120°,則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為________.
【答案】(7+4)∶9
【解析】設(shè)扇形半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r.則(R-r)sin 60°=r,
即R=1+r.又S扇=|α|R2=××R2=R2=πr2,
∴=.
【易錯(cuò)試題常警惕】
易錯(cuò)典例:已知角的終邊過點(diǎn),,求角的的正弦值、余弦值.
易錯(cuò)分析:學(xué)生在做題時(shí)容易遺忘的
16、情況.
正確解析:當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),
溫馨提醒:本題主要考察了三角函數(shù)的定義以及分類討論思想方法,這也是高考考查的一個(gè)重點(diǎn).
【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】
數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想
我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為,數(shù)形結(jié)合,主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
向量的幾何表示,三角形、平行四邊形法則,使向量具備形的特征,而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算又具備數(shù)的特征,因此,向量融數(shù)與形于一身,具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此,在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時(shí),要注意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化,達(dá)到事半功倍的效果.
【典例】滿足cos α≤-的角α的集合為________.
【答案】