浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題4.7 解三角形及其應(yīng)用舉例講

《浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題4.7 解三角形及其應(yīng)用舉例講》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題4.7 解三角形及其應(yīng)用舉例講（18頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第07節(jié) 解三角形及其應(yīng)用舉例 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用 20xx浙江文18； 20xx浙江文18；理10，18； 20xx浙江文16；理16； 20xx浙江文16；理16； 20xx浙江14. 1.測量距離問題； 2.測量高度問題； 3.測量角度問題. 4.備考重點(diǎn)： （1）掌握正弦定理、余弦定理； （2）掌握幾種常見題型的解法. （3）理解三角形中的有關(guān)術(shù)語. 【知

2、識(shí)清單】 1. 測量距離問題 實(shí)際問題中的有關(guān)概念 (1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)． (2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2)． (3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖3) ①北偏東α即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向． ②北偏西α即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向． ③南偏西等其他方向角類似． 　　　 (4)坡度： ①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角)． ②坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)．

3、對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 【浙江寧波模擬】如圖，某商業(yè)中心有通往正東方向和北偏東方向的兩條街道，某公園位于商業(yè)中心北偏東角，且與商業(yè)中心的距離為公里處，現(xiàn)要經(jīng)過公園修一條直路分別與兩條街道交匯于兩處,當(dāng)商業(yè)中心到兩處的距離之和最小時(shí)，的距離為 公里． 【答案】． 2. 測量高度問題 余弦定理： ， ， . 變形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 【20xx高考湖北】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m.

4、【答案】 【解析】依題意，，，在中，由， 所以，因?yàn)?，由正弦定理可得，即m， 在中，因?yàn)?，，所以，所以m. 3. 測量角度問題 應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷就用哪一個(gè)定理． 對(duì)點(diǎn)練習(xí)： 【20xx廣東佛山二?！磕逞睾Ｋ膫€(gè)城市、、、的位置如圖所示，其中， ， ， ， ， 位于的北偏東方向.現(xiàn)在有一艘輪船從出發(fā)以的速度向直線航行， 后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市直線航行，收到指令時(shí)城市對(duì)于輪船的方位角是南偏西度，則__________． 【答案】 ，故. 【考點(diǎn)深度剖析】

5、 高考對(duì)正弦定理和余弦定理的考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨(dú)立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時(shí)也會(huì)與平面向量、三角恒等變換等結(jié)合考查，試題難度控制在中等以下. 高考對(duì)正弦定理和余弦定理應(yīng)用的考查，主要是利用定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的問題，關(guān)鍵是弄懂有關(guān)術(shù)語，認(rèn)真理解題意，難度不大．主要考查靈活運(yùn)用公式求解計(jì)算能力、推理論證能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想等．從近幾年浙江卷來看，三角形中的應(yīng)用問題，主要是結(jié)合直角三角形，考查邊角的計(jì)算，也有與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查的情況. 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考

6、點(diǎn)1 測量距離問題 【1-1】【20xx北京市延慶區(qū)一?！吭谙嗑?千米的兩點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。處測量目標(biāo)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。兩點(diǎn)間的距離是_______________千米. 【答案】錯(cuò)誤！未找到引用源。 【解析】如圖，由A點(diǎn)向BC作垂線，垂足為D，設(shè)AC=x,∵∠CAB=75， ∠CBA=60，∴∠ACB=180-75-60=45，∴錯(cuò)誤！未找到引用源。 ， ∴在Rt△ABD中，錯(cuò)誤！未找到引用源。 （千米），所以錯(cuò)誤！未找到引用源。兩點(diǎn)間的距離是錯(cuò)誤！未找到引用源。 千米. 【1-2】如圖，A，B兩點(diǎn)

7、在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測出AB的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測得CD＝a，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30，∠ACD＝60，∠ACB＝45，求A，B兩點(diǎn)間的距離． 【答案】 ∴AB＝(km)．∴A，B兩點(diǎn)間的距離為 km. 【1-3】如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間

8、的距離．即AB＝.若測得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60，試計(jì)算AB的長． 【答案】 【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos ∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2400600cos 60＝280 000.∴AB＝200 m. 即A，B兩點(diǎn)間的距離為200 m. 【領(lǐng)悟技法】 研究測量距離問題，解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.歸納起來常見的命題角度有： (1)兩點(diǎn)都不可到達(dá)； (2)兩點(diǎn)不相通的距離； (3)兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不

9、可到達(dá). 【觸類旁通】 【變式一】如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測出AB的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測出AC的距離m，再借助儀器，測出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測出AC＝60 m，∠BAC＝75，∠BCA＝45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________． 【答案】 【變式二】如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為 (　　)

10、A．50m　　 　B．50m C．25m D.m 【答案】　A 【解析】由題意知∠ABC＝30，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50(m)． 考點(diǎn)2 測量高度問題 【2-1】某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測點(diǎn)A，B兩地相距100米，∠BAC＝60，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒．在A地測得該儀器至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340米/秒) 【答案】 【2-2】要測量電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是

11、45，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的∠BCD＝120，CD＝40 m，求電視塔的高度． 【答案】B 【解析】如圖，設(shè)電視塔AB高為x m，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45得 BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30，則BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos 120，即(x)2＝x2＋402－2x40cos 120， 解得x＝40，所以電視塔高為40米． 【2-3】如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對(duì)于山坡的斜度為α，從A處向山頂前進(jìn)l米到達(dá)B后，又測得CD對(duì)于山坡的斜度

12、為β，山坡對(duì)于地平面的坡角為θ. (1)求BC的長； (2)若l＝24，α＝15，β＝45，θ＝30，求建筑物CD的高度． 【答案】（1）；（2）. 【領(lǐng)悟技法】 已知三邊，由余弦定理求，再由求角，在有解時(shí)只有一解. 已知兩邊和夾角，余弦定理求出對(duì)對(duì)邊. 【觸類旁通】 【變式一】如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD. 【答案】 在中， . 【變式二】如圖所示，測量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)與，現(xiàn)測得，并在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫椋笏?

13、【答案】 【解析】在中，，由正弦定理得，所以. 在中，. 考點(diǎn)3 測量角度問題 【3-1】在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值． 【答案】 【解析】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇， 【3-2】如圖，扇形AOB是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中圓心角∠AOB為，半徑OA為1 km.為了便于

14、游客觀光休閑，擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段DB組成，其中D在線段OB上，且CD∥AO.設(shè)∠AOC＝θ. (1)用θ表示CD的長度，并寫出θ的取值范圍； (2)當(dāng)θ為何值時(shí)，觀光道路最長？ 【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，觀光道路最長． 解：(1)在△OCD中，由正弦定理，得 ＝＝＝， 所以CD＝sin＝cos θ＋sin θ，OD＝sin θ， 因?yàn)镺D

15、) ＋ 0 － L(θ) 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 所以當(dāng)θ＝時(shí)，L(θ)達(dá)到最大值，即當(dāng)θ＝時(shí)，觀光道路最長． 【3-3】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A處(－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船．同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí)間？ 【答案】緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時(shí)． 在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝， 得∠BCD＝30，∴∠BDC＝30.又＝， ＝

16、，得t＝. 所以緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時(shí)． 【領(lǐng)悟技法】 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法： (1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀； (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論． [注意]　在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解． 判斷三角形的形狀的基本思想是：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一．即將

17、條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系．結(jié)論一般為特殊的三角形．如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在變形過程中要注意A，B，C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響． 提醒：1．在△ABC中有如下結(jié)論sin A＞sin B?a＞b. 2．當(dāng)b2＋c2－a2＞0時(shí)，角A為銳角，若可判定其他兩角也為銳角，則三角形為銳角三角形； 當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，角A為直角，三角形為直角三角形； 當(dāng)b2＋c2－a2＜0時(shí)，角A為鈍角，三角形為鈍角三角形． 【觸類旁通】 【變式一】如

18、圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(　　) A．30　　　　　　　　　 B．45 C．60 D．75 【答案】B 【解析】依題意可得AD＝20 (m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0<∠CAD<180，所以∠CAD＝45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 【變式二】如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救，甲船立即前往營救，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10

19、海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sin θ的值為(　　) A.　　 B．　　C.　　 D． 【答案】D 【解析】本題考查正余弦定理的應(yīng)用及兩角和與差的正弦公式．在三角形ABC中，由AC＝10，AB＝20，∠CAB＝120.由余弦定理可得BC＝10.又由正弦定理可得＝?＝?sin ∠ACB＝.故sin θ＝sin＝＋＝. 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲

20、船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里．問：乙船每小時(shí)航行多少海里？ 易錯(cuò)分析：不能分清已知條件和未知條件，從而不能將問題集中到一個(gè)三角形中．再利用正、余弦定理求解．解決此類問題時(shí)，要能理解題目給定的含義，轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理進(jìn)行求解. 正確解析： 溫馨提醒：利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解． 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了

21、事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時(shí)，要注意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達(dá)到事半功倍的效果. 【典例】【20xx福建4月質(zhì)檢】如圖，有一碼頭和三個(gè)島嶼， ， ， . （1）求兩個(gè)島嶼間的距離； （2）某游船擬載游客從碼頭前往這三個(gè)島嶼游玩，然后返回碼頭.問該游船應(yīng)按何路線航行，才能使得總航程最短？求出最短航程. 【答案】（1）（2） 又因?yàn)樵谥校?，所以， 所以，從而， 即兩個(gè)島嶼間的距離為； 其航程為.