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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第01節(jié) 平面向量的概念及線性運算
【考綱解讀】
考 點
考綱內(nèi)容
5年統(tǒng)計
分析預(yù)測
1.平面向量的實際背景及基本概念
理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念。
20xx浙江理7;
20xx?浙江文22;
20xx?浙江理15;
20xx?浙江文理15;
1.以考查向量的線性運算、共線為主，且主要是在理解它們含義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步解題，如利用向量的線性運算求參數(shù)等；
2.考查單位向量較多.
3.備考重點
2、：
(1) 理解相關(guān)概念是基礎(chǔ)，掌握線性運算的方法是關(guān)鍵；
(2) 注意與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.
2. 向量的線性運算
掌握向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義。
20xx浙江7;
20xx?浙江文13, 理.15;
20xx?浙江文理15;
【知識清單】
1．向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．
3．單位向量：長度等于1個單位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．
5．相等向
3、量：長度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．
對點練習(xí)：
給出下列命題：
①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量．
②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?
③ (為實數(shù))，則必為零．
其中錯誤的命題的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．0
【答案】
故選.
2．平面向量的線性運算
一．向量的線性運算
向量運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：；
(2)結(jié)合律：
減法
求a與b的相反向量－b的和的運算叫做
4、a與b的差
三角形法則
二．向量的數(shù)乘運算及其幾何意義
1．定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：
①|(zhì)λa|＝|λ||a|；
②當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.
2．運算律：設(shè)λ，μ是兩個實數(shù)，則：
①；②；③.
對點練習(xí)：
【20xx高考新課標(biāo)1】設(shè)為所在平面內(nèi)一點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題知=，故選A.
3．共線向量
共線向量定理：向量a(a≠0)與b共
5、線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
對點練習(xí)：
設(shè)兩個非零向量a與b不共線，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb同向．
【答案】（1）證明見解析；（2）k＝1.
又∵λ>0，∴k＝1.
【考點深度剖析】
平面向量的概念及線性運算，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查共線等問題；也易同解析幾何知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．
【重點難點突破】
考點1 向量的有關(guān)概念
【1-1】給出下列命題：
①兩個具有共同終點的向量
6、，一定是共線向量；
②若是不共線的四點，則＝是四邊形為平行四邊形的充要條件；
③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；
④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．
其中假命題的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】
【解析】?、俨徽_．當(dāng)起點不在同一直線上時，雖然終點相同，但向量不共線．
②正確．∵＝，∴||＝||且∥.
又∵是不共線的四點，
∴四邊形是平行四邊形．
反之，若四邊形是平行四邊形，則且與方向相同，因此＝.
③不正確．兩向量不能比較大?。?
④不正確．當(dāng)時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但
7、a與b不一定共線．
選.
【領(lǐng)悟技法】
(1)兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點．
(2)零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定．．
(3)幾個重要結(jié)論
①向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；
②向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．
【觸類旁通】
【變式一】給出下列命題：
①的充要條件是且；
②若向量與同向，且，則；
③由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；
④若向量與向量平行，則向量與的方向相同或相反；
⑤起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；
⑥任一向
8、量與它的相反向量不相等．
其中真命題的序號是________．
【答案】⑤
考點2 平面向量的線性運算
【2-1】如圖，正方形中，點是的中點，點 是的一個三等分點，那么等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
,故選D.
【領(lǐng)悟技法】
1.常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．
2.找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求
9、解．
【觸類旁通】
【變式一】平行四邊形OADB的對角線交點為C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.
【答案】=a＋b, a＋b，＝a－b.
【解析】＝a－b，＝＝a－b，
＝a＋b，＝a＋b，
＝＋
＝＝a＋b，
＝a－b.
考點3 共線向量
【3-1】在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝，＝＋λ，則λ等于( )
A. B. C．－ D．－
【答案】
【解析】∵＝＋，＝＋，
∴＝＋＋＋.
【領(lǐng)悟技法】
共線向量定理應(yīng)用時的注意點
(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無
10、數(shù)個．
(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．
【觸類旁通】
【變式一】已知是△ABC所在平面內(nèi)的一點，若，其中λ∈R，則點一定在( )
A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上
C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上
【答案】
【解析】由得，∴.則為共線向量，又有一個公共點三點共線，即點在直線上．故選.
【易錯試題常警惕】
易錯典例： 下
11、列四個命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則a與b同向或反向；④若a＝0，則－a＝0.其中正確命題的序號為________．
易錯分析：概念理解不清致誤．
答案：④
溫馨提醒：(1)易忽略與0的區(qū)別，把零向量誤寫成0而致誤．
(2)易將向量與數(shù)量混淆而致誤，如|a|＝|b|誤推出a＝b等．
(3)忽視向量為零向量的特殊情況而致誤．
【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】
數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想
我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形
12、結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達(dá)到事半功倍的效果.
【典例】【20xx安徽馬鞍山二?！恳阎狿?Q為中不同的兩點，且0， 0，則 為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
因此， ，故選A.
浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題5.1 平面向量的概念及線性運算講
