浙江版高考數(shù)學一輪復習(講練測): 專題5.2 平面向量基本定理及坐標表示講

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第02節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 平面向量的基本定理及坐標表示 1.理解平面向量的基本定理及其意義,會用平面向量基本定理解決簡單問題。 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。 3.掌握平面向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標運算。 20xx?浙江文22; 單獨考查平面向量基本定理、坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算的題目較少,主要是以工具的形式進行考查. 3.備考重點: (1) 理解坐標表示是基礎,掌握坐

2、標運算的方法是關鍵; (2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時,注意運用數(shù)形結合的數(shù)學思想,通過建立平面直角坐標系,利用坐標運算解題. 【知識清單】 1.平面向量基本定理及其應用 平面向量基本定理 如果是一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這個平面內(nèi)任意向量,有且只有一對實數(shù),使.其中,不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 對點練習: 向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則=________. 【答案】  2.平面向量的坐標運算 1. 平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量

3、正交分解. 2.平面向量的坐標表示 (1)在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù)x、y,使得,這樣,平面內(nèi)的任一向量都可由x、y唯一確定,因此把叫做向量的坐標,記作,其中x叫做在x軸上的坐標,y叫做在y軸上的坐標. (2)若,則. 3.平面向量的坐標運算 (1)若,則; (2)若,則. (3)設,則,. 對點練習: 【20xx湖南郴州一測】中,,,則( ) A. B. C. D.

4、 【答案】D 【解析】 試題分析:,故選D. 3.平面向量共線的坐標表示 向量共線的充要條件的坐標表示 若,則?. 對點練習: 【20xx廣西名校摸底】已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象按向量平移而得到的,又,則 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【考點深度剖析】 平面向量基本定理及坐標表示,往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體,借助于向量的坐標形式等考查共線、垂直等問題;也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結合,以工具的形式出現(xiàn). 【重

5、點難點突破】 考點1 平面向量基本定理及其應用 【20xx杭州測試】 如圖,以向量=a,=b為鄰邊作?OADB,=,=,用a,b表示,,. 【答案】=a+b,=a+b,=a-b. 【解析】∵=-=a-b, ==a-b, ∴=+=a+b. 【領悟技法】 1.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,再用該基底表示向量,其實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算和數(shù)乘運算. 2.特別注意基底的不唯一性: 只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底線性表示,且在基底確定后,這樣的

6、表示是唯一的. 【觸類旁通】 【變式一】如圖,已知=,用,表示,則等于(  ) A.- B.+ C.-+ D.-- 【答案】C 【解析】=+=+=+ (-)=-+,選C. 考點2 平面向量的坐標運算 【2-1】已知向量,則( ) A. B. C. D. 【答案】D 【2-2】已知向量,且,則等于( ) A.1 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】 因,,故,所以,

7、故,故應選D. 【領悟技法】 注意向量坐標與點的坐標的區(qū)別: 要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同,盡管在形式上它們完全一樣,但意義完全不同,向量坐標中既有方向的信息也有大小的信息. 【觸類旁通】 【變式一】已知向量,,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因為,所以=,故選A. 【變式二】【20xx河北武邑三調(diào)】在矩形中,,則實數(shù)( ) A. B. C.

8、 D. 【答案】D 【解析】,故選D. 考點3 平面向量共線的坐標表示 【3-1】向量且,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【3-2】設向量=,=,則“”是“//”的( ). A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當時,,,此時;當時,,解得.所以“”是“”的充分而不必要條件. 【領

9、悟技法】 1.向量共線的充要條件有兩種: (1)?. (2)若,則?. 當涉及到向量或點的坐標問題時,應用(2)解題較為方便. 2.兩向量相等的充要條件,它們的對應坐標相等. 【觸類旁通】 【變式一】已知向量,且,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由,可知,解得,故選A. 【變式二】已知向量=(2,2),=(cosα,﹣sinα),則向量的模的最小值是( ) A.3 B.3 C. D.2 【答案】C 【解析】 考點4 平面向量共線的應用

10、 【4-1】設,,,,為坐標原點,若、、三點共線,則的最小值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】 ,,若、、三點共線,,由向量共線定理得,,故. 【4-2】如圖,在△中, ,是上的一點,若,則實數(shù)的值為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【課本回眸】 向量共線的充要條件有兩種: (1)?. (2)若,則?. 【領悟技法】 當涉及到向量或點的坐標問題時,應用向量共線的充要條件(2

11、)解題較為方便. 【觸類旁通】 【變式一】設兩個向量,其中.若,則的最小值為______. 【答案】 【解析】 值為值為. 【變式二】【20xx山西大學附中二模】在直角梯形分別為的中點, 點在以為圓心,為半徑的圓弧上變動(如圖所示).若,其中, 則的取值范圍是___________. 【答案】 ,,. 【易錯試題常警惕】 易錯典例:如圖,在正方形ABCD中,E為AB的中點,P為以A為圓心,AB為半徑的圓弧上的任意一點,設向量 . 易錯分析:不能結合圖形特征,靈活建立直角坐標系,將向量用坐標表示,將問題轉化成三角問題求解. 正確解析:以為原

12、點,以所在直線為軸,建立平面直角坐標系. 設正方形的邊長為, 則 設 .又向量 由題意得 ∴當時,同時,時,取最小值為. 溫馨提醒:涉及幾何圖形問題,要注意分析圖形特征,利用已有的垂直關系,建立平面直角坐標系,將向量用坐標表示,利用向量共線的充要條件,應用函數(shù)方程思想解題. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結合百般好,隔裂分家萬事休——數(shù)形結合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結合百般好,隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為,數(shù)形結合,主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關

13、系結合起來,通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結合,可以使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示,三角形、平行四邊形法則,使向量具備形的特征,而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征,因此,向量融數(shù)與形于一身,具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此,在應用向量解決問題或解答向量問題時,要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結合思想,將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化,達到事半功倍的效果. 【典例】【20xx湖南模擬】給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為.如圖所示,點C在以O為圓心的上運動.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值. 【答案】2. 【解析】以O為坐標原點,所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示, 則A(1,0),B. 設∠AOC=α, 則C(cosα,sinα), 又α∈,所以當α=時,x+y取得最大值2.

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