湘教版高考數(shù)學(xué)文一輪題庫 第7章第3節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 高考真題備選題庫 第7章 立體幾何 第3節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 考點 平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合問題 1．（2013廣東，5分）設(shè)l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 解析：本題主要考查線面關(guān)系知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力．畫出一個長方體ABCD­A1B1C1D1.對于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平

2、面ABCD，但平面ABB1A1與平面ABCD相交；對于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD與平面ADD1A1相交；對于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD?平面ABCD. 答案：B 2．（2013浙江，5分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n　　　　　 B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β 解析：本題主要考查空間直線與平面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力，以及利

3、用相關(guān)定理解決問題的能力．逐一判斷可知，選項A中的m，n可以相交，也可以異面；選項B中的α與β可以相交；選項D中的m與β的位置關(guān)系可以平行、相交、m在β內(nèi)． 答案：C 3．（2013江蘇，14分）如圖，在三棱錐S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點．求證： (1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 證明：本題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力． (1)因為AS＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點．又因為E是SA的

4、中點，所以EF∥AB. 因為EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC. (2)因為平面SAB⊥平面SBC，且交線為SB，又AF?平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因為BC?平面SBC，所以AF⊥BC. 又因為AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因為SA?平面SAB，所以BC⊥SA. 4.（2013山東，12分）如圖，四棱錐P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，

5、PD，PC的中點． (1)求證：CE∥平面PAD； (2)求證：平面EFG⊥平面EMN. 證明：本題主要考查空間直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力和空間想象能力． (1)法一：取PA的中點H，連接EH，DH. 因為E為PB的中點， 所以EH∥AB，EH＝AB. 又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四邊形DCEH是平行四邊形． 所以CE∥DH. 又DH?平面PAD，CE?平面PAD， 因此CE∥平面PAD. 法二：連接CF. 因為F為AB的中點， 所以AF＝AB. 又CD＝AB， 所以AF＝CD. 又AF∥CD，

6、所以四邊形AFCD為平行四邊形． 因此CF∥AD. 又CF?平面PAD， 所以CF∥平面PAD. 因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點， 所以EF∥PA. 又EF?平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因為CF∩EF＝F， 故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF， 所以CE∥平面PAD. (2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點， 所以EF∥PA. 又AB⊥PA， 所以AB⊥EF. 同理可證AB⊥FG. 又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG， 因此AB⊥平面EFG. 又M，N分別為PD，PC的中點， 所以MN∥CD. 又AB∥CD，

7、 所以MN∥AB， 因此MN⊥平面EFG. 又MN?平面EMN， 所以平面EFG⊥平面EMN. 5．（2013廣東，14分）如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A­BCF，其中BC＝. (1)證明：DE∥平面BCF； (2)證明：CF⊥平面ABF； (3)當(dāng)AD＝時，求三棱錐F­DEG的體積VF­DEG. 解：本題主要考查空間點、線、面的位置關(guān)系，同時考查空間想象能力與推理論證能力、運算求解能力，難度適中．題目考查知識層

8、次清晰，體現(xiàn)了廣東數(shù)學(xué)學(xué)科重視對重要知識與重要能力的考查，特別注重對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查． (1)證明：在等邊三角形ABC中，AB＝AC. ∵AD＝AE，∴＝，∴DE∥BC， ∴DG∥BF，如圖2，DG?平面BCF， ∴DG∥平面BCF. 同理可證GE∥平面BCF. ∵DG∩GE＝G，∴平面GDE∥平面BCF，∴DE∥平面BCF. (2)證明：在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點， ∴AF⊥FC， ∴BF＝FC＝BC＝. 在圖2中，∵BC＝，∴BC2＝BF2＋FC2， ∴∠BFC＝90°， ∴FC⊥BF. ∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF. (3)

9、∵AD＝，∴BD＝，AD∶DB＝2∶1， 在圖2中，AF⊥FC，AF⊥BF，∴AF⊥平面BCF， 由(1)知平面GDE∥平面BCF，∴AF⊥平面GDE. 在等邊三角形ABC中，AF＝AB＝， ∴FG＝AF＝，DG＝BF＝×＝＝GE， ∴S△DGE＝DG·EG＝， ∴VF­DEG＝S△DGE·FG＝. 6．（2012浙江，5分）設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 解析：對于選項A，兩平面可能平行也可

10、能相交；對于選項C，直線l可能在β內(nèi)也可能平行于β；對于選項D，直線l可能在β內(nèi)或平行于β或與β相交． 答案：B 7．（2012安徽，5分）若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，則________(寫出所有正確結(jié)論的編號)． ①四面體ABCD每組對棱相互垂直 ②四面體ABCD每個面的面積相等 ③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180° ④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分 ⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長 解析：①錯誤，當(dāng)AB＝4，AC＝3，A

11、D＝3時，AC與BD不垂直；②正確，在△ABC與△CDA中，AB＝CD，AD＝BC，AC＝AC，故△ABC與△CDA全等；同理四面體的四個面都全等，故四面體ABCD每個面的面積相等；③錯誤，根據(jù)四面體的四個面都全等可得從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角為一個三角形的三個內(nèi)角，故其和為180°；④正確，如圖所示，E、F、G、H是所在邊的中點時，則四邊形EFGH為菱形，故EG與FH互相垂直平分，同理可得連接四面體ABCD的每組對棱中點的線段相互垂直平分；⑤正確，因為AD＝BC，AB＝CD，AC＝BD，所以從四面體ABCD的頂點A出發(fā)的三條棱的長可組成△BCD，同理可得從四面體A

12、BCD的每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長． 答案：②④⑤ 8．(2009·江蘇，5分)設(shè)α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題： (1)若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β； (2)若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行； (3)設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直； (4)直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直． 上面命題中，真命題的序號________(寫出所有真命題的序號)． 解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正確． 由線面平行的判定定理可知，(2)正確． 對(3)來

13、說，l只垂直于α和β的交線l，得不到l是α的垂線，故也得不出α⊥β. 對(4)來說，l只有和α內(nèi)的兩條相交直線垂直，才能得到l⊥α. 也就是說當(dāng)l垂直于α內(nèi)的兩條平行直線的話，l不垂直于α. 答案：(1)(2) 9.（2012江蘇，14分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 解：(1)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC， 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因為

14、AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以 A1F⊥B1C1. 因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. 10．（2012北京，14分）如圖1，在Rt△

15、ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2. (1)求證：DE∥平面A1CB； (2)求證：A1F⊥BE； (3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由． 解：(1)證明：因為D，E分別為AC，AB的中點， 所以DE∥BC. 又因為DE?平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB. (2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC. 而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F. 又

16、因為A1F⊥CD， 所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE. (3)線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如圖，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC. 又因為DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C. 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點， 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ. 11．(2011天津，13分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45°

17、;，AD＝AC＝1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點． (1)證明PB∥平面ACM； (2)證明AD⊥平面PAC； (3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值． 解：(1)證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因為O為AC的中點，所以O(shè)為BD的中點．又M為PD的中點， 所以PB∥MO. 因為PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM. (2)證明：因為∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平

18、面PAC. (3)取DO中點N，連接MN，AN.因為M為PD的中點，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.從而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為. 12．(2010安徽，13分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點． (1)求證：FH∥平面EDB； (2)求證：AC⊥平面EDB；

19、(3)求四面體B－DEF的體積． 解：(1)證明：設(shè)AC與BD交于點G，則G為AC的中點．連接EG，GH，由于H為BC的中點，故GH綊AB. 又EF綊AB，∴EF綊GH，∴四邊形EFHG為平行四邊形， ∴EG∥FH，而EG?平面EDB，∴FH∥平面EDB. (2)證明：由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC. 又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH， ∴AB⊥FH.又BF＝FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABCD. ∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G， ∴AC⊥平面EDB. (3)∵E

20、F⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF. ∴BF為四面體B－DEF的高．∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝.又EF＝1， ∴VB－DEF＝××1××＝. 13．(2010遼寧，12分)如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)設(shè)D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值． 解：(1)證明：因為側(cè)面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1. 又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C?平

21、面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1. (2)如圖，設(shè)BC1交B1C于點E，連結(jié)DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線． 因為A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE. 又E是BC1的中點，所以D為A1C1的中點． 即A1D∶DC1＝1. 14. (2009·江蘇，14分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C. 證明：(1)因為E、F分別是A1B、A1C的中點， 所以EF∥BC，EF?平面ABC，BC?平面ABC. 所以EF∥平面ABC. (2)因為三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱， 所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D， 又A1D⊥B1C，所以A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D?平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品