7、是偶函數(shù)得，當x∈[－π，0]時，00得，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，而y＝sin x是增函數(shù)，由圖象知，y＝f(x)與y＝sin x有1個交點，即函數(shù)y＝f(x)－sin x有1個零點；當x∈(，π)時，由(x－)f′(x)>0得，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，而y＝sin x是減函數(shù)，由圖象知，y＝
8、f(x)與y＝sin x有一個交點，即函數(shù)y＝f(x)－sin x有1個零點．故函數(shù)y＝f(x)－sin x在[0,2π]上有2個零點．由周期性得，函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，0)上有2個零點，即函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上有4個零點．
答案：B
8．（2012湖北，5分）函數(shù)f(x)＝xcos 2x在區(qū)間[0,2π]上的零點的個數(shù)為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：f(x)＝xcos 2x＝0?x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4個根，故原函數(shù)有5個零點．
答案：D
9．（2011福建，
9、5分）若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得：判別式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.
答案：C
10．（2011天津，5分）對實數(shù)a和b，定義運算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是( )
A．(－1,1]∪(2，＋∞)
B．(－2，－1]∪(1,2]
10、
C．(－∞，－2)∪(1,2]
D．[－2，－1]
解析：令(x2－2)－(x－1)≤1，得－1≤x≤2，
∴f(x)＝∵y＝f(x)－c與x軸恰有兩個公共點，畫函數(shù)的圖像得知實數(shù)c的取值范圍是(－2，－1]∪(1,2]．
答案：B
11．（2011陜西，5分）方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)( )
A．沒有根 B．有且僅有一個根
C．有且僅有兩個根 D．有無窮多個根
解析：求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)根的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)?(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)的交點個數(shù)問題．由(x)＝|x|和g(x)＝cosx的圖像易知
11、有兩交點，即原方程有且僅有兩個根．
答案：C
12．（2010福建，5分）函數(shù)f(x)＝，的零點個數(shù)為( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：法一：令f(x)＝0得
或，∴x＝－3
或x＝e2，應選B.
法二：畫出函數(shù)f(x)的圖象可得，圖象與x軸有兩個交點，則函數(shù)f(x)有2個零點．
答案：B
13．（2010天津，5分）函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理，知函數(shù)f(x)的零
12、點在區(qū)間(0,1)內(nèi)．
答案：C
14．（2011遼寧，5分）已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點，則a的取值范圍是________．
解析：由原函數(shù)有零點，可將問題轉(zhuǎn)化為方程ex－2x＋a＝0有解問題，即方程a＝2x－ex有解．
令函數(shù)g(x)＝2x－ex，則g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函數(shù)，在(ln2，＋∞)上是減函數(shù)，所以g(x)的最大值為：g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范圍就是函數(shù)g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．
答案：(－∞，2ln2－2]
15．（2011北京，5分）已知函數(shù)f
13、(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是____．
解析：作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，由圖像可知，當0＜k＜1時，函數(shù)
f(x)與y＝k的圖像有兩個不同的交點，所以所求實數(shù)k的取值范圍是(0,1)．
答案：(0,1)
16．(2009廣東，14分)已知二次函數(shù)y＝g(x)的導函數(shù)的圖象與直線y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1(m≠0)．設(shè)f(x)＝，
(1)若曲線y＝f(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；
(2)k(k∈R)如何取值時，函數(shù)y＝f(x)－kx存在零點，并求出零點．
解：∵y＝g′(x)＝
14、2ax＋b的圖象與直線y＝2x平行，
∴a＝1.
又∵y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1，
∴－＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1，
所以b＝2，c＝m.從而f(x)＝＝＋x＋2.
(1)已知m≠0，設(shè)曲線y＝f(x)上點P的坐標為
P(x，y)，則點P到點Q(0,2)的距離為
|PQ|＝＝
＝≥
＝ ，
當且僅當2x2＝?x＝ 時等號成立．
∵|PQ|的最小值為，
∴＝?|m|＋m＝1.
①當m＞0時，解得m＝＝－1.
②當m＜0時，解得m＝＝－－1.
故m＝－1或m＝－－1.
(2)y＝f(x)－kx的零點，
即方程＋(1
15、－k)x＋2＝0的解，
∵m≠0，∴＋(1－k)x＋2＝0與(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解．
①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0?x＝－≠0，
所以函數(shù)y＝f(x)－kx有零點x＝－.
②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判別式
Δ＝4[1＋m(k－1)]．
若Δ＝0?k＝1－，
此時函數(shù)y＝f(x)－kx有一個零點x＝－m.
若Δ＞0?1＋m(k－1)＞0，
∴當m＞0，k＞1－，或m＜0，k＜1－時，
方程(k－1)x2－2x－m＝0有兩個解．
x1＝和x2＝.
此時函數(shù)y＝f(x)－kx有兩個零點x1和x2.
若Δ＜0?1＋m(k－1)＜0，
∴當m＞0，k＜1－，或m＜0，k＞1－時，
方程(k－1)x2－2x－m＝0無實數(shù)解，
此時函數(shù)y＝f(x)－kx沒有零點．
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湘教版高考數(shù)學文一輪題庫 第2章第8節(jié)函數(shù)與方程
