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第12講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、 知識(shí)清單梳理
知識(shí)點(diǎn)一:二次函數(shù)的概念及解析式
關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例
1.一次函數(shù)的定義
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).
例:如果函數(shù)y=(a-1)x2是二次函數(shù),那么a的取值范圍是a≠0.
2.解析式
(1)三種解析式:①一般式:y=ax2+bx+c;②頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k); ③交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(2)
2、待定系數(shù)法:巧設(shè)二次函數(shù)的解析式;根據(jù)已知條件,得到關(guān)于待定系數(shù)的方程(組);解方程(組),求出待定系數(shù)的值,從而求出函數(shù)的解析式.
若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對(duì)對(duì)應(yīng)函數(shù)值,可設(shè)一般式;若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值,可設(shè)頂點(diǎn)式;若已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)交點(diǎn)式.
知識(shí)點(diǎn)二 :二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
圖象
(1)比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法:①直接代入求值法;②性質(zhì)法:當(dāng)自變量在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷;當(dāng)自變量在對(duì)稱軸異側(cè)時(shí),可先利用函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同側(cè),再利用性質(zhì)比較;④圖象法:畫出草圖,描點(diǎn)后比較函數(shù)值大小.
失分點(diǎn)
3、警示
(2)在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時(shí),首先考慮對(duì)稱軸是否在取值范圍內(nèi),而不能盲目根據(jù)公式求解.
例:當(dāng)0≤x≤5時(shí),拋物線y=x2+2x+7的最小值為7 .
開口
向上
向下
對(duì)稱軸
x=
頂點(diǎn)坐標(biāo)
增減性
當(dāng)x>時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x<時(shí),y隨x的增大而減小.
當(dāng)x>時(shí),y隨x的增大而減??;當(dāng)x<時(shí),y隨x的增大而增大.
最值
x=,y最?。?
x=,y最大=.
3.系數(shù)a、b、c
a
決定拋物線的開口方向及開口大小
當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上;
當(dāng)a<0時(shí),拋物線開口向下.
某些特殊形式代數(shù)式的符號(hào):
4、① a±b+c即為x=±1時(shí),y
的值;②4a±2b+c即為x=±2時(shí),y的值.
③ 2a+b的符號(hào),需判斷對(duì)稱
軸-b/2a與1的大小.若對(duì)稱軸在直線x=1的左邊,則-b/2a>1,再根據(jù)a的符號(hào)即可得出結(jié)果.④2a-b的符號(hào),需判斷對(duì)稱軸與-1的大小.
a、 b
決定對(duì)稱軸(x=-b/2a)的位置
當(dāng)a,b同號(hào),-b/2a<0,對(duì)稱軸在y軸左邊;
當(dāng)b=0時(shí), -b/2a=0,對(duì)稱軸為y軸;
當(dāng)a,b異號(hào),-b/2a>0,對(duì)稱軸在y軸右邊.
c
決定拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置
當(dāng)c>0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸上;
當(dāng)
5、c=0時(shí),拋物線經(jīng)過原點(diǎn);
當(dāng)c<0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.
b2-4ac
決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
b2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);
b2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);
b2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)三 :二次函數(shù)的平移
4.平移與解析式的關(guān)系
注意:二次函數(shù)的平移實(shí)質(zhì)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移,因此只要找出原函數(shù)頂點(diǎn)的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式
失分點(diǎn)警示:
拋物線平移規(guī)律是“上加下減,左加右減”,左右平移易弄反.
例:將拋物線y=x2沿x軸向右平移2個(gè)單位后所得拋物線的解析式是y=(x-2)2.
知識(shí)點(diǎn)四 :
6、二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式
5.二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
當(dāng)Δ=b2-4ac>0,兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)Δ=b2-4ac=0,兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)Δ=b2-4ac<0,無實(shí)根
例:已經(jīng)二次函數(shù)y=x2-3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為2,1.
6.二次函數(shù)與不等式
拋物線y= ax2+bx+c=0在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正,所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0的解集;在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù),所對(duì)應(yīng)的x的值就是不等式ax2+bx+c<0的解集.