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1、
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課時提升作業(yè)(五十三)
一、選擇題
1.(20xx·吉安模擬)若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為
( )
(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3
2.若原點(diǎn)在圓(x-m)2+(y+m)2=8的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )
(A)-2<m<2 (B)0<m<2
(C)-2<m<2 (D)0&l
2、t;m<2
3.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓有最大的面積,則取最大面積時,該圓的圓心的坐標(biāo)為 ( )
(A)(-1,1) (B)(-1,0)
(C)(1,-1) (D)(0,-1)
4.(20xx·榆林模擬)直線l將圓x2+y2-2x+4y-4=0平分,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線l的方程是 ( )
(A)x-y+1=0,2x-y=0
(B)x-y-1=0,x-2y=0
(C)x+y+1=0,2x+y=0
(D)x-y+1=0,x+2y=0
5.(20xx·合肥模擬)已知點(diǎn)M是直線3x+4y-
3、2=0上的動點(diǎn),點(diǎn)N為圓(x+1)2+(y+1)2=1上的動點(diǎn),則|MN|的最小值是 ( )
(A) (B)1 (C) (D)
6.在同一坐標(biāo)系下,直線ax+by=ab和圓(x-a)2+(y-b)2=r2(ab≠0,r>0)的圖象可能是 ( )
7.(20xx·西安模擬)點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是
( )
(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1
8.(20xx·
4、贛州模擬)若直線2ax-by+2=0(a,b>0)始終平分圓x2+y2+2x-4y+1=0的周長,則+的最小值為 ( )
(A) (B)4 (C)2 (D)
9.若PQ是圓x2+y2=9的弦,PQ的中點(diǎn)是M(1,2),則直線PQ的方程是 ( )
(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0
(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0
10.(能力挑戰(zhàn)題)過點(diǎn)A(11,2)作圓x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦長為整數(shù)的共有 ( )
(A)16條 (B)17條 (C)32條 (D)34條
二、填空題
11.已
5、知圓C過點(diǎn)(-1,1),并與已知圓x2+y2-4x+6y-3=0同心,則圓C方程為 .
12.若圓x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱,則實(shí)數(shù)a的值為 .
13.(20xx·蚌埠模擬)設(shè)二次函數(shù)y=x2-x+1與x軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B,與y軸正半軸的交點(diǎn)是C,則過A,B,C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
14.設(shè)圓C同時滿足三個條件:①過原點(diǎn);②圓心在直線y=x上;③截y軸所得的弦長為4,則圓C的方程是 .
三、解答題
15.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點(diǎn)
6、M,N均在直線x=5上.圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為13;圓弧C2過點(diǎn)A(29,0).
(1)求圓弧C2的方程.
(2)曲線C上是否存在點(diǎn)P,滿足|PA|=|PO|?若存在,指出有幾個這樣的點(diǎn);若不存在,請說明理由.
答案解析
1.【解析】選B.由x2+y2+2x-4y=0得(x+1)2+(y-2)2=5,所以該圓圓心為(-1,2).
又直線3x+y+a=0過(-1,2)點(diǎn),
∴3×(-1)+2+a=0,解得a=1.
2.【解析】選C.由已知得m2+m2<8,即m2<4,解得-2<m<2.
3.【解析】選D.由x2+y
7、2+kx+2y+k2=0知所表示圓的半徑r==,
當(dāng)k=0時,rmax==1,
此時圓的方程為x2+y2+2y=0,
即x2+(y+1)2=1,∴圓心為(0,-1).
4.【解析】選C.由已知直線l過圓x2+y2-2x+4y-4=0的圓心(1,-2),
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時,設(shè)方程為y=kx,又過(1,-2)點(diǎn),所以-2=k,得l的方程為y=-2x,即2x+y=0;
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時,設(shè)方程為+=1(a≠0),將(1,-2)代入得:a=-1,得l的方程為x+y+1=0.
綜上l的方程為2x+y=0或x+y+1=0.
5.【解析】選C.圓心(-1,-
8、1)與點(diǎn)M的距離的最小值為點(diǎn)(-1,-1)到直線的距離d==,故點(diǎn)N與點(diǎn)M的距離|MN|的最小值=d-1=.
6.【解析】選D.逐一根據(jù)a,b的幾何意義驗(yàn)證,知選項(xiàng)D中,直線ax+by=ab,即+=1在x,y軸上的截距分別為b<0和a>0時,D中圓的圓心亦為b<0和a>0,故選D.
7.【解析】選A.設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0,y0),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則解得又因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.
8.【解析】選B.由題意知直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)過圓x
9、2+y2+2x-4y+1=0的圓心(-1,2),∴2a×(-1)-2b+2=0,即a+b=1,
∴+=+=2++≥2+2·=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號),
∴(+)min=4.
9.【解析】選B.由圓的幾何性質(zhì)知kPQ·kOM=-1,
∵kOM=2,∴kPQ=-,
則直線PQ的方程為y-2=-(x-1),
即x+2y-5=0.
10.【解析】選C.∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x+1)2+(y-2)2=132,則圓心為C(-1,2),半徑為r=13.∵|CA|=12,∴經(jīng)過A點(diǎn)且垂直于CA的弦是經(jīng)過A的最短的弦,其長度為2=10;而經(jīng)過A點(diǎn)的最長的弦為圓的直徑
10、2r=26;
∴經(jīng)過A點(diǎn)且為整數(shù)的弦長還可以取11,12,13,14,…,25共15個值,又由圓內(nèi)弦的對稱性知,經(jīng)過某一點(diǎn)的弦的長若介于最大值與最小值之間,則一定有2條,而最長的弦與最短的弦各只有1條,故一共有15×2+2=32(條).
11. 【解析】因?yàn)閳Ax2+y2-4x+6y-3=0的圓心為(2,-3),
又圓C過點(diǎn)(-1,1),
故圓C的半徑r==5,
所以圓C的方程為(x-2)2+(y+3)2=25,
即x2+y2-4x+6y-12=0.
答案:x2+y2-4x+6y-12=0
12.【解析】依題意知直線x-y+1=0經(jīng)過圓x2+y2+(a2-1)x+2ay
11、-a=0的圓心(-,-a),
所以-+a+1=0,解得a=3或a=-1,
當(dāng)a=-1時,方程x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0不能表示圓,所以只能取a=3.
答案:3
13.【思路點(diǎn)撥】先由已知求出A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)得出方程.
【解析】由已知三個交點(diǎn)分別為A(1,0),B(3,0),C(0,1),易知圓心橫坐標(biāo)為2,則令圓心為E(2,b),由|EA|=|EC|得b=2,半徑為,故圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=5.
答案:(x-2)2+(y-2)2=5
14.【解析】由題意可設(shè)圓心A(a,a),則22+a2=2a2,解得a=±2,r2=2a
12、2=8.所以圓C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.
答案:(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8
15.【解析】(1)圓弧C1所在圓的方程為x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).
則線段AM中垂線的方程為y-6=2(x-17),令y=0,得圓弧C2所在圓的圓心為(14,0),
又圓弧C2所在圓的半徑為r2=29-14=15,所以圓弧C2的方程為(x-14)2+y2=225
(5≤x≤29).
(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P(x,y),則由|PA|=|PO|,得x2+y2+2x-29=0,
由解得
13、x=-70(舍去).
由解得x=0(舍去),
綜上知,這樣的點(diǎn)P不存在.
【誤區(qū)警示】求圓弧C2的方程時經(jīng)常遺漏x的取值范圍,其錯誤原因是將圓弧習(xí)慣認(rèn)為或誤認(rèn)為圓.
【變式備選】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直,且AC和BD分別在x軸和y軸上.
(1)求證:F<0.
(2)若四邊形ABCD的面積為8,對角線AC的長為2,且·=0,求D2+E2-4F的值.
(3)設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點(diǎn)為G,OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判斷點(diǎn)O,G,H是否共線,并說明
14、理由.
【解析】(1)方法一:由題意,原點(diǎn)O必定在圓M內(nèi),即點(diǎn)(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左邊所得的值小于0,于是有F<0,即證.
方法二:由題意,不難發(fā)現(xiàn)A,C兩點(diǎn)分別在x軸正、負(fù)半軸上.設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a,0),C(c,0),則有ac<0.對于圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,當(dāng)y=0時,可得x2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo),于是有xAxC=ac=F.
因?yàn)閍c<0,故F<0.
(2)不難發(fā)現(xiàn),對角線互相垂直的四邊形ABCD的面積S=,因?yàn)镾=8,
|AC|=2,可得|BD|=8.
又因?yàn)?#18
15、3;=0,所以∠BAD為直角,又因?yàn)樗倪呅问菆AM的內(nèi)接四邊形,故|BD|=2r=8?r=4.
對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圓,
可知+-F=r2,所以D2+E2-4F=4r2=64.
(3)設(shè)四邊形四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
則可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,),即=(,).
又=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G,O,H三點(diǎn)共線,只需證·=0即可.
而·=,且對于圓M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
當(dāng)y=0時可得x2+Dx+F=0,其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo),
于是有xAxC=ac=F.
同理,當(dāng)x=0時,可得y2+Ey+F=0,其中方程的兩根分別為點(diǎn)B和點(diǎn)D的縱坐標(biāo),于是有yByD=bd=F.
所以·==0,即AB⊥OG.
故O,G,H三點(diǎn)必定共線.
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北師大版數(shù)學(xué) 理提升作業(yè)：8.3圓的方程含答案
