金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 Word版含解析

《金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 Word版含解析（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二講函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 必記公式幾種常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：yaxb(a0)(2)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a0)(3)指數(shù)函數(shù)模型：ya·bxc(b>0且b1)(4)對數(shù)函數(shù)模型：yblogaxc(a>0且a1，x>0)(5)分段函數(shù)模型：f(x)(D1D2)重要性質(zhì)1函數(shù)的零點及函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系對于函數(shù)f(x)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點，函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫坐標2零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連

2、續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0.這個c也就是方程f(x)0的一個根失分警示1函數(shù)的零點不是點的坐標，而是函數(shù)值等于零的點的橫坐標2函數(shù)零點存在性定理要求函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的并且有f(a)·f(b)<0這兩個條件同時成立3滿足零點存在性定理的條件時得出函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，但零點個數(shù)不確定；反之函數(shù)在a，b上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0.4求實際問題中的函數(shù)解析式時易忽略定義域 考點函數(shù)的零點典例示法題型1判斷函數(shù)零點的存在

3、區(qū)間典例120xx·北京高考已知函數(shù)f(x)log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)解析f(1)6log216>0，f(2)3log222>0，f(3)2log23>0，f(4)log242<0，包含f(x)零點的區(qū)間是(2,4)，故選C.答案C題型2函數(shù)零點的個數(shù)問題典例220xx·湖北高考函數(shù)f(x)4cos2·cos2sinx|ln (x1)|的零點個數(shù)為_解析f(x)2(1cosx)sinx2sinx|ln (x1)|sin2x|ln (x1)|，x>1，函數(shù)f(

4、x)的零點個數(shù)即為函數(shù)ysin2x與y|ln (x1)|(x>1)的圖象的交點個數(shù)分別作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，可知有兩個交點，則f(x)有兩個零點答案2題型3利用零點個數(shù)或存在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍典例320xx·湖南高考已知函數(shù)f(x)若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個零點，則a的取值范圍是_解析令(x)x3(xa)，h(x)x2(x>a)，函數(shù)g(x)f(x)b有兩個零點，即函數(shù)yf(x)的圖象與直線yb有兩個交點，結(jié)合圖象可得a<0或(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a(，0)(1，)答案(，

5、0)(1，)1判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)直接求零點：令f(x)0，則方程解的個數(shù)即為零點的個數(shù)(2)零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在a，b上是連續(xù)的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)數(shù)形結(jié)合：對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點2利用函數(shù)零點求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的

6、上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解考點函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用典例示法典例4(1)20xx·江蘇高考已知函數(shù)f(x)|ln x|，g(x)則方程|f(x)g(x)|1實數(shù)根的個數(shù)為_解析f(x)g(x)當(dāng)1<x<2時，f(x)g(x)2x<0故當(dāng)1<x<2時，f(x)g(x)單調(diào)遞減，在同一坐標系中畫出y|f(x)g(x)|及y1的圖象，如圖所示由圖象可知|f(x)g(x)|1的實根個數(shù)為4.答案4(2)已知函數(shù)f(x)則方程f(x)log (x1)的根的個數(shù)為_解析先求x>0時，f(x)的解析式當(dāng)0<x1時，x10，則f(x)f(x1)2x11

7、.當(dāng)1<x2時，x20，則f(x)f(x1)f(x2)2x21，由此得，n1<xn時，f(x)2xn1(nN*)，由此得，f(x)方程f(x)log (x1)的根的個數(shù)，即是函數(shù)yf(x)與ylog (x1)的圖象的交點個數(shù)，畫圖象如圖所示：由圖象得知，f(x)log (x1)的根有兩個答案2應(yīng)用函數(shù)思想確定方程解的個數(shù)的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解(2)分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解針對訓(xùn)練120xx·山東高考已知函數(shù)f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范

8、圍是()A. B.C(1,2) D(2，)答案B解析畫出f(x)|x2|1的圖象如圖所示. 由數(shù)形結(jié)合知識，可知若方程f(x)g(x)有兩個不相等的實根，則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象應(yīng)有兩個不同的交點所以函數(shù)g(x)kx的圖象應(yīng)介于直線yx和yx之間，所以k的取值范圍是.220xx·沈陽質(zhì)檢已知函數(shù)f(x)若方程f(x)ax1恰有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析如圖，當(dāng)直線yax1過點B(2,2)時，a，滿足方程有兩個解；當(dāng)直線yax1與f(x)2(x2)的圖象相切時，a，滿足方程有兩個解；當(dāng)直線yax1過點A(1,2)時，a1，滿足方程恰有一個解故實數(shù)a的取值范圍為.考點函

9、數(shù)的實際應(yīng)用典例示法典例5提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時研究表明：當(dāng)20<x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)x·v(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時)解(1)由題意：當(dāng)0x20時，v(x

10、)60；當(dāng)20<x200時，設(shè)v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)(2)依題意及(1)可得f(x)當(dāng)0x20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時，f(x)取得最大值，其最大值為60×201200；當(dāng)20<x200時，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時，等號成立所以，當(dāng)x100時，f(x)取得最大值.綜上，當(dāng)x100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時(1)常見類型：與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及

11、角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題.(2)應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序(3)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答.針對訓(xùn)練20xx·山東實驗中學(xué)月考候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模地遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為：vablog3(其中a，b是實數(shù))據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要多少

12、個單位？解(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時，它的速度為0 m/s，此時耗氧量為30個單位，故有ablog30，即ab0；當(dāng)耗氧量為90個單位時，速度為1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程組得(2)由(1)知，vablog31log3.所以要使飛行速度不低于2 m/s，則有v2，即1log32，即log33，解得Q270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要270個單位 全國卷高考真題調(diào)研120xx·全國卷已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A(2，) B(1，)C(，2

13、) D(，1)答案C解析當(dāng)a0時，顯然f(x)有2個零點，不符合題意；當(dāng)a>0時，f(x)3ax26x3x(ax2)，易知函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞增又f(0)1，當(dāng)x時，f(x)x2(ax3)1，故不適合題意；當(dāng)a<0時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減，只需f>0就滿足題意由f>0，得1>0，解得a<2或a>2(舍去)，故a<2.其它省市高考題借鑒220xx·天津高考已知函數(shù)f(x)(a>0，且a1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|2x恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是()A. B.

14、C. D.答案C解析當(dāng)x<0時，f(x)單調(diào)遞減，必須滿足0，故0<a，此時函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，若f(x)在R上單調(diào)遞減，還需3a1，即a，所以a.結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)x0時，函數(shù)y|f(x)|的圖象和直線y2x有且只有一個公共點，即當(dāng)x0時，方程|f(x)|2x只有一個實數(shù)解因此，只需當(dāng)x<0時，方程|f(x)|2x恰有一個實數(shù)解根據(jù)已知條件可得，當(dāng)x<0時，f(x)>0，即只需方程f(x)2x恰有一個實數(shù)解，即x2(4a3)x3a2x，即x22(2a1)x3a20在(，0)上恰有唯一的實數(shù)解判別式4(2a1)24(3a2)4(4a27a3)4(a1)(

15、4a3)，因為a，所以0.當(dāng)3a2<0，即a<時，方程x22(2a1)x3a20有一個正實根、一個負實根，滿足要求；當(dāng)3a20，即a時，方程x22(2a1)x3a20的一個根為0，一個根為，滿足要求；當(dāng)3a2>0，即<a<時，因為(2a1)<0，此時方程x22(2a1)x3a20有兩個負實根，不滿足要求；當(dāng)a時，方程x22(2a1)x3a20有兩個相等的負實根，滿足要求綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.320xx·天津高考已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)bf(2x)，其中bR.若函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是()A. B.C. D.答

16、案D解析函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個零點，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4個不同的實數(shù)根，即直線yb與函數(shù)yf(x)f(2x)的圖象有4個不同的交點又yf(x)f(2x)作出該函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得，當(dāng)<b<2時，直線yb與函數(shù)yf(x)f(2x)的圖象有4個不同的交點，故函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個零點時，b的取值范圍是.420xx·四川高考某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在3

17、3 的保鮮時間是_小時答案24解析由題意得即所以該食品在33 的保鮮時間是ye33kb(e11k)3·eb3×19224(小時) 一、選擇題120xx·山東萊蕪模擬已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)的零點為()A.，0 B2,0C. D0答案D解析當(dāng)x1時，由f(x)2x10，解得x0；當(dāng)x>1時，由f(x)1log2x0，解得x，又因為x>1，所以此時方程無解綜上，函數(shù)f(x)的零點只有0.220xx·北京昌平三模已知函數(shù)f(x)ln x，則函數(shù)g(x)f(x)f(x)的零點所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答

18、案B解析函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，所以g(x)f(x)f(x)ln x.因為g(1)ln 111<0，g(2)ln 2>0，所以函數(shù)g(x)f(x)f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)，故選B.320xx·鄭州質(zhì)檢已知函數(shù)f(x)xcosx，則f(x)在0,2上的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4答案C解析作出g(x)x與h(x)cosx的圖象，可以看到其在0,2上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0,2上的零點個數(shù)為3，故選C.4已知函數(shù)yf(x)的周期為2，當(dāng)x1,1時，f(x)x2，那么函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)y|lg x|的圖象的交點共有()A10個 B9個

19、 C8個 D1個答案A解析在同一平面直角坐標系中分別作出yf(x)和y|lg x|的圖象，如圖又lg 101，由圖象知選A.520xx·北京高考汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時相同條件下， 在該市用丙車比用乙車更省油答案D解析對于A選項，從圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40 km/h時的燃油效率大于5 km/L，故

20、乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯誤對于B選項，由圖可知甲車消耗汽油最少對于C選項，甲車以80 km/h的速度行駛時的燃油效率為10 km/L，故行駛1小時的路程為80千米，消耗8 L汽油，所以C錯誤對于D選項，當(dāng)最高限速為80 km/h且速度相同時丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油，所以D正確620xx·鄭州質(zhì)量預(yù)測(一)設(shè)函數(shù)f(x)ex2x4，g(x)ln x2x25，若實數(shù)a，b分別是f(x)，g(x)的零點，則()Ag(a)<0<f(b) Bf(b)<0<g(a)C0<g(a)<f(b) Df(b)&l

21、t;g(a)<0答案A解析依題意，f(0)3<0，f(1)e2>0，且函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)，即0<a<1.g(1)3<0，g(2)ln 23>0，函數(shù)g(x)的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)，因此有g(shù)(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)，選A.720xx·湖北宜昌模擬某種新藥服用x小時后血液中的殘留量為y毫克，如圖所示為函數(shù)yf(x)的圖象，當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240毫

22、克時，治療有效設(shè)某人上午8：00第一次服藥，為保證療效，則第二次服藥最遲的時間應(yīng)為()A上午10：00 B中午12：00C下午4：00 D下午6：00答案C解析當(dāng)x0,4時，設(shè)yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.當(dāng)x4,20時，設(shè)yk2xb.把(4,320)，(20,0)代入得解得y40020x.yf(x)由y240，得或解得3x4或4<x8，3x8.故第二次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日下午4：00，故選C.二、填空題820xx·云南昆明模擬已知函數(shù)f(x)axxb的零點x0(n，n1)(nZ)，其中常數(shù)a，b滿足2a3,3b2，則n_.答案1解析alog23>1,

23、0<blog32<1，令f(x)0，得axxb.在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)yax和yxb的圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)的圖象在區(qū)間(1,0)內(nèi)有交點，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)內(nèi)有零點，所以n1.920xx·河北唐山模擬已知f(x)且函數(shù)yf(x)ax恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析當(dāng)x<0時，f(x)(x1)2，把函數(shù)f(x)在1,0)上的圖象向右平移一個單位，即得函數(shù)yf(x)在0,1)上的圖象，繼續(xù)右移可得函數(shù)f(x)在0，)上的圖象如果函數(shù)yf(x)ax恰有3個不同的零點，即函數(shù)yf(x)，yax的圖象有三個不同的公共點，實數(shù)

24、a應(yīng)滿足a<，即a>或<a<，即<a<.1020xx·四川高考已知函數(shù)f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR)對于不相等的實數(shù)x1，x2，設(shè)m，n.現(xiàn)有如下命題：對于任意不相等的實數(shù)x1，x2，都有m>0；對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1，x2，都有n>0；對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得mn；對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得mn.其中的真命題有_(寫出所有真命題的序號)答案解析因為f(x)2x在R上是單調(diào)遞增的，所以對于不相等的實數(shù)x1，x2，m>0恒成立，正確；因為g(x)x2ax，所以nx1x

25、2a，正負不定，錯誤；由mn，整理得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令函數(shù)p(x)f(x)g(x)2xx2ax，則p(x)2xln 22xa，令t(x)p(x)，則t(x)2x(ln 2)22，又t(1)2(ln 2)22<0，t(3)8(ln 2)22>0，從而存在x0(1,3)，使得t(x0)2x0(ln 2)220，于是p(x)有極小值p(x0)2x0ln 22x0a2log2a，所以存在a2log2，使得p(x0)>0，此時p(x)在R上單調(diào)遞增，故不存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，不滿足題意，錯誤；由mn，得f(x)

26、g(x)，即a2xln 22x.設(shè)h(x)2xln 22x，則h(x)2x(ln 2)22>0，所以h(x)在R上是單調(diào)遞增的，且當(dāng)x時，h(x)；當(dāng)x時，h(x)，所以對于任意的a，ya與yh(x)的圖象一定有交點，正確三、解答題1120xx·湖南瀏陽一中段考已知二次函數(shù)f(x)的最小值為4，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)4ln x的零點個數(shù)解(1)f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x|1x3，xR，設(shè)f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a>0.a>0，f(x)a(

27、x1)244，又f(1)4a，f(x)min4a4，a1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x22x3.(2)g(x)4lnxx4ln x2(x>0)，g(x)1.x，g(x)，g(x)的取值變化情況如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)0<x3時，g(x)g(1)4<0，g(x)在(3，)上單調(diào)遞增，g(3)4ln 3<0，取xe5>3，g(e5)e5202>251229>0.故函數(shù)g(x)只有1個零點，且零點x0(3，e5)1220xx·山東菏澤期中已知一家公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固

28、定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？(注：年利潤年銷售收入年總成本)解(1)當(dāng)0<x10時，WxR(x)(102.7x)8.1x10；當(dāng)x>10時，WxR(x)(102.7x)982.7x.W(2)當(dāng)0<x10時，令W8.10，得x9，可知當(dāng)x(0,9)時，W>0，當(dāng)x(9,10時，W<0，當(dāng)x9時，W取極大值，即最大值，且Wmax8.1×9×931038.6.當(dāng)x>10時，W9898238，當(dāng)且僅當(dāng)2.7x，即x時，W38，故當(dāng)x時，W取最大值38(當(dāng)1000x取整數(shù)時，W一定小于38)綜合知，當(dāng)x9時，W取最大值，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大