金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第一編 數(shù)學(xué) 思想方法 第二講數(shù)形結(jié)合思想 Word版含解析

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1、 第二講　數(shù)形結(jié)合思想 思想方法解讀 考點(diǎn)　利用數(shù)形結(jié)合思想研究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)　　 典例1　　已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝則關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為(　　) A．2a－1 B．2－a－1 C．1－2－a D．1－2a 解析]　因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝a(0<a<1)，如圖． 由圖可知，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a(0<a<1)共有5個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)從左到右

2、分別為x1，x2，x3，x4，x5，則＝－3，＝3，而由－log (－x3＋1)＝a，即log2(1－x3)＝a，可得x3＝1－2a，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故選D. 答案]　D 利用數(shù)形結(jié)合研究方程的根(求函數(shù)零點(diǎn))解決策略 (1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)． (2)數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題時(shí)常有以下幾

3、種類型： ①研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性：畫出函數(shù)的圖象，從圖象的變化趨勢(shì)看函數(shù)的單調(diào)性，從圖象的對(duì)稱看函數(shù)的奇偶性． ②研究函數(shù)的對(duì)稱性：畫出函數(shù)的圖象，可從圖象的分布情況看圖象的對(duì)稱性． ③比較函數(shù)值的大小：對(duì)于比較沒(méi)有解析式的函數(shù)值大小，可結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的草圖，結(jié)合圖象比較大小． 【針對(duì)訓(xùn)練1】　20xx·山東重點(diǎn)高中模擬]若實(shí)數(shù)a滿足a＋lg a＝4，實(shí)數(shù)b滿足b＋10b＝4，函數(shù)f(x)＝則關(guān)于x的方程f(x)＝x的根的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　在同一坐標(biāo)系中作出y＝10x，y＝lg x以及y＝4－x的

4、圖象，其中y＝10x，y＝lg x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，直線y＝x與y＝4－x的交點(diǎn)為(2,2)，所以a＋b＝4，f(x)＝當(dāng)x≤0時(shí)，由x2＋4x＋2＝x可得，x＝－1或－2；當(dāng)x>0時(shí)，易知x＝2，所以方程f(x)＝x的根的個(gè)數(shù)是3. 考點(diǎn)　利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式或求參數(shù)范圍　　 典例2　　(1)20xx·福建高考]已知⊥，||＝，||＝t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且＝＋，則·的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 解析]　依題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以點(diǎn)B，C(0，t)

5、，＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)即P(1,4)且t>0.所以·＝·(－1，t－4)＝×(－1)－4×(t－4)＝17－－4t≤17－2＝13(當(dāng)且僅當(dāng)＝4t，即t＝時(shí)取等號(hào))，所以·的最大值為13，故選A. 答案]　A (2)20xx·全國(guó)卷Ⅱ]已知偶函數(shù)f(x)在0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________． 解析]　 作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示， 因?yàn)閒(x－1)>0，所以－2<x－1<2， 解得－1<x<3. 則x

6、的取值范圍為(－1,3)． 答案]　(－1,3) 數(shù)形結(jié)合思想解決不等式(或求參數(shù)范圍)的解題思路 求參數(shù)范圍或解不等式問(wèn)題時(shí)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答． 【針對(duì)訓(xùn)練2】　(1)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范圍是________． 答案　(－1,0) 解析　在同一坐標(biāo)系中，分別作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象，由圖可知，x的取值范圍是(－1,0)． (2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1對(duì)x∈R恒成立

7、，則a的取值范圍是________． 答案　 解析　作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的簡(jiǎn)圖，依題意知應(yīng)有2a≤2－2a，故a≤. 考點(diǎn)　利用數(shù)形結(jié)合求最值　　 　　 典例3　　(1)已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為(　　) A．5 B．29 C．37 D．49 解析]　由已知得平面區(qū)域Ω為△MNP內(nèi)部及邊界．∵圓C與x軸相切，∴b＝1.顯然當(dāng)圓心C位于直線y＝1與x＋y－7＝0的交點(diǎn)A(6，1)處時(shí)，amax＝6.∴a2＋b2的最大值為62＋12＝37.故選C. 答案]　C

8、 (2)已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)_______． 解析]　從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越來(lái)越大，從而S四邊形PACB也越來(lái)越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直于直線l時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值， 此時(shí)|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2.

9、 所以(S四邊形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2. 答案]　2 利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問(wèn)題的一般思路 利用數(shù)形結(jié)合的思想可以求與幾何圖形有關(guān)的最值問(wèn)題，也可以求與函數(shù)有關(guān)的一些量的取值范圍或最值問(wèn)題． (1)對(duì)于幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，應(yīng)分析各個(gè)變量的變化過(guò)程，找出其中的相互關(guān)系求解． (2)對(duì)于求最大值、最小值問(wèn)題，先分析所涉及知識(shí)，然后畫出相應(yīng)圖象，數(shù)形結(jié)合求解． 【針對(duì)訓(xùn)練3】　20xx·濰坊模擬]已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，設(shè)H1(x)＝max{f(

10、x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)，記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝(　　) A．16 B．－16 C．a(chǎn)2－2a－16 D．a(chǎn)2＋2a－16 答案　B 解析　H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝ H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝ 由f(x)＝g(x)?x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，解得x1＝a－2，x2＝a＋2. 而函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2

11、＋8的圖象的對(duì)稱軸恰好分別為x＝a＋2，x＝a－2，可見(jiàn)二者圖象的交點(diǎn)正好在它們的頂點(diǎn)處，如圖1所示， 因此H1(x)，H2(x)的圖象分別如圖2，圖3所示(圖中實(shí)線部分) 可見(jiàn)，A＝H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4，B＝H2(x)max＝g(a－2)＝12－4a，從而A－B＝－16. 考點(diǎn)　數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用　　 典例4　　已知F1、F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1，)

12、B．(，) C．(，2) D．(2，＋∞) 解析]　如圖所示，過(guò)點(diǎn)F2(c,0)且與漸近線y＝x平行的直線為y＝(x－c)，與另一條漸近線y＝－x聯(lián)立得解得 即點(diǎn)M. ∴|OM|＝ ＝ ∵點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外， ∴|OM|>c， 即 >c，得 >2. ∴雙曲線離心率e＝＝ >2. 故雙曲線離心率的取值范圍是(2，＋∞)．故選D. 答案]　D 數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的解題策略 (1)數(shù)形結(jié)合思想中一個(gè)非常重要的方面是以數(shù)解形，通過(guò)方程等代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，也就是解析法，解析法與幾何法結(jié)合來(lái)解題，會(huì)有更大的功效． (2)

13、此類題目的求解要結(jié)合該曲線的定義及幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，即方程(組)或不等式(組)，從而將問(wèn)題解決． 【針對(duì)訓(xùn)練4】　已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|＝10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B. C. D. 答案　B 解析　如圖，由題意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2.e2＝＝＝＝；e1＝＝＝＝. ∵三角形兩邊之和大于第三邊，∴2c＋2c>10，∴c>， ∴e1e2＝＝>，因此選B.